Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это замечание относится ко всем решениям, полученным на основе принципа Сен-Венана. 5 2.3. Плоская задача теории упругости в полярных координатах Уравнения плоской задачи теории упругости в полярной системе координат можно получить, или повторив вывод этих уравнений в новой системе координат, или преобразовав формально окончательные уравнения из ~ 2.1, записанные в прямоугольной системе координат. Для вывода уравнений равновесия и соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями, воспользуемся первым путем. Условия равновесия элемента с размерами с)г и гс18 (рис.
2.7, а) в проекции на оси х1 и у1 выглядят так: — сг„гс18+(ст,+ —" с1г (г+с(г) с18 — т,еФ+ дг дт,.~ + т,е+ — ' с10 с1г — се сЫО+ рд„гс10с1г=О; уее — ссей'+ сге+ — с18 с1г — ткеМО+ дв + т в + с)г (г+»»г)».»0+ д'гв дг + т,айги(0+равп10дг=О. После упрощений получаем два уравнения: 1 д дтгв ив — — (го,) + ' — — + г дг гд8 г + рог — О» 1 д д.в — — (гт,в) + — + г дг ' гд8 + — "+Ив= О. г С1 » ди' дг+и ' — йг т дг А 8 С А х,...О О д«и »« . . . О «Й8 О в в ди и + — '49 — в48 д8 д»» гй8+ и+ — 68+ и68 д8 ди »» + — йг д« Используя эту таблицу, легко определить длины отрезков А,С, и А1В1: А,С,=Йг 1+ — +— АВ,=гй0 1+ ~ + " + Относительные удлинения в радиальном и окружном направлениях Здесь рог и ра'в — объемные инерционные нагрузки; остальные обозначения ясны из рисунка. Для вывода соотношений, связывающих компоненты деформаций в полярной системе координат с перемещениями, проследим за смещением трех точек А, В и С в т (рис.
2.7, б). Обозначив перемещения в радиальном и окружном на- Рис. 2.7 правлениях через и и о, составим таблицу координат этих точек до и после деформации в системе коор,. динат с осями х, у„связанной с точкой А: Для определения угла сдвига у,в найдем скалярное произведение векторов А,В1 и А1С, по формуле + + г я А,С, А,В,= А,С, А,В,сов~ — — угв = А,С, Л,В,81пу„в, откуда А1С1 ' А1В1 = Й' (1 + е,) 'дО (1 -1- ев) е1пугв.
С другой стороны, скалярное произведение можно подсчитать и как сумму попарных произведений проекций векторов А,С, и А,В, на оси ,т, и у,: А, С, А, В, = й + —" дг1 ( — ' дΠ— иЮ + дг /~ дО + — дг л10+ — ЙО+идО '. Сравнивая эти два выражения и считая е1пу,в = у,в, можно записать ( + ")( +ев)~' ~ дО д ОО + Окончательно, ограничившись в выражениях для е„, ев и 7,в линей- ными слагаемыми, получим ди . дв и, ди дв в е„= — ', ев= — + —; ага= — + — — —. (2.21) дг гдО г ' гдО дг г Для изотропного тела закон Гука в любой ортогональной системе координат имеет тот же вид, что и в декартовой системе координат.
Например, в случае плоского напряженного состояния, изменив только индексы в формулах (2.2), можно записать Е ог = — (е„+ Рев); 1.~2 ав = — (ее+ Рег); Е (2.22) р2 Е ! — и тгв = Угв ] рЗ Я Аналогично преобразуются и все другие ; "исимости, свызывающие компоненты деформаций с компонентами напряжений в плоской задаче теории упругости. 48 Рассмотрим напряжен~~ состояние, обладающее полярной симметрией' при т,о = О, В этом случае напряжения о„и оо могут изменяться только по радиусу г. Первое уравнение равновесия (2.20) принимает вид ов — (го„)' — — + рк„= О, Г г (2.23) В ~ 2.2 приведены примеры решения плоской задачи в напряжениях; для рассматриваемой задачи построим решение в перемещениях.
Для этого, использовав зависимости (2.22) и (2.24), выразим напряжения через перемещения: о„= — и'+ 1ь— (2.25) Подставив эти выражения в уравнение равновесия (2.23) получим одно уравнение с одной неизвестной функцией и = и (г): Последнее уравнение можно записать и так: с 1,1 1 — рз — (иг)'~ = — — рд,, г После двукратного интегрирования и = С, г+ — ' — — г:" рд„с(гсвг, (2,27) где постоянные С1 и Сз определяются из граничных условий.
После определения перемещения и = и (г) по формулам (2.25) находят значения напряжений. Отметим, что после замены величин Е и 1ь на Е и р, с помощью выражений (2.13) решение, полученное сейчас для плоского напряженного состояния, дает решение для плоского деформированного состояния. * Строго говоря, в общем случае напряженного состояния, обладающего полярной или осевой симметрией, возможно т,о —— т,е (г); пример такого рода напряженного состояния дан в конце параграфа. Однако, когда говорят о полярной или осевой симметрии напряженно-деформированного состояния, обычно имеют в виду рассматриваемый здесь случай. где.штрихом обозначено дифференцирование по г; объемная нагрузка рд, изменяется только по радиусу г. Второе уравнение равновесия будет тождественно удовлетворено при рпо = О.
Для изотропного тела любая симметрия напряженного состояния означает такую же симметрию деформированного состояния, т. е. в нашем случае и =- и (г), и = О, у,н = О и из формул (2,21) следует е„= и', ев = и~'г. (2.24) Соответствующие эпюры показаны на рис.
2.8. Аналогично определяют перемещение и= и (г) и распределение напряжений и при других граничных условиях в кольцевом диске. В качестве второго примера использования общего решения (2.27) прнведемзадачд./7аме определения напряжений и перемещений в толстостенной трубе, нагруженной постоянным по ее длине внутренним давлением р1 и внешним давлением р2. Вначале примем, что торцы трубы зафиксированы в осевом направлении и е, = О. т. е.
примем, что труба находится в условиях плоского деформированного состояния, рассмотренного в ~ 2.1. Тогда' решение, полученное для плоского напряженного состояния, после замены Е и р на Е и р по формулам (2.13) даст решение рассматриваемой сейчас задачи, Учитывая, что объемные нагрузки отсутствуют, из выражения (2,27) получим и = С1 г+ Сз/г, а из формул (2.25) находим Введя новые произвольные постоянные Е .
Е А= — С;А= —, — ь г— 1-Р, 1+1 ' можем записать и = — ~А1 (1 — 2р,) г+ — ~ 1+1~ Г А~ 1 Е 1 г (2.30) и а„= А, — Аз / с'; оа = А1+ А2 / ~'. (2.3!) Причем из закона Гука и условия е, = 0 следует о,= 2иА,. Постоянные А1 и А2 определяют из силовых граничных условий ог («1) Р1 н ог (га) Р2' А =. Р'" "' Р'; А,= 1 — г~/«~2 1 — «1(г*, где г, и г2 — соответственно внутренний и внешний радиусы трубы. В итоге получаем законы распределения перемещений и напряжений по толщине стенки трубы, причем напряжение о, постоянно и при неподвижных торцах о * Р1 г~~/г~~ — Р « 6~ =2р, 1 †«/г~ Зто решение справедливо и в том случае, если торцы трубы не зафиксированы в осевом направлении, а нагружены постоянным давлением р3 = — о3, где напряжение ое определено последней формулой.
Если же постоянное давление на торцах трубы р, = р~ + Лрз, то значения И напряжений о„и аа по-прежнему определя|отся формулами (2.31), а осевое напряжение и радиальное перемещение соответственно равны = оа — Арз', о и= — ~А,(1 — 2р,) г т — ~+ — абраг. 1+р, Аа1 р Е Е В частности, при Лр, = о', получим решение для трубы со свободными торцами. Заметим, что приведенное решение в соответствии с принципом Сен-Венана описывает напряженно-деформированное состояние в длинной трубе с произвольно загруженными торцами, если только нагрузка на торцах статически эквивалентна осевой силе. Вернемся к общим уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки од, и ров равны нулю.
В 5 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармоническаго уравнения (2.8); при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод Рис. 2.9 этих соотношений можно повторить и в по- лярных координатах, но делать это не обязательно: достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так: (2.32) Функция напряжений ф в полярной системе координат связана с напряжениями зависимостями 1 д<р 1 даф.
д'ф д ( 1 дф~ сгг = — — + — —; ое = — ', т,а = — — ~ — — ~ . (2.33) г дг га два ' дга дг ~ г д6~ При рд, = О и рде = О эти зависимости обеспечивают тождественное удовлетворение уравнений равновесия (2.20). Аналогично преобразуются и граничные условия при переходе к новой системе координат. Решение бигармонического уравнения (2.8) в полярной системе координат пронллюстрируем одним простейшим примером.
Для кольцевой области (рис.2.9) зададим функцию напряжений ф = СО. Нетрудно, проверить, что выбранная функция удовлетворяет.бигармоническому уравнению в полярных координатах. Согласно зависимостям (2.33) этой функции соответствует поле напряжений ог — — О, па =О, тга — — С/г . б2 Из закона Гука как для плоского напряженного, так и для плоского деформированного состояний имеем 2(!+р) С , = о., = о, гВ Е Тогда для определения перемещений из формул (2.21) получим уравнения ди и 1 до 1 ди до о 2 (1+и) С вЂ” =-О, — + — — =О, + дг ' г г дО ' г дО дг г Е га Отсюда, положив для определенности о (г,) = О, придем к такому результату; и= О; На рис.
2.9 этот результат изображен графически $2А. Осесимметричный изгиб круглых пластин г В основе технической теории пластин и оболочек, используемой при ;;:.' расчете тонкостенных элементов конструкций, лежат два важных упрощающих допущения — гипотезы Кирхгофа. С этими допущениями !' мы познакомимся на примере задачи об осесимметричном изгибе круг- 1 лой пластины постоянной толщины — одной из самых простых задач ;.'-„теории пластин.
Отнесем тонкую круглую пластину к цилиндрической системе координат, направив ось г по оси вращения и поместив начало координат посредине толщины й (рис. 2.10). Пластина нагружена поперечными силами, приложенными симметрично относительно оси и; закрепление контура пластины также осесимметрично. Для исследования напряженно-деформированного состояния пластины, вызванного ее поперечным изгибом, используем упрощающие допущения теории пластин и оболочек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
