Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Первое допущение, илп г и и о т е з а н е и з м е н н о с т и н о рм а л е й, носит кинематический характер: все материальные элементы пластины, до деформации перпендикулярные ее срединной плоскости, после деформации остаются прямолинейными и перпендикулярными искривленной срединной плоскости, а длины их не меняются. Второе допущение, или гипотеза непадавливания с л о е в, относится к напряженному состоянию пластины: нормальные наприаения о, в площадках, параллельных срединной плоскости, пренебрекимо малы по сравнению с нормальными напряэюениями в площадках, перпендикулярных срединной плоскости.
Задачу изгиба пластины рассмотрим в линейной постановке, т. е. прогибы пластины будем считать малыми по сравнению с ее толщиной, уравнения равновесия составим для недеформированного элемента пластины, а в выражениях для относительных удлинений ограничимся линейными слагаемыми. При такой постановке задачи можно считать, чтоточки срединной плоскости пластины получают только перемещения гг = ги (г) в направлении оси и, а срединную плоскость принять нерастяжимой. Геометрические соотношения, описывающие деформацию пластины, нетрудно получить,.опираясь на первое допущение.
В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть деформацию одного радиального сечения пластины (рис. 2.11, а). Проследим за перемещением материаль- ногоэлементаАВ, додеформации перпендикулярного срединной плоскости пластины. После деформации (рис. 2.11, б) этот элемент, оставаясь в плоскости сечения, повернется иа угол д и займет положение а) Рис. 2.11 Рис. 2.10 А,В~. Поперечные перемещения в (и) малы, поэтому угол наклона касательной к искривленной срединной плоскости можно принять равным ы'.
Тогда из первого допущения следует (2.34) где штрихом обозначено дифференцирование по г. Поскольку в соответствии с первым допущением длина элемента АВ не изменяется и угол 6 мал, точка В перемещается в радиальном направлении на величину (2.35) Воспользовавшись зависимостями (2.24), находим величины относительных удлинений: с з„= и = — г~г, ии = и ! г =- — где. (2.36) Заметим еще, что гипотеза неизменности нормалей эквивалентна допущению, что углы сдвига у„, = О по всей толщине пластины.
Формально это следует из выражений (1.17), (2.34) и (2.35): дги ди у = — + — =в — д — О. г* дг дг (2.37) (.вязь между внутреннимй силовыми факторами в пластине и пеемещениями точек ее срединной плоскости устанавливают с помоью второго основного допущения. Считая материал пластины изотропм и подчиняющимся закону Гука и положив на основании гипотезы иенадавливания слоев О, = О, найдем связь между напряжениями „ав и относительными удлинениями в„, вв по формулам (2.22) для ' лоского напряженного состояния. С учетом зависимостей (2.36) олучим бр= г — ~д +~2— 1 — рЯ 1, г)' (2.38) пв= — г — ~ — +Ф' .
1 — ф~г '3 силу симметрии задачи т,в =- О. Нормальные напряжения, линейно распределенные по толщине, 'статически эквивалентны изгибающим моментам в сечениях пласти'ны. В теории пластин и оболочек пользуются значением интенсив- ::ности этих моментов, т. е. отношением момента к длине сечения (обыч;но интенсивности моментов называют просто моментами). В окружном ,.аеченин (рис.
2.12) изгибающий момент + Л/2 + Л/2 М~ — — — о, гйг = — ~б'+ р, — ) г2 Й = рЯ г Л/2 — Л/2 ~: За положительное направление момента М„выбрано направление, ~ соответствующее положительным значениям величин д и б'. Аналогично подсчитывают внутренний изгибающий момент в ради- ~: альном сечении: + Л/2 Г РЛ2 Мв = — ~ ов гдг = ~ — +.
1Ю'. 12 (1 — р2) [, г — Л/2 Окончательно запишем М„=- 0 (О' + р,Иг); Мв = П (д/'г + 120'), (2.39) где /'./ (2.40) Величину 0 называют жесткостью пл асти ны (или оболочки) н а и з г и б или ц и л и н д р и ч е с к о й ж е с т к о с т ь ю, В окружном сечении возникают не только нормальные напряжения о„, но и касательные напряжения т„,. (Из условия симметрии задачи в радиальном сечении касательные напряжения тв, = О и поперечная сила ®в = 0.) Равнодействующая касательных напряжений т„, рас'' пределенных по толщине пластины, дает поперечную силу, интенсив- ность которой обозначим (~, и в дальнейшем будем называть просто поперечной силой.
Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принята а у„а =, касательные гипотеза неизменности нормалей и углы сдвига = О, напряжения т,а и поперечную силу Д„нельзя связать с деформацией пластины с помощью закона Гука. ны см. ис. 2.10 . Н Рассмотрим условия равновесия элемента выделе ел нного из пластины (см. рис.. ). а гранях этого элемента действуют внутренние силовые факторы (рис. 2.!3), причем в силу симметрии момент Ма по окружности пластины не меняется, а поперечная сила Да — — О.
Через Вг Рис. 232 Рис. 2.13 р =- р (г) обозначена интенсивность внешней по е ру т. е. отношение суммы всех внешних повер б ей поперечнои нагрузки ове хностных и объемных сил деиствующих на элемент, к его площади. ! Из равенства нулю проекций всех сил на ось г ь г следует: Ю„гс1Π— Я, + с%„) (г + дг) с1О + ргс(Ой. = О. Сократив это выражение на величину ЙОс1г, получим И~) (2.41) Приравнивая нулю сумму моментов всех си л относительно оси, кавь сательнои к дуге окружности радиусом г + Йг б г, и от расывая величины ысших порядков малости, получаем уравнение (гМ,)' — Ме = — гО- (2.42) О стальные условия равновесия удовлетворяются тож ест силу симметрии задачи. ются тождественно в При заданных нагрузках и условиях зак епления пол отношения (2.34), (2.39) (2,4 , 1), (2.42) дают возможность найти нап яженно-деформированное состояние и прогибы пластины.
т Для пластины постоянной толщины обычн очное аналитическое решение преобразовав о ьчно нетрудно пол чить 3 а овав полученные зависимости следующим образом. Подставив соотношени (2.39) я ( . ) в уравнение рав- 66 новесия (2.42) и поделив все слагаемые на произведение Ю, получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно угла д: О" +- О'/г — д/г' = 1~,/И. (2.43) С точностью до обозначений это уравнение тождественно уравнению (2.26), и его решение (если поперечную силу считать известной функцией радиуса) можно записать в виде, аналогичном выражению (2.27): О=С,г+ — '+ — г Ц„дг дг.
(2.44) Здесь С, и С, — произвольные постоянные, для определения которых . должны быть заданы два граничных условия относительно угла б на;; клона нормали при г = г, и г =- г,. Например, в задачах, изображенных на рис. 2.14, эти граничные ; 'условия будут: а) при г = г., д=:0; при г = г, М,=О, т.
е. д' + рд/г~=-0' б) при г=г1 М,=-О,т. е.д'+рд/г =-0; при г= — г, О=О. Поперечную силу Яг„, входящую в выражение (2.44), в общем случае можно найти из уравнения равновесия (2.41): Д Яг = — грй+ —, Г (2.46) г,) г 'где С, — новая произвольная постоянная, для определения которой . следует привлечь граничные условия относительно поперечной силы 1' или поперечного прогиба.
Например, в задаче, изображенной на :;: рис. 2.14, а, поперечная'. сила при г =- г„ очевидно, равна внешней 2 Рис. 2.14 : распределенной нагрузке д, т. е. при г = г, Я„=д. Из этого граничного условия находим произвольную постоянную С,. В рассматривае' мой задаче р — О, следовательно, С, =- г,,д, и окончательно получаем 1;1, = дг,/г. Задача, изображенная на рис. 2.14,б, относительно поперечной силы статически неопределима, и для нахождения Сз здесь необходимо привлечь следующие граничные условия: при г=г, в — О; при г=-г, в=0.
Функцию поперечного прогиба ы (г) находим из уравнения (2.34): ~ — 5 Ойг+С„ (2.46) и,'" = =Г6Мг,/У, (2.47) пв'" =- ~6 Ма//!'. Рассмотрим пример расчета сплошной круглой пластины, свободно опертой по контуру и нагруженной равномерным давлением (рис. 2.15, а). Относительно поперечной силы 1~„ эта задача статически определима; в таких случаях !~, обычно удобнее находить не из уравнения равновесия (2.45), а просто г рассматривая условие равновесия центральной части пластины.
Из условия равновесия в проекции на ось г юг 9, + пгэр = О. !чв Отсюда Я„= — рг/2. Интегрируя выражение (2.44), получаем д =- С1г + С,/г — рг'/(160). — г!'г-,а/ яг !б Рис. 2.!5 При г = О из условия симметрии угол д поворота нормали должен быть равен нулю, а на свободно опертом контуре момент М„= О. Следовательно, граничные условия отыосительно угла б таковы: при г=О 6=-0; при г=Д д'+рдЯ=О. Из первого граничного условия следует С, — -. О, а из второго находим С, и окончательно получаем р!~з / З+р г гз ~ !6О !~ !+р Я Яэ /' Из выражения (2.46) находим где С, — еще одна произвольная постоянная. Итак, для определения четырех произвольных постоянных мы имеем четыре граничных условия: два составленных выше условия относительно угла д, и два условия относительно поперечного прогиба и.
После того как функция д (г) найдена, нормальные напряжения можно подсчитать по зависимостям (12,38), причем наибольшие по толщине значения напряжений, очевида) Я но, имеют место при г = -~-/!/2. Окончательным формулам для подсчета наибольших напряжений удобно, используя зависимости (2.38) и (2.39), придать такой вид: 4'де произмльйая постоянная С, определяегся из грайичного услб.
вия относительно прогиба: при г = й и= О. После очевидных преобразований приходим к зависимости И рК4 / 1 5+р, 1 3+р гй 1 гй + Па формулам (2.39) определяем изгибающие моменты: рЩй / гй М„= — (3+ Р) 1'1 — — ~, 16 Яй Ме =- — (3+у) ~1 — — ). рай Г 1+ 31й 16 з+. л) фпюры прогиба и изгибающих моментов, построенные по полученным езависимостям, показаны на рис. 2.15, б. Максимальные значения мо- ентов наблюдаются в центре пластины; соответствующие им напря': ения находим по формулам (2.47); отпай отай а (з+1) 16 Ь де Ь вЂ” толщина пластины. Оценим теперь степень точности основных упрощающих допущений, помощью которых решена задача.
Из последних формул следует, что ормальные напряжения а„и и в пластине оказались порядка велиины рКй/Ьй. В то же время нормальное напряжение и, изменяется по " лщине пластины от и, = — р до о, = О, т. е. имеет порядок р. оэтому для тонких пластин' допущение о пренебрежимой малости . ,' апряжения о, вполне оправдано, причем чем тоньше пластина„ тем чнее выполняется зто допущение. Допущение о неизменности нормали означает, в частности, прене, режение углами сдвига у„, по сравнению с углами поворота нормали. рассмотренной задаче, как нетрудно видеть, величина б имеет по- ядокрй'/(Ь'Е). Касательные напряжения т„„интегрирование кото- рых по толщине пластины дает поперечную силу Я„, имеют, очевидно, ~порядок Я„/Ь. Следовательно, в-рассматриваемой задаче т„, имеют по;рядок рЯ/(2Ь) и вызывают углы сдвига т„, порядка рЯ/(2Ьб), где Ж вЂ” модуль сдвига.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
