Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При этом удлинение е оси кольца, определяемое зависимостью (4.4), и изменение кривизны н, определяемое любой из зависимостей (4.7), тождественно равны нулю. Перейдем к определению перемещений, связанных с изгибом кольца в своей плоскости, пренебрегая при этом растяжением его оси. В тех случаях, когда статическая неопределимость замкнутого кольца уже раскрыта и изгибающий момент М = М («р), удовлетворяющий интегральным условиям (4.22), найден, перемещения о = о (ф) и в= Рис. 4.7 =- «о(ф), а такжеугол поворота д = 6 («р) нормали можно найти из системы уравнений 4«рз Йр ЕУ (4.39) — Ьр ' -«-о . ' Эта система следует из выражений (4.8), (4.12) и условия нерастяжи' мости оси кольца (4.13). Решение первого уравнения запишем в виде суммы частного реше: ния о* = о* (ф) и решения однородного уравнения: о = о' + С, + С1 соз ф + С, з1п «р, (4.40) где С; — произвольные постоянные.
Из двух оставшихся уравнений (4.39) находим до*~ «о= — — +С, з1п«р — С, соз«р «1«р (4А1) + о«4 д~аф НА2) !37 Произвольные постоянные С; найти из условий замкнутости кольца нельзя: решение однородного уравнения о«01 С, + С, соз «р + + С, з(п «р тождественно удовлетворяет условиям (4.22') при любых С;. Заметим, кроме того, что условия замкнутости, использованныепри раскрытии статической неопределимости, использовать снова было бы незаконным. Когда закрепление кольца полностью исключает его перемещение как жесткого целого, могут быть найдены все произвольные постоянные С; и однозначно определены все функции о = о (ф), «о = «о («р) и д = 6 (ф).
Если же кольцо не закреплено относительно перемещения в своей плоскости, то значения величин о, «о и О можно определить только с точностью до произвольного смещения кольца как жесткого целого. Обычно наибольший практический интерес представляют перемещения о, и'и угол д поворота нормали, непосредственно вызванные изгибом кольца, а не перемещением его как жесткого целого. Выделить такие функции о, «о и д можно, потребовав,.чтобы функция (4.40) была ортогональна функции (4.36), описывающей касательные пе смещения кольца при произвольном его смещении как жесткого цепр лого, т.
е. потребовав, чтобы при произвольных а,, а„а, выполня ос л ь условие ~ (о"'+ С, + С,созф + С, з(п «р) (а, + а,соз «р+ а, з1пф) бр=0. ,О (4.43) г с05 ~Щ д- и С ~д. о д- а,[ 2л ~ о'дд д-2лор ~ о а,[ (4.44) Для того чтобы последнее равенство выполнялось при любых а„а„ а„должны обращаться в нуль выражения, стоящие в квадратных скобках.
Следовательно, произвольные постоянные определяются фор- мулами С, = — — ( о' д«р; С, = — — ( ол соз «р йр; 2л «л о 2л Сг = — — (' ол з«п «рйр. о Подставив значения произвольных постоянных С«в выражения (4.40) ... (4.42), получим окончательные расчетные зависимости: 2л о = о' — — ( Ф йр — ~' Р ( о* соя «р йр — — "Р о" яп «р д«р; [4.45) 2л л Я 2л 2л «о= — — — — [ о*соя«рйр + — ~ о*э!п«рйр; (4А6) до* о"«и «р о соя «р о«р л л ,б, + ол + о3В «««р (4.47) Я ~ «««рг ) 2лР Отметим, что условие ортогональности (4.431 можно трактовать как три независимых интегральных условия,.Которым должна удовлетворять функция о = о («р), описывающая пеРемещения, непосредственно связанные с изгибом нерастяжимого кольца: 2л 2л 2л ~ од«р=О, ~ осоз«рд«р=О, ~ оз!п«рд«р=О.
(4,48) о о о Следствием условиями) 2л ~ ыд«««р =О; о этих интегральных условий (но не новыми независимыми являются еще четыре интегральных условия 2л 2л гл [ сысоя«р«Бр=О; ~ «оз«п«рй«р=О; ~ д«Ьр=О. (4.49) о о о Эти интегральные условия можно использовать для проверки пРа- вильности найденных функций о = о («р); н« = и«(«р); 6 = «д («р).
пв Учитывая равенства (4.31), условие ортогональности можно записать так: Найдем по изложенной схеме перемещения о, и/ и угол поворота д нормали в кольце постоянной жесткости, изображенном на рис. 4.4. Учитывая зависимость (4.25) для изгибающего момента М, запишем первое уравнение системы (4.39) в следующем безразмерном виде: = — — ! 1 — — (ф + 2 Мп <р), (4,50) д<ра д~р 2 ~ л где и = иЕ3!(М,Ю. Подбором находим частное решение Ф= — — ф+ — ф — — — япф. 2 ! ф 2 4л 2 л 1 (2л)2 1 (2л)з 2 2 4л 3 Зная частное решение, подсчитываем определенные интегралы: Фд<у— ( 2л) = — — +1; о 2л з 1 1/ л1 3 о~ соз ф Йф = О+ — (4л) — — ( — — ) = —; О 4л ' 2л , 2 ) 4 2л 1 1 2 ! 2 о~ з1п(р(Ьр = — — ( — 2л)+ — ( — 4л2) — — (л') = 2 4л 2л 2 о :: и по расчетным зависимостям (4.45) ...
(4.47) получаем 1 1 1 ф . 1 /л' ~ 3 со2ф ! ., о= — — <р+ — ф' — — — япф+ — ~ — — 1) — — — + — япф', 2 4л 2 л 2л1,3)4л2 1 ! з . ! р Я1 — — ф — — З1П !Р+ — — СОЯ ф + — СОВ ф; 2 2л 4л 2 л 2 л ф ф' 1 6 — — — + + созф, 6 2 4л л где в = ~оЕ3((Мо~к), б = д Е3((МоЯ. На рнс.
4.8, а изображены полученные результаты. Аналогично можно найти значения и, и/ и д для двух других рас- смотренных в $ 4.2 задач. Так, для шпангоута постоянной жесткости, изображенного на рис. 4.5, получим г лй ф~ 1 / гР 23 фй о= — 11 — — +лф лф+ — ~ соз ф— 2.~ З 2 2 ~ 3 4 3 — — (л — ф) яп Д 2 — 1 Г 1 / 11 тР фй ~ и/ = — !(л — ф) (соз ф — 1)+ — ~ — — — + л<р — — ) яп ф; 2л 2 ~ 4 3 г л~ 3 4) = — ! — 1+ — — лф+ — — — соз ф+(л — ф) япф 2л 3 2 2 где о = иЕ31(ТКз)' ы = и~Е3~(ТВ2)' д = ЬЕ3!(ТК2). На рис, 4.8, б эти результаты изображены графически. ' .
(д,- я1п !р+ !У„соя !р) Я д!р+ ~, Р; я!и <р, + ~~ Т; соя <р; = О; (дд К+ и) К Й!р + ~ ТД + ~ Л:!» = О, (4.55) де !р!, !р~ и !р» — угловые координаты точек приложения сосредоточеных нормальных и касательных сил Р!, Т; и моментов М», суммироваие производится пб всем приложенным к кольцу внешним силам и оментам. Первые два условия соответственно означают равенство улю суммы проекций всех действую- Е их на кольцо внешних сил на нейодвижные оси г, и у„а третье— '.равенство нулю суммы моментов от' осительно центра кольца.
В общем случае нагружения замркнутого кругового кольца функцию .в =- о (!р) можно записать в виде ,~ р яда ОО о=а,+ ~~~~ а„соя пср+ т; ~у ~ ' + ~~~~~ Ь„я!и п(р. (4.56) !! — ! Тогда для кольца с нерастяжимой осью по формулам (4.7), (4.8) и (4.13) находим ы =- ~~' па„я!пщ — ~' пб„соятр; (4.57) и=! л=.1 Э б= — а,— + У (и' — 1)а„сояп!р + ~1' (а' — 1)6„я'.па!р', (4.58) Я в 2 и 2 и — — У и (и' — 1) а„я!и пср + — ~~~' п (а' — 1) Ь„соя и!р.
(4.59) у Я2 ц=т Ц=Д 1Д Рис. 4.9 ф 4.4. Расчет замкнутьп колец с помощью .,тригонометрических-рядов приближенные решения задач изгиба замкнутых круговых колец Ыогда бывает удобно строить в тригонометрических рядах. При этом ажно исходить из дифференциального уравнения изгиба кольца или з условия стационарности его полной потенциальной энергии. Прежде чем излагать схему решения, отметим, что для кругового ольца, нагруженного самоуравновешенной системой внешних сил рис.
4.9), выполняются следующие условия: (д,соя!р — !~„я!и !р) Я!1!р +,~ ЯР;соя !р; —,!,'Т! я!п !р! =О; 2я ОФ У = — 1 Е3 — '~' п(п' — 1)а„ып пф+ 2Яз,3 и=-2 О/ 3 + ~ и (и — 1)Ьосозщ дф. (4.60) Отметим, что для кольца постоянной изгибной жесткости в силу ортогональности тригонометрических функций У= —" ~', и'(п' — 1)'(а„'+ ЬД). 2д~з (4.61) Прн подсчете потенциала внешних сил учтем сосредоточенные силы и моменты и вместо формулы (4.16) запишем П =,— ~ (до о+ у, а — т Ь) й Йр — '~' Т; о; — ~~1~~ Р,и, + "~~ Мод„, (4,62) о 4 1 й где о; = о (б;) и и, = и (6;) — касательные и нормальные перемещения точек приложения сосредоточенных сил Т; и Р;; бо = д (ф„)— угол поворота нормали в точке приложения сосредоточенного момента М», суммирование производится по всем приложенным к.кольцу сосредоточенным силам и моментам.
Подставив в последнее выражение ряды (4.56) ... (4.58), получим П = — ~ о„(ао+ а, соз ф+ Ь, ып ф) Я Йр— о — ~ д„(а, ып ф+ Ь, соз ф) Я Йф — ~ тао мар†о о — '~~ Т; (ао+ а, соз ф; + Ь, ып ф,) — ~~~~ Р„(а, ып ф; — (Ь, соя ф;)— Г ! — '~' Мо ао — ~ А „а„— '~' В„Ь„, Ф л о Рассмотрим использование ряда (4,56) для решения задачи изги.
ба кольца методом Рэлея — Ритца (см. $ 3,1). При решении этим ме. тодом координатные функции должны удовлетворять всем гео)метрическим граничным условиям задачи. Для замкнутого колькой геометрические граничные условия сводятся к условиям замкнутости (4.22'); как видно из выражений (4.56) ... (4.58), все эти три условия замкнутости кольца удовлетворяются при любых а„и Ь„. Внутреннюю энергию изгиба кольца подсчитываем по формуле (4.15), используя при этом выражение (4.59): Вл 21и пф п2 (п2 !)2 (4.68) с Ал з!и аф и (и' — 1)' г ОО Ал сов аф и' (а2 — 1) Вл сов аф и (и2 — 1)2 В„Мп пф а2 (п2 — 1) ~ дз Г2! ~ иЕ,! (4.69) Л=2 (4.70) Изгибающий момент М = ЕУм; поэтому, учитывая зависимости (4.59) и (4.66), находим ОО ОО Х Ал 21и пф 1-,1 Вл со2 пф и (и2 — 1) и (п2 — 1) Л 2 л=2 (4.71) Действуя далее формально, из уравнений равновесия (4.1) можно получить выражения для поперечных и нормальных сил: ОО ОО + Ал со2 иф ~ Вл ып пф и' — 1 п2 — 1 и= 2 и=2 ! оМ; 1 Я йр и -(4;72) пАл 21и пф ~~ пВл соя пф и' — 1 а' — 1 и=2 Л=2 д!,"О ..
1 лР= — — +Фа = — -— йф (4.73) Сходимость рядов, входящих в выражения (4.68) ... (4.73), оценим на конкретных примерах. Рассмотрим, например, шпангоут (см. рис. 4.4, а), нагруженный в сечении ф1 — — О сосредоточенным моментом М, М„уравновешенным распределенной касательной силой !7„= М ~(2пя)., По формулам (4.63) находим А„— (П2 — 1) М,; Вл =О Постоянные а„а, и о, остались ненайденными, Как отмечалось в предыдущем параграфе, эти постоянные связаны со смещениями -кольца в своей плоскости как жесткого целого'. о = по+ а, соз ф+ о,з(п ф; ж = а, мп ф — Ь, соз ф; (4,67) д = — а,И.
Функции о = о(<р), в = ы (ф), 6 = д (ф), определяющие только изгиб кольца, выражаются при постоянной изгибной жесткости Е1 = сопз1 рядами: И из выражений (4.68) „. (4.70) полУчаем сРг иРР ЯгМр ~-~ з1и иф Ы = —,Р„ иг (иг — 1) ггЕ1 п (иг — 1) и г ЯгМр '~-~ ггЕ3 ггЕ1 иг и=2 Эти ряды — сходящиеся, а поскольку исходная сустема координат- ных функций (4.56) полная, при л -г- оо приходим к точному решению.
Например, используя табличную сумму ряда 1 ггг Х вЂ” = —, иг Б и=1 из полученного решения находим при гр = О )гРМ 1 )ггМ ~ ггг ,Р (О) ° Р 'ч~~ Р пРД ~йаМ иг ггЕ,У ~ Б а=2 А„=Т; В„=О и из выражений (4.68) ... (4.70) получаем Рг7 г-г сОВ ирг Я3,7 ~~ г 51п лф Щ вл- ггЕ3 иг (и' — 1)' ггЕ1 и (и' — 1)г п=г и~2 лЕ'У и' (и' — 1) и 2 что совпадает с результатом замкнутого аналитического решения, полученного в $4.3.
Ряды, входящие в выражения (4.68) ... (4.73), получаются последовательно один из другого с использованием операции дифференцирования по гр, что приводит к нарастающему ухудшению их сходимости. В рассматриваемом примере ряд, входящий в выражение (4.71), уже не пригоден для практических расчетов, а ряды в выражениях (4.72) и (4.73) оказываются расходящимися.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
