Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Начапо возможных перемещений и уравнения равновесия 13 Деформации е„, еу, е„ у„у, уу„ у,„ являются обобщенными перемещениями для напряжений о„, сг„, в„т„„, т„„т„„. Чтобы сообщить элементарному параллелепипеду объемом с(х, с1у, с1г, вырезанному из тела, дополнительные деформации 6е„, 6е„, ..., 6у,„, необходимо затратить работу, равную (о„бе„+ сг 6е„+ ... + т,„6у,„) с1х с1у с1г. (1.24) На рассматриваемое тело действуют распределенные объемные нагрузки (силы тяжести, силы инерции) с составляющими Х, У, Я по осям координат и поверхностные нагрузки с составляющими р„, рд, р,. Кроме заданных внешних нагрузок к поверхности тела или ее части могут быть приложены силы реакций опорных связей. С помощью таких связей тело может быть или закреплено в пространстве, или точкам его поверхности могут быть сообщены какие-либо перемещения и„о„сс,',.
Во всех случаях будем считать связи и д е а л ь- н ы м и, полагая, что силы реакций связей не совершают работу налюбых возможных перемесцениях точек поверхности тела, к которым приложены эти силы. Внутри рассматриваемого деформируемого тела возможными перемещениями являются функции би, бо, бсв, которые можно рассматривать как малые изменения (вариации) действительных перемещений и, о, ы. Объемные нагрузки Х, У, 2 на возможных перемещениях 6и, бо, бсср совершают работу И, =- Щ (Хби + Убо + Лбсс) с1х с1у с(г, (1.25) а поверхностные нагрузки р,, р„, р,— работу И~, = Д (р„би + р„бо + р,бсо) с1Б.
(1.26) Интегрирование в формуле (1.26) проводится по поверхности тела, где приложены внешние нагрузки р„, р, р„а в формуле (1.25)— по всему объему, где действуют объемные силы Х, У, Е. Суммарная работа всех. внешних сил блс = бас+ Ы~. Возможным перемещениям би, бо, 6со соответствуют возможные изменения деформаций, т. е. их вариации бе„= —, 6е, = —,..., 6у,„~= — + — .
(1.27) дби дбо дбж дби Согласно сотношению (1.24), работа внутренних сил, затрачиваемая на дополнительное деформирование всего объема тела, равна 6А = Щ (о 6е„ + о„бе„ + ... + т,„бу,„) с)х с(у с1г. (1.28) На основании принципа возможных перемещен и й в положении равновесия работа внутренних сил равна работе всех внешних сил на возмоыных перемещениях. Условие равновесия тела можно представить в виде уравнения 6А = Ис, + 6Я, = О.
(1.29) Это условие должно быть справедливо для любых возможных пь ремещений. Из него можно получить дифференциальные уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и граничные условия на поверхности. Для этого нужно воспользоваться формулой интегрирования по частям тройного интеграла: ср — с(х с(у й = срф/с15 — $ — ~ с1х с1у с(г. (1.30) Здесь тройные интегралы берутся по объему тела, ограниченному поверхностью Б, а двойной — по этой поверхности.
Величина 1 — косинус угла, образованного внешней нормалью к поверхности и осью х. При этом 1 с(Я = с15„, — проекция площадки с15 поверхности на плоскость уг. Аналогичные зависимости имеют место, если в левой части уравнения вместо дф/дх стоят производные дф/ду или дскб/дг. Тогда вместо 1 в формулу подставляют величину т или и, а вместо дс~/дх — величину дср/ду или дср/дг. Формула (1М) позволяет преобразовать выражения для ЬЛ.
Интегрируя по частям и группируя слагаемые с одинаковыми множителями, получаем уравнение ЬА = ) ) 1(о„1+тд„т+т„п) би+(т„,1+ ад т+т„п) бо+ + 1+ + б оо да дт „дх,„ =Ьй,+Щ. (1.31) Составляющие работы внешних сил М, и Ыг выражаются формулами (1.25) и (1.26), Так как вариации би, би, бы внутри объема тела произвольны, то из уравнения (1.31) следует, что должны быть равны соответствующие множители при Ьи, бо и бы в ыражениях, стоящих под знаками тройных интегралов в левой н правой частях этого уравнения. Следовательно„ дх дд дх — "" + — "+ — '" +У=О; (1.32) дх ду дх — "* + — "* + ~' +Я+О.
дх ду дх Это — дифференциальные уравнения равновесия элемента тела. Приравнивая соответствующие множители при би, бо, бы в двойных интегралах выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (1.31), получим силовые граничные условия на поверхности тела: о„1+ т„„т+ т,„п = р,; т„„1+ а„т + т,„п = р„; тх*1+ ту Р~ + о Ф = Рх На участках поверхности, где приложены силы реакций неподвижных опорных связей, могут иметь место или геометрические граничные условия (и = и = а = О), если опорные связи полностью запрещают перемещения, или смешанные граничные условия, если опорные связи препятствуют перемещениям только в одном или двух направлениях. В каждом частном случае эти граничные условия нетрудно составить. Всего в каждой точке поверхности тела должно быть три граничных условия.
Если, например, опорные связи препятствуют только перемещениям в направлении оси г, то соответствующие граничные условия можно записать так: и~= О; а„.1+т „т+т,„п= р„; т„.ц1+ацт+т,цп= р„. На поверхности илн на ее части могут быть также заданы перемещения и„о„, ы„. В этом случае натой же части поверхности би = би =- бы =- = О. -'"-'-д~ ду хф дх ах — сх аб ах Мд Ю д б+— да- да гт: ~, Ьу Рас. 1.8 Рас.
1.9 приложены напряжения с приращениями. Возьмем проекции всех сил, соответствующих напряжениям, а также проекции объемных сил Х, 1' и Л (рис. 1.9) на ось х: — п„дуда+ и„+ — "дх дуда — т„„дгдх+ дх + т„,.+ "' ду)дгдх — т,„дудх+Ь,„+ д™ дг дудх+ дд / дх +Хдхдудг=О. Разделив каждое слагаемое этого уравнения на объем, получим дх ду дх Это — первое из уравнений равновесия (1.32).
Таким же путем получаются второе и третье уравнения. Они соответствуют проекциям сил на оси у и г. Граничные условия можно также получить, рассматривая равновесие элемента тела. Представим поверхность„ наклоненную к осям х, у, г (см. рис. 1.3), граничной, на которой заданы поверхностные нагрузки р„р„, р,. Составим уравнение проекции суммы сил, действующих на элемейт, на ось х.
Очевидно, что полученное уравнение будет соответствовать первому уравнению системы (1.2), ' где Х„= р„. Второе и третье уравнения получаются, если проделать ту же операцию с силами для осей у и г при У„= рд,, Л„= р,. Уравнения (1.32) могут быть получены иначе. Рассмотрим параллелепипед, вырезанный из тела (рис. 1.8). Размеры параллелепипеда вдоль осей координат х, у, г обозначим дх, ду, дг.
В плоскости, совпадающей с координатными осями х и у, действуют напряжения о„ т,„, т,„, в плоскости хг — напряжения и„, тд„, т„„в плоскости уг— о,, т,„, т„. К остальным граням параллелепйпеда, видным на рисунке, Система уравнений (1.32) для трехмерного тела упрощается, если о, = =т,„=т,г=ОиЕ=О, т.е. при условии равновесия тела в д в у хосном напряженном состоянии: — "+ — "* +Х=О; дх да — "" + — '" +'г'=О.. дх ду Уравнения равновесия элемента тела в цилиндрической системе ко- Рис. 1.10 ординат получают, как и для элемента в прямоугольной системе, основываясь на принципе возможных перемещений или суммируя все силы, действующие на элемент, иа три взаимно перпендикулярных направления (рис. 1 ° 10): дт 1 да - дт 2т ~' + + ~'+ ~'+)го О' дг г да дг г (1.34) д г,„1 д'г~о дг г дв дг г где Х„, )га, Е,— объемные составляющие нагрузки по радиусу, по касательной и вдоль осн цилиндра.
5 1.4. Упругое поведение деформируемых теп дУе дУо дУо и = — 0'- = — т = — э Ж > О Э'''1 ЕХ дах дну дую Для деформирования твердого тела всегда необходимо затратйть некоторую энергию. Поэтому функция Уо = Уо (е„, е„, ..., у, ) является положительно определенной, т.е.
при,л1пбых не равных нулю величинах в, ег, ,, у,„ выполняется услбщщ7Й'-:5И% -. ,~ Р т У т" --, е .р.,: Отличительной особенностью упругих тел является обратимость процессов деформирования. Считается, что в упругой области полностью отсутствуют остаточные деформации, т. е. работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации. Так как деформации е, ег, ... у,„являются обобщенными перемещениями для напряжений а„, од, ..., т,, то в соответствии с определением потенциальной энергии в механике назовем удел ь н о й потев ц и ал ьн о й э н е р г и е й дефо р м а ц и и упругого тела такуюфункцию Уо =По (е„е„, ..., у,„), которая обладает свойством ЕСе)и ФУНКЦИЯ «)6 ~рЯМо НЕ йаннент От КООРДИНат М, и, Ег тО УНРУГОЕ тело называется о д и о р о д н ы м. Зависимость напряжений от деформаций в таком теле будет одинаковой для всех точек тела.
Соотношения (1.35) можно рассматривать как математическую формулировку свойства упругости. Зависимости между напряжениями и деформациями, определяемыми этими формулами, могут быть нелинейными. Однако в упругих телах при малых деформациях, можно, как правило, ограничиваться рассмотрением линейных зависимостей между напряжениями и деформациями. Тела, для которых справедлива линейная связь между напряжениями и деформациями, называются л и н е й н о - у п р у г и м и телами или телами Гука. ля линейно- и гого тела ельна иаланая энергия выра.
жается в фо ме одно одного ква атичного полинома независимых пе нных — де рмаций в е В общем виде ез учета температурных деформаций удельную.потенциальную энергию линейно-упругого тела можно записать в форме 1 Уо = 2 (ам аь + азз еу + аз,е, + а447 у + аьь7„» + + а667»х + 2а12 ех еу -'Г. 2а1з ех е» + 2аььех 7ху +2а«ь ах7у»+ + 2а«ье 7 х + 2азз еу е + 2азьеу 7 у + 2йзьеу 7у + + 2азьау 7*х+ 2аз4 з»7ху ) 2азь е»7у + 2азь а»7» + + 2а4,7„„7у»+ 2а4,7ху 7,х+ 2аьь 72,7,х), (1.36) где ам, а,з, ..., аьь — коэффициенты, зависящие от упругих свойств тела. Для однородного тела это константы. В. общем случае число коэффициентов упругости равно 21.
На основании формул (1.35) получим в матричной записи (о) = = «Н (е), или в развернутом виде 1::! а 21 а«заьь а«4аьз аиз «122 а22 а24 азь а2 азз ««64 азь азь а'44а46 а46 Симм . а„аьь 66— а пх илу о» тху ту» ~»х ) Симметрия матрицы коээффициентов а«ь вытекает из условия существования потенциальной функции «.)6 1см. выражения (1.35); (1.36)1. Следовательно, для любого линейно-упругого тела связь меядд напряяениями и деформациями долина выраматься симметричными формулами или, точнее, с помощью симметричной матрицы коэффициентов. Такое тело называется л и ней н о- у и р у г им ан из о т р о п н ы м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
