Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1.12, в): (1.68) Учитывая зависимость М =- ЕЛо" (которую тоже можно получить из уравнений статики), снова приходим к уравнению (1.67). $ 1.6. Устойчивое и неустойчивое равновесие деформированного тепа Общий подход к исследованшо устойчивости равновесия консервативных систем основан на принципе минимума полной потенциальной энергии. Наглядной иллюстрацией такого подхода служит описание поведения тяжелого шарика на гладкой поверхности (рис. 1.13). Потенциальная энергия такого шарика изменяется пропорционально его вертикальному смещению. Она уменьшается с опусканием шарика и увеличивается, когда шарик поднимается.
Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности (а) соответствует минимуму потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина вьпуклой поверхности (б) соответствует стационарному, но не минимальному, а максимальному значению потенциальной энергии, и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Другими словами, помещенный в нижнюю точку вогнутой поверхности шарик останется Рис. 1.13 на месте, а с вершнины выпуклой поверхности он непременно скатится. Стационарная точка на седлообразной поверхности (в) тоже не соответствует минимуму потенциальной энергии. Это так называемая точка минимакса, и положение шарика в ией неустойчиво, На последний случай следует обратить особое внимание: в неустойчивом положении равновесия полная потенциальная энергия совсем необязательно должна быть максимальной. Положение равновесия не буде~п устойчивым во всех случаях, когда полная потенциальная энергия имеет стационарное, но не минимальное значение.
Аналогично можно интерпретировать и исследование устойчивости нагруженного упругого тела, только в этом случае полная потенциальная энергия складывается из энергии деформации и потенциала внешних сил [см. формулу (1.55)1: В дальнейшем для определенности будем считать, что закрепление тела исключает его переме- ; Кения как жесткого целого, а все внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру Р, При малых отклонениях тела от рассматриваемого положения пол, ная энергия получает некоторое приращение ЛЗ.
В положении равно-весия (не обязательно устойчивого) полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Условие стационарности — необходимое условие минимума — приводит к вариационному уравнению (1.61). Для того чтобы положение. равновесия было устойчивым, должно выполняться необходимое и достаточное условие минимума, т. е. условие ЛЗ: О при любых достаточно малых отклонениях от положения равновесия.
Если же при заданных нагрузках и условиях закрепления тела возможны такие малые отклонения от положения равновесия, при которых ЛЭ.~ О, то положение равновесия не будет устойчивым. В силу положительной определенности удельной потенциальной энергии деформации состояние равновесия ненапряженного тела— устойчиво. При достаточно малых значениях параметра нагрузки Р напряженно-деформированное состояние упругого тела может быть описано уравнениями линейной теории упругости; это состояние равновесия будем называть начальным.
В окрестности точки Р =- О начальное состояние равновесия, как нетрудно показать, остается устойчивым. Начальное состояние равновесия -нагруженного тела может перестать быть устойчивым только тогда, когда параметр Р превысит некоторое критическое значение Р„р, т. е. при Р) Р„р становятся возможными такие отклонения от начального состояния равновесия, при которых ЛЭ ~ О. А поскольку при Р с.
Р,ч, начальное состояние остается устойчивым и любые возможные малые отклонения приводят к увеличению полной потенциальной энергии, то естественно так определить критическое значение параметра нагрузки: Р„р — это нижняя граница тех значений Р, при которых возможна малые отклонения системы от начального состояния равновесия, приводящие к ЛЭ =- О. Данное определение позволяет аналитически сформулировать энергетический критерий устойчивости начального состояния равновесия упругих систем. Наметим в общем виде вывод этого критерия.
Предположим, что начальное состояние равновесия, описываемое уравнениями линейной теории упругости, известно. Рассмотрим смежное с ним состояние, переход к которому задается перемещениями первого порядка малости. Изменение ЛЗ полной потенциальной энергии при переходек смежномусостоянию подсчитаем с точностью до квадратов этих перемещений.
Величину ЛЭ представим в виде двух слагаемых, одно из которых не зависит от внешних нагрузок, а другое пропорционально параметру нагрузки Р; В тех случаях, когда при' переходе к смежному состоянию ЛЗ = О, можно записать 6 (ЛЗ):= О. (1.69) Последнее условие называют энергетическим критерием (энергетическим принципом) упругой устойчивости. Зтот критерий имеет простой механический смысл, Действительно, обозначив полную потенциальную энергию в начальном н смежном с ннм состояниях соответственно через Э и 31, запишем 3,=3+ ЛЗ. Тогда учитывая, что начальное состояние равновесно и 63 = О, получим 63, = 6 (ЛЭ).
Следовательно, энергетический критерий устойчивости (1.69) можно трактовать и как условие 631 = О, т. е. как условие равновесия системы в состоянии, смежном с начальным. Поэтому приведенное выше определение Р„р эквивалентно следующему определению: Р„р — это нижняя граница тех значений Р, при которых у системы существуют состояния равновесия, смежные с начальным.
Изложенный выше энергетический критерий устойчивости иногда записывают в другой форме. Перемещения первого порядка малости, переводящие систему из начального состояния равновесия в новое смежное состояние, можно рассматривать как некоторые вариации 6и, 6о, 6!о.
Тогда приращение полной потенциальной энергии можно подсчитать в виде разложения, аналогичного ряду Тейлора: ЛЭ 63 ! 623+ 2! где 6'3 — вторая вариация полной потенциальной энергии. Поскольку начальное состояние равновесно, то 6Э = О и критерий устойчивости (1.69) можно записать в такой форме: 6 (6'3) = О. (1.70) Важно подчеркнуть, что физический смысл критерия устойчивости остается одним и тем же, независимо от того, в какой форме он записан, Когда изменение полной потенциальной энергии подсчитывают с точностью до квадратов перемещений, отсчитываемых от начального состояния равновесия, условие 6 (ЛЗ) = О приводит к линейным и Согласно г!риведенному определению наименьшее из всех возможных значений Е, даваемых последним выражением, равно критическому значению Р„р.
Напомним, что ЛЭ, 11!' и Р являются функционалами, зависящими от перемещений первого порядка малости, переводящих систему в состояние, смежное с начальным состоянием равновесия. Необходимое условие минимума параметра Р дает 6 — = = — 607 — — 6Ъ' = — (61Р'+ РЬЪ') =О, откуда следует, что при критическом значении параметра нагрузки выполняется условие зн где й, и й, — жесткости упругих шарниров, Подсчитывая с точностью до квадратов углов ~р', и Ч~~ вертикальное смещение ~ точки приложения силы Р, найдем $' = — 11,(1 — созф,) + 1, (1 — созф,)1 = — 2 (1,ф', + 1,~р,').
Таким образом, при отклонениях стержней изменение полной потенциальной энергии определяется выражением лз =, й1(Ч1 Ч'2) + йаЧ (~1(р1 1 ~2 Ч6). ! й ~ 1 2 ~ й 3 2 2 Условие стационарностн (1.69) в рассматриваемом случае приводит к двум уравнениям дЛЗ А1 (Ч)1 Ч)2) Я1 (р1 О (1.7!) д~~ =й(р, Ч)+И~, Н~, О дчн однородным относительно этих перемещений уравнениям (алгебраическим для систем с конечным числом степеней свободы и дифференциальным для систем с распределенными параметрами). Эти уравнения называются л и н е а р и з о в а н н ы м и у р а в н е н и я м и теор и и у стой ч и ности; они дают возможность находить критические значения нагрузок и с точностью до масштаба определять те формы, по которым происходит потеря устойчивости упругой системы.
Рассмотрим, например, консервативную систему (рнс. 1.14, а), состоящую из двух жестких стержней, с двумя упругими шарнирами, нагруженных силой Р. До Ф нагружения оси стержней и) " М е=~~ расположены на однои %, % вертикали н сила Р прило- т,=и жена вдоль этон вертика- К ли. Деформацию системы будем задавать углами <р, и ср„ причем в начальном ~ и 6-ю состоянии равновесия при И достаточно малых значепнях силы, Р, очевидно, «р, = О и ср, = О. Найдем критическое значение силы Рир, при превышении ко- Рис.
1.14 торого вертикальное состояние равновесия перестает быть устончивым. Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости (1.69), подсчитаем изменение полной потенциальной энергии системы с точностью до квадратов углов Чд и ~р,. Энергия деформации упругих шарниров равна 1 2 Ц~= — й (ч — т2) + — ~ та, 2 2 Полученная система линейных однородных уравнений всегда имеет тривиальное решение ~, = О и ~р, = О, соответствующее начальному вертикальному состоянию равновесия. Для существования отличных от нуля решений определитель системы должен быть ранен нулю; это условие приводит к квадратному относительно Р уравнению Положив, например, /, = 1, 1, = 2 /, й, = А, й, = 2Ф, найдем корни уравнения: Р =й/(2/); Р,=-2й//, т. е.
значения нагрузки, при которых возможны смежные с начальным состояния равновесия, а наименьшее из них равно критическому значению силы: Р„р — — Р, = й/(21). Таким образом, при Р = — Р~ и Р = Р, у рассматриваемой стерж» евой системы кроме вертикального положения равновесия оказываются возможными смежные с ним другие формы равновесия. Такие точки расщепления решений называют линками ветвмния или точкалш бифгркации. Линеаризоваиные уравнения позволяют с точностью до масштаба определять формы равновесных конфигураций системы в окрестностях точек бифуркации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
