Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Как уже отмечалось, формулы для разностной аппроксимации производных (3.67) могут иметь и иной вид. Если требуется более высокая точность у решения формулы должны быть значительно сложнее. В первую очередь это отражается матрицей [С1. Что касается физической стороны соотношения (3.70), то когда задача решается в перемещениях и узловые функ, ции или векторы (3.69) выбраны так, что 'они соответствуют узловым перемещениям, матрица [К1 является матрицей х жесткости метода конечных разностей.
Рас. з.з Она устанавливает связь между усилиями и перемещениями в узлах сетки и, можно сказать, оказывается некоторым аналогом матрицы жесткости метода конечных злементов, Рассмотренный вариант прямоугольной сетки не единственный, Для областей сложной конфигурации сетку удобно выбирать так, чтобы она совпадала с граничным контуром. В этом случае треугольные элементы оказываются более рациональными — их можно лучше расположить вдоль криволинейной границы. Такая сетка с элементами разных размеров может применяться при расчете конструкций, имеющих отверстия, включения сложной формы, при нагружении тела локальными силами и т.
д. Рассмотрим, как записываются производные функции в точке О через значения функций в окружающих точках (рис. 3.6). Координаты точки О, так же как и точек 1 ... 6, считаются известными. Воспользуемся уравнением (3.66) и запишем его в матричной форме для каждой точки 1= 1 ... 6: дхз д/ ддз дз/ (3.70') или И1) = и! (ФЬ откуда обратное соотношение для вектора производных (Ф1= И! ' И1). Уравнение двумерной задачи (3.64) в разностной форме для треуголь- ной сетки следующее: (3.7Ц 1К! (гр1) = (~), где [К! = (А! Я! — '. Соотношения (3.70) и (3.71) имеют одинаковую структуру.
Матрица 1К! здесь также соответствует матрице жесткости метода конечных разностей, если (~,) — вектор перемещений. При решении двумерных задач методом конечных разностей нужно представить в дискретной форме не только систему разрешающих уравнений, но и граничные условия.
Не всегда зто просто сделать, особенно для сетки, не совпадающей с граничным контуром. Некоторые области могут иметь границу, проходящую между узлами сетки. В этом случае граничные условия на заданной области А (рис. 3.7) необходимо перенести на сеточную область Б, т. е. функции в точках 2 и 4 заменить на функции в точках 1, 3 и б.
84 /1 / 1з ~4 15 Гв Лх! /2 Лх3/2 Лхз/2 Лх4/2 Лхз/2 Лх,'/2 ЛУ1/2 Лх1ЛУ1 Лх, ЛУ3/2 Лх,ЛУ, Лх, Луз/2 ЛхзЛуз Лхз ЛУ4/2 Лх~ Лд~ Лх~ Луз/2 Лх,ЛУ, Лх, Луз/2 Лх,ЛУ, Лх, Лд, Лу, 1 Луа Лу, 1 Лу, 1 Лув дхдд ) д/ дх д/ дд > Применяя простейший вариант замены, использующий линейную интерполяцию, получаем (3.72) Здесь ), и 7, — известные функции, определяемые граничными условиями, а соотношения (3.72) связывают функции в точках, близких к граничному контуру. Чтобы получить уточненные соотношения, соответствующие нелинейной интерполяции, необходимо использовать большее количество точек. Так, функцию в точке 4 заменяют функциями в точках 8 н а; то же касается точки 7 и др.
При решении задач граничные условия на контуре задаются не только относительно самой функции, но и относительно ее производных. Переход к граничным условиям на сеточной области в этом слу- Рис. З.б Рис. 3.7 чае несколько сложнее. Предварительно необходимо получить в граничной точке производные по каждому из направлений х и д. Эти производные заменяют разностями значений функции в близлежащих узлах сетки.
Так, производная в точке 2 по направлению у может быть заменена приближенным соотношением д~ ! ~з — ~с дд ~д 6У Уточненные зависимости получают, используя ряд (3.66). Уравнения и граничные условия, записанные в разностной форме, должны быть распространены на всю область интегрирования. Для этого в качестве центральной точки О последовательно рассматривают все внутренние точки области и точки граничного контура.
В результате получается алгебраическая система уравнений высокого порядка. Подобные уравнения решают известными методами линейной алгебры. На примере расчета прямоугольной мембраны, нагруженной поперечной нагрузкой р (х, у), рассмотрим решение двумерной задачи. Деформированное состояние у мембраны описывается уравнением (3.65). Мембрана размера а х Ь (рис. 3.8) закреплена на контуре так, что во всех точках границы перемещение и = О. Нанесем на поверхность мембф раны сетку с шагом Лхвдоль оси х и шагом Лу вдоль оси у. Положим Ах= а/Б. Вектор (Ф) в об- ~2 л з2 щей системе уравнений упро- 11 21 Л Ж /=1 щается и принимает вид а Матрица [А1= [111.
®1,/+~ Узловым точкам присвоим два индекса. Центральная точка О о . . ~р будет иметь индекс 1, /, осталь- 1+1,/ ~~ ные представлены на рис. 3,8, Вектор узловых перемещений 04 1,/'-1 принимает вид Рис. 3.8 (И= .~т = (%1+и зз1,1+~ и'1т 1в., 1 — Р'-и) ° Уравнение (3.70) в разностной форме может быть записано следующим образом: ® 1-1,/ и' +м %1,1+~ И11 %1,1 — д 1% — ~,1 1 О Лхз 1 — О Ьуз — О [1 Ц 1 О = (Р). (3.73) А з Ауз Помещая центральную точку 1, у последовательно на линии 1 = 1, 2, 8, 4 и оставляя индексы у, у — 1, /+ 1, получаем систему уравнений с = 1) (ы,; — 2ы,, + ~со 1/Лхз+ (и~з ...— 2в, 1+ и,,; Д/ЛУ' = р,;; Е= 2) (Юз — 2Ы/з,у+ И~, )/ЬХ + (ыз,з+~ — 2ыъз д+ из у ~)/Лу~=рз,1~ 1= 3) (1изз — 2п~з,з+ н~з,1)йх'+ (пЪ,1+т — 2~зз,;+ пЬ.з-дlЛУ' =Рз,~' Е =4) (и,,; — 2в, 1+ из,;)/Лхз+ (сиз,, +, — 2тю~;+ аг,,;,)/Луз =р,, (3.74) В первых слагаемых каждого из уравнений индекс 1 общий, а во вто- рых — общий индекс / в каждом столбце.
Если ввести векторы ( ) = ( 1 4)' (И = Ь1Р р р4)', то система (3.74) может быть представлена в виде — [В[( ) + —,(( Ь вЂ” 2М;+( Ь- =(Р); (3.76) Учитывая, что аь| =- щ~ = О, получаем матрицу — 2 1 О О [В1— О 1 — 2 ! О О 1 — 2 ~' Решение разностного уравнения (3.75), или его несколько иначе за- писанного варианта ( ) + + [л ( Ь + (~Ь- = М' (И~, Где (3.76) [Е1 = ~ [В[ — 2 [11, Лх~ ,: может быть получено методом прогонки. Процедура расчета здесь принципиально та же, что и в $ 3.3.
Раз,':. ница лишь в том, что функции должны быть заменены векторами, а '," прогоночные коэффициенты — матрицами. При расчете необходимо ':-осуществить прямой ход, когда определяют прогоночные матрицы из Г,::.' рекуррентных соотношений, и после удовлетворения условий на пра- $?„. вой границе находят искомые векторы при обратном ходе.
~~' $3.$. Метод конечных элементов Ф:: ~,.." Наиболее распространенным методом расчета сложных конструкции является метод конечных элементов (МКЭ). Его К, особенность состоит в том, что конструкция, представляющая собой непрерывную среду, заменяется ее аналогом, составленным, как нз кубиков, из конечного числа блоков — э л е м е н то в, поведение у::- каждого из которых может быть определено заранее. Взаимодействие я::.: элементов позволяет представить общую картину деформирования си.
[1'-. Стемы, На рис. 3.9 изображена оболочка так называемого вафельного бака, состоящая из гладкой панели и кольцевых и продольных подкреплений. Конструкция оболочки может быть составлена из набора простых элементов: цилиндрической прямоугольной панели 1, прямого ;,'-, ' стержня 2, криволинейного стержня 8. Характеристики жесткости ~.", .
каждого из этих элементов определяются заранее. На рисунке обозначены узловые точки А, В, С, .О, по которым элементы собираются в общую систему. Напряженное состояние такой сложной конструкции может быть определено с помощью МКЭ с единых позиций. 87 Методом конечных элементов решено большое количество задач прочности, устойчивости и динамики конструкций. Он используется для анализа нелинейных явлений, с его помощью удается решить сложные многомерные задачи оптимизации и др.
Достоинства метода в его универсальности: возможности использовать элементы различных типов, произвольности рассматриваемой области, простоте приемов построения элементов высокой точности. В варианте метода, рассматриваемом ниже — методе не ре мещ е и и й, — при стыковке элементов требование удовлетворения Ряс. 3,9 естественных краевых условий необязательно. Этот наиболее известный вариант МКЭ использует формулировку принципа возможных перемещений (1.29). В матричной форме для трехмерного тела ее можно представить следующим образом: 111' (р)т (бе) с1хс1уй = 11'1" Ят (би) с1хс1уй + +11 (р)т (би) с15.
Это же соотношение может иметь вид Я (бе)т (о) с)хс)уй =- Я (би)т ® с)хс)уй + +0(б) (р)Ы, (3.77) где векторы напряжений и деформаций соответственно равны: )т. (3.78) (е) = (ехе„е,т„ц7д у „.)т. векторы объемных, поверхностных сил и перемещений следующие: (у) = (х) 7) (3.79) (р) (р ррр )т. (и) (иии)т Условие равновесия (3.77) не зависит от свойств материала и справедливо как для линейной, так и для нелинейной системы. Для линейно-упругого тела, имеющего начальные деформации, физические соотношения, принимают вид (о) = Р1 (е) — И! (е„), (3.80) 88 Рассмотрим отдельно левую и правую части условия равновесия (3.81). После подстановки вектора деформаций (3.85) в левую часть уравнения (3.81) оно будет выражено через узловые перемещения и некоторый интеграл, обозначенный символом [К1: Ц [ (6е)т [п1 (е) 'Дхфй = = 6 (и)~ Щ[В1~ [Ы [В1 дхдудг (и)„= 6 (и)~ [К[ (и)„.
(3.87) Здесь [К1 матрица, содержащая основную информацию о поведении малого участка деформируемой системы. Она называется м а т р и ц е й жесткости элемента и является основной характеристикой системы в МКЭ. В правой части уравнения (3.81) интегралы по объему и по поверхности можно представить следующим образом: ПУ((6е)г Ц)1 (е0) + (6и)т (ч)) дхдудг + Д1 (6и)г (Р) Ю~ =- = 6 (и)г Щ [В[г В1 (е,) дхдудг + + 6 (и)" Щ[Ф[г ® дхдудг+ 6 (и)г Д [Ф[г (р) о5. (3.88) Этими соотношениями определяется вектор (Р) приведенных к узлам внешних сил.
Таким образом, считая известными матрицу [Ф1, связывающую перемещения в любой точке элемента с узловыми перемещениями (3.84), и матрицу [В1, соответствующую соотношениям между деформациями и перемещениями узлов элемента по формуле (3.85), определяютматрицу жесткости [К1 и вектор внешних узловых сил (Р): [К1 = Щ[В)т [И [В1 с1хдуй; (3.89) (Р) = Щ [В)г [01 (ео) охоуог + Щ [Ф)г ® охоуог + Ц [Ф)т (р) <[с (3.90) Для каждого элемента условие равновесия теперь принимает вид [К1 (и)„= (Р) (3.91) К такой же форме приводятся соотношения для всей системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
