Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В матричной форме соотношения (3.100) имеют вид Векторы констант (а) = [М-' (и,„); (р) [Ф]-' (о„). Перемещения в любой точке элемента теперь можно определить мат- ричными соотношениями и=[Ф](и ); и=[Ф](о ), (3.101) где [Ф1= [1 х д][Л']-'. В развернутом виде м а т р и ц а си я з и пер емеще ни й в элементе с узловыми перемещениями имеет вид [Ф] — — [((х;д~ — хну~) + (у; — у~) х+ (ху, — х;) у) 1 ((х1у~ — х;у~) + (д~ — у;) х + (х~ — х~) д) ((х;у; — х;у;) + (у; — д~) х+ (х~ — х;) у)1, где 2Л = (х; — х;) (у~ — д~) — (х~ — хд) (у; — у~) — удвоенная площадь треугольника. Введем векторы узловых перемещений (и)„ и деформаций (е)„: (и) = (ио~иоиа~)г (е)„= (е,ецущ)г.
(3.102) Связь между ними определяется матрицей [В1: (е)„= [В] (и)„. Ее можно найти, имея в виду соотношения (1.17): д — О дх ех д ду (".1 д д ду дх Подставив сюда соотношения (3.101) и имея в виду, что узловые перемещения соответствуют последовательности (3.102), получим д,, О д„, О д,, О [В] О х~ 0 х;р„О хч . (3.103) хц, у,„хд д~ х;; у;, Здесь у,~ — — у; — у~, х~~ = х„— х~ и т. д. Для плоского напряженного состояния общее соотношение для матрицы жесткости (3.89) принимает вид Щ = Ь ~~ [В]' []~1 [В1 Ыу, (3.104) где й — толщина пластины.. Матрица (1.46) упругих констант для изотропного тела без учета температурного воздействия имеет вид 1 0 Р1=, 1 1 0 (3.105) 0 0[1 — р)2 Подставив выражения [3.103) и [3.105) в соотношение [3.104), по- лучим матрицу жесткости треугольного конечного элемента для тела, находящегося в плоском напряженном состоянии К11 К12 К12 [К1=- К„К„К„, [3.106) Кз1 Кзз Кзз где К„, К„и т.
д. — блоки 2 Х 2, зависящие от координат вершин треугольника, жесткости ЕЬ и коэффициента Пуассона, например: [К111 =, Х ЕИ 4а(~ „2) Узь Уи хь, хь~ РУь хь,, хь, Уь Х з р.хь; у,ь+ у;ь х„, хь; хь;+ — у;ь у;ь Заметим, что для рассматриваемого элемента при получении матри- цы [К1 операция интегрирования упрощается, так как матрица [В1 не является функцией от х и у, а зависит от координат узловых точек. Матрица жесткости [К1 связывает векторы перемещений узлов и узло- у г вых сил [рис.
3.15): [К1 (и)„= (Г), где (Г)=(ГзйГу1Гх~Гу~ГхьГуь)г. (3.107) Если векторы перемещений и сил в каждой узловой точке представить в виде („) („,,„, ь) т. (Г) (Г Г Г~т Рис, 335 где (ы;) = (и; о;)г; (1оз) (и1. и,)г. (ыь) (иь иь)т. Ю) = (Гх~ Гз~) ~ (Гу) = (Гх~ Грд ~ (Гь) = (Гзь Гць) то в матрице [3.106), состоящей из блоков [К„1, [К„1 и т. д., каждая составляющая определяет взаимодействие узловых сил и узловых перемещений в элементе. Рассмотрим особенности построения общей матрицы жесткости системы, состоящей из нескольких треугольных элементов.
На рис. Ряс. 3.16 3.16 представлена трапециевидная пластина, для каждого из трех элементов которой необходимо записать следующее матричное соот- ношение: К11 К1г К13 Кг~ Кгг Кгз Кз1 Кзг Кзз Р1 — Р1 / Рз 1 ! 1 вг Кгг+ Кгг+ К11 Кгз+ Кг1 Кгз+ К1з К1г Кзз+ Кп К1з О Симм. Кзз+ Кзз Кзг Кгг и~г газ м>з и~6 (3.1ОЗ) лю Верхние индексы означают, что эта зависимость относится к пласти- не 1 (рис. 3.16).
Такие же уравнения необходимо записать для треугольников П и Ш~ К11 К1г %3 иг . Р,' К,'~ Яг К1 ц),~ Рэ Кг1 Кгг Кгз ~в( = Рг > Кг~1 Кг~г Кг~з е~з — Рз Кз1 Кзг Кзз ~в$ Рг Кз~ Кзг Кзз И Ра Каждый из узлов трех элементов кроме номеров общей системы (1, 2, 8, 4, 5) имеет символы ~, 1, й. Условия равенства перемещений в узлах приводят к следующим соотношениям: (М = (М (М = (М = (М' (М = (М = ('М = — (и'г)' (и~у ) (~5) з (М (и~ю ) (~г~з) В свою очередь суммарные векторы усилий в каждом узле равны (Р') =(Р )' (Рг)+(Р') = (Р )' (Рз)+(Ра+(Рз) =(Р )' (Р') =(Р ); (Р')-+(Р~') = (Р ). Проведя суммирование составляющих матриц каждого элемента в соответствии с этими равенствами и заменив обозначения векторов узловых перемещений элемента обозначениями векторов перемещений системы, получим общее матричное уравнение плоской трехэлементной пластины: Матрица жесткости общей системы симметрична, так как для одного и того же элемента (К„! = !К„); )К„) = У(,,) и т.
д. Полученное -уравнение позволяет определить перемещения при заданных силах н силы при известных перемещениях в узлах. Если, например, пластина закреплена так, что в точках 1 и 3 запрещены перемещения, а в точках 2, 4, Б известны силы (рис. 3.16), то в уравнении У (3.108) неизвестными являются векторы ггеремещений (в,), . (а~4), (п~,) и сил (РД, (Р,). !~( 11 Рис.
3.17 Рис. 3.18 Заметим, что в .рассмотренном варианте треугольного элемента напряжения на границе элементов не непрерывны, а меняются скачком. При малом числе элементов расчет может оказаться весьма неточным. Результат можно уточнить, разбивая систему на большее число элементов или применяя элементы повышенной точности — с промежуточными точками. На рис. 3.17 изображен элемент, имеющий не три, а шесть узловых точек. Компоненты ,'перемещений для него определяются соотношениями и = И х у х' ху уЧ (а); о = П х ух'ху уЧ (р), где векторы констант (а) =. (а~а,а,ааа,а,)г; Ф ) 61121 3ЫФ6) Описанная выше процедура позволяет построить матрицы жесткости и этого элемента.
Подобным же образом определяют общую матрицу жесткости и находят напряжения. При аппроксимации поля перемещений полиномами второй степени (3.109) напряжения на границе элементов не будут иметь разрывов. Имеется возможность еще более уточнить решение, приняв на грани не одну, а две или более промежуточных точек. Матрицы жесткости элемента при этом становятся более громоздкими, но так как поле перемещений и напряжений более точно,. то можно значительно уменьшить число элементов во всей системе.
Рассмотрим еще один двумерный конечный элемент применительно к задаче поперечного изгиба пластин (рис. 3.18). Деформация жест- 101 кой пластины определяется нормальными перемещениями и поворотами ее срединной поверхности (см. ~ 2.5). Прямоугольный элемент имеет. в углах на срединной поверхности четыре узловые точки. Каждая -точка может получить независимое перемещение ж, а нормаль к срединной поверхности иметь две составляющие поворота: д„и 0„. Таким образом, общее число степеней свободы элемента равно 3 х 4 = 12, а вектор узловых перемещений имеет вид (п)п (сз101х61усз(здззбзз~(здз~бззизОззбзз) . (3.110) Поле перемещений можно представить полиномом с двенадцатью коэффициентами [1 хухзхууз хзхзу хуз уз хзу хуз] (а) [А[ (а) (3 111) "де (а) = (сс,а,и,а,и,аза,азссзссзосс„ссзз)" Углы поворота пластины при поперечном изгибе определяются соот- ношениями (3.112) дх ™ ду Имея в виду, что 1) при х=Ои у=О э=а~,; д„=б,„; бз 2) при х = а и у = 0 в = сс>,; д„= 6 „.; дз 3) при х=аи д=Ь и=ы~з; 6,.=6з,,;бз 4) при х = О и д Ь сз~ сз~4', д~ = дзх', ~з а также принимая во внимание соотношения (3.110) получаем (и)„= [С[ (и).
Поле перемещений в элементе через узловые перемещения теперь оп- ределяется соотношением я = [А1 [С]-' (и)„= [Ф[ (д)„. (3,113) д~в дхз дз,„ дуз еу 7ху дзы 2— дхду Подставив сюда выражение (3.113), получим (з) = [В[ (и)„, 102 Матрица [Ф[ имеет размер 1 х 12. Деформации слоя пластины, отстоящего от срединной поверхности на расстояние г, где д'ф дуз д'Ф 2— дхду 1 [В1 — г (3.114) Для анизотропной пластины, свойства которой по толщине не меняютсяя, 013 023 Рз Р„ Р„ ~а[01 й=О; ~г'[01й — [031 = Р„Р, 031 032 Коэффициенты 013 = Р„= О, когда оси х и у совпадают с осями симметрии упругих свойств (ортотропный материал). Для пластины из изотропного материала Ейз Еаз Е ~Р Р„= Р„= > 012 021 ) > 033 12 (1 — 112) 12 (1 — Р2) 24 (1+)1) Используя общее соотношение (3.89) для матрицы жесткости конечного элемента и учитывая вышеприведенные соотношения, матрицу жест.
кости пластины представляем в виде [Я = Ц[В1т [0,1 [В1 1[хну, (3.116) или, развернув матричную запись и имея в виду выражения (3.114) и (3.115), получим дзфт д,ф д'Фт д'Ф [1~1 011 + 022 + дхз дхз ду' ду' д,фт дзф д2ФТ д2ф дзфт д'Ф + 40зз + 012 + 013, + дхду дхду дх2 дуз дуз дх2 д'Фт д'Ф д'Фт д'Ф + 201з — — + 201з — — + 202з — + дхз дхду дхду дхз дуз дхду дзфт +20„— — ) дхг[у. дхду ду' ) Отсюда по известной матрице-строке [Ф1 из формулы (3.113) и по имеющимся характеристикам изгибной жесткости пластины находят матрицу жесткости конечного элемента, имеющую размер 12 х 12.
Для решения задачи необходимо знать еще вектор узловых сил„ Из общей зависимости (3.90) для распределенной нагрузки р, нормальной к срединной поверхности, вектор (г') определяется соотношением (Р) =- Д[ф)т рг)хг)у Рассмотренный случай конечного элемента пластины соответствует минимальному числу степеней свободы. Как и для рассмотренной Ранее плоской задачи, здесь можно построить элемент повышенной точности.
Для этого нужно добавить количество узловых точек в элементе и в соответствии с этим повысить степень полинома, аппроксимирующего поле перемещений (3.111). Глава 4 РАСЧЕТ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ Прежде чем перейти к изучению тонких упругих оболочек вращения, чему будет посвящена 11 часть данной книги, получим основные уравнения изгиба и рассмотрим некоторые методы расчета упругих круговых колец. Изложенный в настоящей главе материал имеет большое пРактическое значение, поскольку упругое круговое кольцо является типичной расчетной схемой весьма распространенного элемента силовой конструкции ракет — шпангоута.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
