Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(Поверхностные силы возникают при взаимодействии деформируемого тела с жидкостью, газом или соседними твердыми телами.) Это — в н е ш н и е с и л ы. При приложении к телу внешних сил и (или) теплового воздействия в нем появляются напряжения.
Напряжения характеризуют уровень интенсивности внутренних сил в материале конструкции. Н а п р я ж е н и е есть отношение силы к площади поверхности, разделяющей тело на две части. Если обозначить площадь элементарной площадки на этой поверхности Й5, а приложенную к ней силу — дг", то напряжение Напряжение о можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: вдоль нормали и к площадке и в плоскости этой площадки (рис.
1.1). Эти две составляющие соответствуют нормальному и и тангенциальному т„напряжениям. Модуль вектора напряжения и = )/о„'+,т„'. Чтобы полностью определить напряженное состояние в точке, достаточно рассмотреть проекции на координатные оси х, у, г составляющих вектора напряжения, действующих на площадках, параллельных коор- п б , и динатиым плоскостям. Обозначим через а„; т„у; т„, нормальный и тангенциаль- Ф" ные компоненты напряжения на площадке х = сопз1, параллельной координатной плоскости уг (рис. 1.2). Первый индекс в записи касательных напряжений характеризует положение площадРис.
! л ки, в которой лежит составляющая вектора напряжения, второй — направление этой составляющей. Для площадки у = — сопз1 компоненты напряжения будут а,, т„„, т, „для площадки г = сопэ1 — соответственно о„т,„; т,„. Введенные, таким образом, компоненты напряжения можно представить в форме матрицы пх "ху тки тпрр оп хит Юга тгу пл (1.1) Вследствие известного из курса сопротивления материалов свойства парности касательных напряжений (т „= тд„, т„, = т,„; т,„= = т,,) матрица (1.1) является симметричной. Из условий равновесия бесконечно малой пирамиды, боковые грани которой параллельны координатным плоскостям, а основанием явля- ется площадка с заданным направлением нормали и (рис.
1.3), можно получить уравнения Коши: о,1 + тр„т + т, и = Х„; тжу1+ оу»п + тгии 1 гг ° т„1 + т„,т + пгп = 7„. (1;2) Здесь 1 = соз (и, х), т =- соз (и, у), и = соз (п, а) — направляющие косинусы нормали и к площадке, для которой определяется вектор напряжения а, а Х„, ӄń— проекции этого вектора на оси координат. Рас. 1.3 Рис.
1.2 Если для данной точки заданы компоненты напряжений, то по формулам (1.2) можно определить компоненты вектора напряжения а для любой площадки, проходящей через эту точку. Модуль вектора пап яжения р а = ~' Х~г + 1'~ + Лгг. Нормальное напряжение о„= Х„1+ У„пг+ Х„п.
Касательное напряжение тп г' о од ° Систему уравнений (1.2) можно рассматривать как преобразование вектора и с компонентами 1, т, п в вектор о с компонентами Х„, У„, У„ с помощью матрицы 1Тгг1, которая называется тензором напряжений. При изменении ориентации плоскости разделения модули векторов о„и т„меняются. Существуют такие положения плоскости, когда касательные напряжения равны нулю, а нормальные достигают экстремальных значении.
Такие плоскости называются г л а р н ь1 м и, »1 соответствующие нормальные напряжения — г л а в н ы м и н ап р я ж е н и я м и. Главные напряжения определяются как корни кубического уравнения оз — 1,аз + Хза — 1з — — О, где 1„1„1з — инварианты тензора напряжений. Их можно вы- разить через напряжения: 1~ =- о. + оз+ о~' 1з - а..оз+ азаз+ аРз — т.з— туз тгх1 В 2 з 1з = а„а„а,+ 2т зт„,т„. — а„т„, — а„т,„— о,т,„.
Средним напряжением называется величина аз 3 /~ 3 (а~ ~ оз)о*) 1 4 (1.3) Тензор напряжений (1.1) можно представить в виде суммы двух тен- зоров (7',1 =- 17'„1 -1- В,1,1 где оз 0 0 1Тз) = О аз О 0 0 а, (1А) ах аз тхз тхз тзх аз аз ХХ тз о,— оз Тензор 17з) называется тензором всестороннего р а с т я ж е н и я или шаровым тензором, а тензор Вз) — д е в и а- тором напряжений. Уравнения механики твердого деформируемого тела удобно представлять в векторно-матричной форме.
Компоненты напряжений могут быть объединены в вектор (а) = (ахаза~т~зтз ~тз~) (1.5) (1.6) и соотношения (1.2) в матричной форме принимают вид И(а)= Р) (1.7) И вЂ” матрица направляющих косинусов рассматриваемой площадки; (Й) — вектор проекций напряжения на оси координат: 0 0 т 0 и Я=О 01 и О' 0 0 п 0 т Р ) (~з~ и~з) ° (1.9) 9 ф 1.2. Йеремещеиие и деформации Предположим, что в начальном ненапряжениом состоянии произвольная точка М тела имела координаты х, у, г (рис. 1.4). Рассмотрим перемещения точки от действия'внешних сил или температурного поля.
Пусть и, о, и — проекции полйого перемещения точки М на оси координат. Величины и, о, то можно рассматривать как функции координат х, у, г точки М до деформирования тела. После деформирования точка М примет положение М, с координатами $ = х + и (х, у, г); т1 = у + о (х, д, г); ь = г + то (х, у, г), (1.10) Описание, деформаций сплошной среды с помощью независимых переменных х, у, г, которые являются координатами точек среды в начальном ее состоянии, соответствует описанию в так называемых Рас.
1.4 Рас. !.5 координатах Лаграныа (или материальных координатах). В теории упругости такой способ описания является обычным в отличие от гидродинамики, где чаще пользуются координатами Эйлера, фиксированными в пространстве. Возьмем теперь другую точку тела М (рис. 1.5), бесконечно близкую точке М, с начальными координатами х+ Их, у+ оу, г+ с)г. После деформирования точка У переходит в точку М, с координатами с+ д~ = х+ т)х+ и (х+ т(х, у+ ду, г+ Ж); т1 -',— й~ = у + т(д + о (х + дх, у + с(у, г + с(г); (1.11) ~ + т1~ = г + т(г + то (х + т(х, д + 11у, г + йг). По правилам дифференциального исчисления сЯ = ! + — ) с(х+ — ду+ — йг; ди т ди ди дх ) ду дг Йт1= —" Йх+(1+ — ") с1д+ — 'Йг; (1.12) дх , ду / дг Й~-- — бх+ — с(у-',-(1+ — Йг. дх ду ' 1, дг Обозначив через дзо длину отрезка МУ до деформирования, получим й,' = ох~+ оу'+ ох'.
Длину отрезка М1У, после деформирования обозначим й. Тогда Й' = йР + йт~' + ЙР. На основании формул (1.12) получим й' =- сЬО + 2 (ехх бхй + еуу Ду~ + 8„, й' + + Рху пх ф + Рую ф Ж + ялх Ж пх)1 где = — + — — + — +— ди до ди ди до до, дэ дв еху — — — + — + — — + — — + — — и т. д. (1.14) ду дх дх ду дх ду дх ду Пусть 1 = —, т = —, и = — — направляющие косинусы отоу иапо охо оуо резка МЛ/ до деформирования. Из соотношения (1.13) следует с в ~ = 1+ 2 (е„, Р+ еуу тх+ е,„п'+ е„у /т+ зу, тп+ е„п1).
(1.15) оуо ! Считая величины а„х, г „, ..., з,„малыми по сравнению с едини— 1 цей и пользуясь приближенной формулой 1'1+ я = 1+ — а для 2 малых а, выражения (1.15) получаем е = — — 1 = — е„Р+ е „т'+ е„п'+ е,у Рт+ еу, тп+ е,х п1. (1.16) иу зо Соотношение (1.16) определяет относительное удлинение произвольного отрезка с направляющими косинусами 1, т, и' через величины е„„, еуу, ..., е,„, называемые компонентами деформаций. Их выражение существенно упрощается, если считать, что все частные производные функций и, о, в по х, у, г малы по сравнению с единицей. В этом случае в уравнениях (1.14) можно отбросить слагаемые с квадратами и произведениями этих производных.
Полученные линеаризованные выражения для компонентов деформаций обозначим, чтобы отличить их от выражений (1.14), через е„, е,, е „у„у, уу „у,„: ди до дв дх ' ду дг ди до до „ дз у, =уух= — + —; у„=у„= — + —; (1.17) ди ди 'у =у = — -1-— дх ' дг Это основные соотношения для относительных удлинений и сдвигов линейной теории упругости. В дальнейшем во всех случаях, когда нет специальных оговорок, будем рассматривать линейные геометрические соотношения такого типа. На рис.
1.6 представлены две составляющие полного угла сдвига 7 в плоскости г = сопз1. Каждая из них, как и величины е„; е„; е„уу,/2 = у,у/2; у,„/2 = ух,/2; является компонентом тензора деформации. Матрица е„ т„„/2 у„,/2 ГЙ '= у„ /2 ед уд,/2 у,„/2 у,„/2 е, (1.18) является симметричным тензором, аналогичным ранее рассмотренному тензору напряжений. 'Все зависимости, справедливые для тензора напряжений, можно переписать для тензора деформаций, заменяя Рис. 1.7 Рис. 1.б о, на е„о„'на е„, о, на е„т„на у,„ / 2 и т. и. Так, главные удли-- нения определяются из кубического уравнения /Р + /2е /з=8.
где /,,,/2,,/, — инварианты тензора деформаций. Первый инвариант тензора /,=е„+е„+е,равен относительной деформ а ц и и элемента объема тела. С р е д н е й д е ф о р м а ц и е й называется величина ео = (е„+ е„+ е,) /'3. (1.19) Введениесредней деформации позволяет представить тензор деформации в виде двух тензоров подобно тому, как это было сделано для тензора напряжений. Д с в н а т о р д е ф о р м а ц и й имеет вид ех — ео уху/2 ухг/2 улх/2 угд/2 ел — еО (1.20) Соотношения (1.17) записаны для прямоугольной системы координат.
При расчете ракетных конструкций часто необходимо иметь геометрические соотношения в цилиндрических координатах. Если и — перемещение вдоль оси цилиндра, о — перемещение по касательной к ,окружности, в — перемещение по нормали, а г, 8, г — цилиндрические координаты (рис. 1.7) (х = гсозО, у = г з1пО, г), то уравнения, соответствующие (1.17), в цилиндрических координатах имеют вид: дв до в ди — ее= — + —; дг гдО г ' дг с'1,2! ) ду [ ди дсо ди Уе = — + — — ' Т-= — +— дг, г дО "' дг дг 1 дскб ди о ..тге = — — + — — — ' г дО дг Основные геометрические соотношения (1.17) линейной теории упругости в прямоугольных координатах в матричной форме имеют вид (е) = 1о1 (и). (1.22) Векторы деформаций (е) = (е„е„е, 7,„у„, у,„)т и перемещений (и) = (иои)г связаны матрицей О О д — О ду д О дг д дх О (1.23) ду дх д д дг ду д О дх д дх $4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
