Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Введем вектор состояния (у) = (ид М ®г (3.29) и вектор нагрузки (Е) = (ООΠ— д)г. (3.30) Система (3,27) в матричной форме примет вид уравнения (3.19) — „„(У)+1Л (У) =Г) где Π— 1 0 О 0 О 1!Е3 0 0 0 0 — 1 О О 0 О Матрицы граничных условий (3.20) 1 О 1 0 1В)0 = 0 1 0 0 О О 0 1 , (в],= 0 О 0 О (З.зц и Все составляющие векторов (В), и (О), — нулевые. Общее решение матричного уравнения (3.19) в нашем случае можно представить так:' (у) = С, (у,) + С, (у,) + (г). (3.
32) Значения векторов (у1), (у,), (г) при х = 0 выбирают так, чтобы граничные условия удовлетворялись прп произвольных С, и С,: (у,), = (0010)г, (у,), = (0001)г, (г)о = (0000)г. (3.33) При начальных значениях (у,), и (у,), нужно проинтегрировать однородную часть уравнения (3.19), а при (г) — уравнение (3.19) с правой частью. В результате получим значения векторов при х = 1: (у1)1 = (н~ 01М1О~)~ (у»)~ = (~«'.0лЛ4 Ю; (е)1. (и о 0о МоЯо)1 ° В соответствии с выражением (3.32) вектор состояния при х = 1 (у)1 = С (у1) + Со(уо)1 + И (3.34) и каждая составляющая векторов (д,)„(у,)„(г), теперь известна. Первые два вектора образуют матрицу [1'1,„которая вместе с матрицсй [В1, из выражений (3,31) позволяет найти вектор констант (С): (С) =- — [ [В1, [1 ),1-' [В[, (г),. (3.35) В случае неоднородных граничных условий для нахождения вектора (С) нужно воспользоваться соотношением (3.26).
Известные теперь С1 и С, соответствуют изгибающему моменту и перерезывающей силе в начале интервала интегрирования, Зная их и вектор (у)„систему (3.27) в матричной форме (3.19) можно проинтегрировать еще раз, тем самым определив все составляющие вектора состояния (у) от х = 0 до х=1. При интегрировании систем уравнений вида (3.19) применяют различные численные процедуры. Кроме метода Эйлера широко используются методы повышенной точности, такие, как метод Рунге— Кутта, Кутта — Мерсона и др.
Отметим, что большинство вычислительных машин снабжены стандартными программами, реализующими эти методы. Рассмотренная последовательность решения задач используется для расчета различных стержневых систем, пластин, оболочек, состояние которых может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями. Метод начальных параметров обладает определенными преимуществами перед другими численнымп методами, но имеет и существенный недостаток. При большой длине интервала интегрирования и больших коэффициентах в матрице [А) не всегда удается получить достаточно точное решение задачи.
Оказывается, что значения векторов (г)„(у1)„ (уо), и других в конце интервала интегрирования мало чувствительны к изменению начальных параметров. Приходится иметь дело с так называемой «плохо обусловленной» задачей, когда обратная матрица, существенно влияющая на составляющие вектора констант (3.26), оказывается очень неточной.
Это, в свою очередь, ведет к неточному определению вектора состояния. Существует возможность уточниуь решение. Для этого весь интервал интегрирования делится да несколько участков. Интегрирование проводится отдельно для каждого участка и затем участки стыкуют друг с другом. (3.37) Найдем решение рассмотренной выше задачи, описанной обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, число которых и, и граничными условиями, число которых и/2, на каждом конце интервала. Разделим всю длину вначале на два участка и обозначим граничные точки 0 и 2, а промежуточную — 1.
Решение для первого участка 0 — 1 имеет вид (д) = С (д ) + С„(д„.) + ... + (з,), (3.36) для второго участка 1 — 2 (д) = С,~ (у,~) + С„(ды) + ." + (~,), Число частных решений однородной системы (3.19) для первого участка равно п/2, для второго — и. Суммарному числу (и + и/2) соответствует количество неизвестных констант, которые нужно определить. Их находят из условия стыковки векторов (д) первого и второго участков в точке 1 и из граничных условий в точке 2: С„(д„), + С„(д„), + ... + (г )~ = С~ (ды) + + С22(У22)1 + ''' + (~2)1! (3.38) (д)~ = Сы (уы)з+ Сы (дмЬ+ "+ (г~)~. (3.39) Векторы (у,,)„(д,,.), и т.
д. выбирают так, чтобы граничные условия в точке 0 удовлетворялись тождественно; составляющие (гДО принимаются равными нулю. Интегрирование на участке 0 — 1 позволяет найти значения этих векторов в точке 1. Векторы правой части соотношения (3.38) в точке 1 (начало интервала 1 — 2) выбирают следующим образом: (д,,), = (100 ... 0)~; (у,,), = (010 ...
0)~, (д„)~ = (001 ... 0)"; (г,), = (000 ... 0)г. Вектор (у,.) в формуле (3.39) определяет граничные условия в точке 2. Их всего п/2, поэтому из всех уравнений (3.39) нужно оставить только те, которые соответствуют известным условиям на границе. Векторы (д д),; (у~з), и т. д. находят интегрированием уравнений на участке 1 — 2 при начальных условиях (3.40). Из уравнений (3.38), (3.39) определяют неизвестные константы См, С,~ ит.д., позволяющие, еще раз проинтегрировав систему (3.19), найти искомые значения вектора (у) на участках 0 — 1 и 1 — 2. Рассмотренная процедура может быть обобщена на случай, когда во всей области имеется большее число участков.
Положим, весь интервал интегрирования разделен на т участков. Число уравнений (3.38) и (3.39) будет равно т. Порядок всех уравнений, кроме последнего, равен и; последнее, соответствующее граничному участку, имеет порядок и/2. Количество неизвестных констант равно (т — 1) и + и/2 = = тп — а/2.
Нужно иметь в виду, что и/2 граничных условий удовлетворены на границе в точке О. Для определения составляющих векторов в конце каждого участка нужно численно интегрировать уравнения (3.19) (та — а/2+ и) раз, т, е. столько раз решать задачу Коши. Процесс этот довольно громозд- кий, но если он выполнен, можно переходить к нахождению констант Сд„С„и т. д.
Константы определяют из (тп — п/2) неоднородных линейных алгебраических уравнений. Решение уравнений может быть получено с использованием, например, метода Гаусса. Для определения составляющих вектора (у) необходимо еще раз проинтегрировать уравнения (3.19) при найденных константах Сд, С„... и т. д. Таким образом, рассмотренный метод состоит в непосредственном' интегрировании (и + 1) задач с начальными условиями по всем участкам рассматриваемого интервала.
После того как это сделано для всех участков, на их границах задают условия непрерывности векторов, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Затем решают эту систему, что позволяет в конце концов найти составляющие вектора состояния во всех точках стыка участков. Отметим некоторые особенности рассмотренного в этом параграфе матричного метода начальных параметров. При применении его для расчета конструкций нет необходимости сводить дифференциальные уравнения к меньшему числу уравнений более высокого порядка. Запись в матричной форме позволяет осуществить интегрирование системы в таком виде, в котором она получена при выводе уравнений. В отличие от других численных методов здесь удается при интегрировании матричных уравнений следить за размером шага и автоматически выбирать его так, чтобы удовлетворялась требуемая точность решения.
Размеры участков, на которые делится весь интервал интегрирования, могут быть разные. Предварительно их определяют, руководствуясь асимптотическими оценками, например при расчете оболочек — длиной краевой зоны. Более точная разбивка интервала может быть осуществлена с помощью повторных расчетов. Рассмотренный метод был разработан и применен к задачам строительной механики в работе 141. В ней же даны некоторые усовершенствованные его варианты. ф 3.3. Метод конечных разностей Метод конечных разностей (МКР) основан на замене непрерывных функций и их производных в дифференциальных уравнениях дискретными значениями и приведении уравнений к алгебраической системе высокого порядка.
Эффективность решения задач в разностной форме зависит от особенностей разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, вида краевых условий и конфигурации области, в которой ищется решение. Ч- ~.Ч-. ц" Рассмотрим подробнее особенности разностной аппроксимации производных на примере одномерной схех'-г ~1 х1+и мы. На рис. 3.1 изображена некото- з;, ~;+, рая непрерывная функция 1' (х) и от- Рис.
3,1 мечены ее дискретные значения ~;,; ~~ „ /~, ~з+,, ~;+з. Положим, что расстояние по оси хмежду соседними значениями функции одинаково и равно Л. Если / (х) имеет непрерывные производные, то значения /;~, и ~~, могут быть представлены через значения функции / и ее производных в точке 1 с помощью ряда Тейлора: Ь+ /,+д/,+ Л/,+ д/ т д/ +..., (3.41) Л/ 1 Дз~ ~ Дз~ 1 1 Л4Р1 (342) Первую производную в точке / из уравнений (3.41) можно записать так: / = (/; ~~ — ~~) /Л вЂ” Д/," / 2 + .... При гладкой функции, когда вторая и высшие производные конечны и имеют примерно одинаковый порядок и когда значение д мало, вторым и последующими членами ряда можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
