Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Существует соотношение между деформациями и напряжениями для анизотропного тела: (е) = Ы1-' (о) = (С1 (а). (1,38) Развернутая форма этой зависимости имеет вид СМ Сгз Сзз С44 С14 С\в Сзз Сзз Сзв Сзз Сзв Сзз Сзв Сзз Сзв С44 Свв Свв СИММ. Свз Свв свв Зз ЯУ зх 7зУ 7Уз 7~х (1.39) тху ~Уг тлх Когда аннзотропное тело обладает упругими свойствами, симметрнчнымн относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, оно называется о р т о г о н а л ь н о - а н и з о т р о п н'ы м или о р т о т р о п н ы м.
Пусть координатные оси х, у, г направлены по линиям пересечения плоскостей симметрии упругих свойств. Тогда симметричнымн относительно координатных плоскостей будут компоненты тензоров напряжений и деформаций а„, ау, о„е„, еу, е„кососимметричными — касательные напряжения т,у, ту „т,„и соответствующие им деформации сдвига 7,у, 7у„7„. Следовательно, для ортотропного тела при принятой системе координат в формулах (1.37), (1.39) коэффициенты, связывающие нормальные напряжения с деформациями сдвига и касательные напряжения с деформациями удлинения, обращаются в нуль. В силу симметрии упругих свойств тела относительно координатных плоскостей должны также отсутствовать коэффициенты, связывающие деформации сдвига в одной координатной плоскости с касательными напряжениями, действующими в других координатных плоскостях.
Таким образом, для ортотропного тела закон Гука имеет форму ох оу оз т.~у ~Уз гзз 1 азза„а1з 0 0 0 аззаззазз 0 0 0 аз1аззазз 0 0 0 О 0 Оа4400 0 0 0 ОаввО О О О О Оавв (1.40) 7зУ 7Уз Ьз 3 Прн этом и,1 = а,з, 'азз — — азз; а„= аз,; Отсюда видно, что закон Гука для линейно-упругого ортотропного тела содержит девять независимых констант упругости.
Эти константы можно определить по результатам испытаний на растяжение и сдвиг элементов упругого тела. Для плоского напрхюгнного соспгояная соотношение (1,40) упрощаютСя. КОГда Оз = т, = т,у — — О, МатрИЧНая ЗаПИСЬ (О) = Ю)(Е) В развернутом виде выглядит так: а„д,з И,з 0 е„ о„= язв 4(зз 0 еу т„у 0 0 авв 7„у Число независимых констант здесь сокращается до четырех: а4, а12= = дм, а1,; а22, которые зависят от коэффициентов а1 ... а„.
Матрица констант может быть выражена через технические характеристики материала; модули упругости Е, и Е2 вдоль осей х и у, коэффициенты Пуассона р,~, р„и модуль сдвига 6,2.' 0 р12 Рм 0 ! — Рм Рм Е1 р12 РЗ1 рз, Е~ (1.41) 1Х)) = Ри Рм Коэффиценты р,~ и р2, определяют по результатам испытаний на растяжение образцов, вырезанных вдоль осей х и у, и соответствуют поперечному укорочению сечения. Изотропное линейно-упругое тело обладает одинаковыми механическими свойствами во всех направлениях.
Зависимости между напряжениями и деформациями для него можно представить в виде матрицы Л+26 Л Л 000 Л+26 Л 000 Л+2600 0 600 Симм. 60 6 !1.42) 101 = где Л = р Е / ! (1 + р) ( 1 — 2р) 1 — коэффициент Лиме'„Š— модуль Юнга; р — коэффициент Пуассона; 6 = Е! !2 (1 + р) ! — модуль сдвига. Связь деформаций с напряжениями в этом случае имеет вид (1.38), где — р — р, 0 0 Π— о о о 1 0 0 0 2(!+р) О О 2(1+ р) 0 2(1+р) 1С1 =— (!.43) Симы С учетом эффекта теплового расширения соотношения упругости для изотропного линейно-упругого тела принимают вид Я = (С) (о) — (го)> (1.44) ,где вектор (зо) = а (1 — й) (1 1 1 0 0 0)г; й — температура, при которой тепловые деформации считают равными нулю; г = 1(х, у, г) — рассматриваемая температура тела; а — температурный коэффи- циент линейного расширения.
Для тонкостенных конструкций, напряженное состояние которых . 'близко к плоскому, соотношение (1.44) упрощается: е„1 — р, 0 в„ 1 е р, 1 0 ое +~х (1 — /о) 1 (1.45) у„е О О 2 (1 + р) т„„ О Обращенная зависимость имеет вид. (Угг е 1 1$ О ех ое =- —,, р, 1- 0 е„ т„„О О (1 — р,)/2 у„, Однородное изотропное нелинейно-упругое тело имеет одинаковые во всех направлениях упругие свойства. Следовательно, выражение удельной потенциальной энергии через компоненты деформаций е, ее, ..., у,„не должно зависеть от координат х, у, г. Это означает, что в формулу для удельной потенциальной энергии изотропного тела должны входить только инварианты тензора деформаций.
В общем случае потенциальная энергия должна выражаться через три инварианта /1, ./е,,/, или их комбинации. В случае малых деформаций можно считать, что удельная потенциальная энергия изотропного упругого тела зависит только от квадрата первого инварианта тензора деформаций ./г, = (е„+ ее + е,)' и второго инварианта девиатора деформаций (1.20).
В дальнейшем вторые инварианты девиаторов напряжений и деформаций будем обозначать соответственно У (о) и / (е): ./(и) = Х, + — /1 = — 1(а,— сг„)е+ (о„— пг)'+ +(о,— а„)'+ 6 (т„'„+ т~,+т,',)1; (1.47) ,/(е) = — (е„— ец)е+(ее — ег)е+ (е, — е„)'+ — (у.',„+ у~„+у' ) . Эти инварианты не зависят от значений среднего напряжения ае = = ./1 (о) /3 и средней деформации ее =,/, (е) /3. При равномерном гидростатическом- давлении, когда / (а) = / (е) = О, большинство конструкционных материалов деформируется как линейно-упругие тела, вплоть до весьма высоких значений напряжений.
Поэтому удельную потенциальную энергию нелинейно-упругого изотропного тела можно представить в следующей общей форме: К = а /1 (е) + / У ( е) 1, (1.48) где и — константа; / У (е) 1 — функция аргумента /. Так как дl, юг дУ, де, дее дег дГ д1 . д / — = ег — ее1 = Е» — Ее1 =ег (1.49) дУ 1 дУ 1 , дУ 1 дуге 2 дтег 2 дт,„ 2 то, обозначая — = /', получаем: д/ ах = 2а/1 + (е„— ео) /"; тху —— 7ху /'/2; оу — 2а/1 + (еу ео) / г тух = 7уг / /2> 9, =- 2а./, + (е х — ео) /'; т.х = 7,х /'/2. Здесь, как и раньше, е =- (е, + еу + е,) / 3 = /1/3. Складывая уравнения (1.50) для о„, ау, п„получаем ох + оу + а, = ба (е + еу + е,).
(1.51) Но е„+ еу + е, есть относительное изменение объема элемента тела. Для гидростатического давления р, когда а„+ пу + а, = — Зр, из формулы (1.51) следует р = — 2а ЛВ'/у". Обозначим через К модуль упругости для объемной деформации. Тогда р = — К Л1//У; а = К/2. (1.52) Из уравнения (1.51) получаем ао К (ех + еу + ее) — ЗК ео. (1.50) и, следовательно, 2а/, =-- К (е„+ еу + е.) = ао. Теперь уравнения (1.50) можно представить в виде ех — е, еу — ео ех — ео У„у/2 7ух/2 У,„/2 Эти соотношения устанавливают подобие девиаторов напряжений н деформаций. Если обозначить / = — = 26 (/), уравнения (1.53) можд/ но' представить еще в такой форме: ах — ао = 26(/) (ех — ео); тху = — 6(/) 7ху,' оу — оо = 26 (/) (еу — ео)' 'гу г = 6 (/) 7у х' (1 54) ох ао = 26 (/) (ех ео)1 тгх = 6 ('/) 7гх. Зависимость 6 (/) можно определить по результатам испытаний образцов материала на чистый сдвиг, например испытаниями па кручение тонкостенных труб.
Зависимости (1.53) и (1.54) являются общими для всех изотропных материалов, потенциальную энергию которых можно представить уравнением (1.48). ф $.$. Принцип минимума полной потенциальной энергии При формулировке условия равновесия в вариациях (1.29) не делалось никаких предположений о законах деформирования тела и характере зависимости внешних сил от перемещений. Поэтому уравнение (1.29) справедливо для любого сплошного тела, нагруженного системой произвольных объемных и поверхностных сил.
Для упругого тела, нагруженного консервативными внешними силами, можно ввести понятие и о л н о й п о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и и, что приводит к иной трактовке этого уравнения. Ко н сер в а т и в н ы м и вмеханикесчитаютсилы, обладающие 'потенциалом; работа, совершаемая этими силами, не зависит от пути, которым система переводится из одного своего положения в другое. Полная потенциальная энергия консервативной системы, состоящей из упругого тела и приложенных к нему консервативных сил, определяется суммой Э= Р+П, (1.55) где У вЂ” потенциальная энергия деформации тела; П вЂ” потенциал внешних сил.
Величину У находит интегрированием значений удель- ной потенциальной энергии деформации У, по объему тела У: 1-~'1,а. (1.56) У Если при деформации тела числовые значения и направления внеш- них сил не изменяются, то их потенциал и= — ~~хи~-Уи~-ли)ЙУ вЂ” 1(р,и-~-рди-~р,ю)ЙБ. (157) з~ Здесь первый интеграл берется по объему, а второй — по той части Я, поверхности тела, где приложены внешние поверхностные нагрузки. Знаки а — » перед интегралами соответствуют тому случаю, когда объем- ные Х, У, Л и поверхностные р„, р„, р, нагрузки направлены так же, как и перемещения и, о, в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
