Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как система пяти уравнений равновесия в принципе достаточна для полного решения задач о деформации оболочки, шестое уравнение равновесия можно не рассматривать. ф 5.5. Классификация напряженных состояний Из уравнений (5.65) ... (5.69) можно исключить перерезывающие силы Ц„Я„а в оставшиеся уравнения подставить выражения сил Т„ Т„Я и моментов М„М,, М„через перемещения и, о, в и их производные и получить три дифференциальных уравнения в частных производных для определения перемещений.
Однако практическое решение этих уравнений наталкивается на большие математические трудности. В то же время очевидна специфика уравнений моментной теории оболочек: силы Т1, Т, и 5 пропорциональны первой степени, а моменты М1, М, и ̄— третьей степени толщины оболочки. По предположению толщина й оболочки мала по сравнению с характерными размерами, например Я, или Р„срединной поверхности. Следовательно, можно максимально упростить уравнения с учетом малости толщины оболочки.
Рассмотрим метод упрощения уравнений моментной теории оболочек, основанный на малости толщины оболочки по сравнению с ее радиусами кривизны. Средние по толщине оболочки напряжения можно определить из уравнений (5.59) ... (5.61): Т, Е ов ср = — =.— (е, + ре,); й 1 — 1~ та %ф сР = — = (за+ р е1) > (5.70) й 1 — ф Я Е й 2 (1+р) Моментные (нзгибные) напряжения при г = ~ Ы2 можно определить из уравнений (5.62) ... (5.64): М~ Ей ови= -Е6 — =,-Ь (х,+рх,); й~ 2 (! — ф) М Ей о,р„— — -Ь 6 — ' = -Ь .(х~+рх~); /Р 2 (1 — ф) М~~ Ей т„= -Е6 — "= -1- х~.
И 2 (1+р) В этих формулах величина У/6 есть погонный момент сопротивления нормальных сечений оболочки, высота которых равна Ь, а ширина равна единице. Рассмотрим структуру выражений для деформаций е„е„7 и параметров х„х, х, изменений кривизны. Возьмем для определенности выражения е, и х,: (5.71) (5.74) е~= — — + — созО + —; 1 дв и И~ (5.72) г д~р г' х~ + 1 дд, е~ (5.73) дО Эти выражения ие зависят явно от толщины Ь оболочки. Пусть Я, — какой-либо характерный размер срединной поверхности, например радиус кривизны Я, торцового сечения оболочки. Введем вместо величин х„х„х„безразмерные величины х, = К,х~, х, = Я,х„ х„= ~,х„.
Тогда согласно формулам (5.70), (5,71) суммарные напряжения в оболочке при г = +- й/2 Е Г й ав= [к,+рк,~ — 1х -';рк,1]; р2 Мо Е Г й оф = — Яв+ ре1 -~ — (хв + рх1) Так как величина Ы(2Р,) мала, то на первый взгляд из формул (5.74) следует парадоксальный вывод, что все слагаемые с изменениями кривизны можно отбросить. Но в этом случае напряжения будут определяться только деформациями е„е„у безмоментного состояния. (5.77) Более глубокий анализ показывает, что величины х„х„х„, а следовательно, и х,, х,, х„отличаются от величин е~, е~, у порядками частных производных от перемещения ы.
Так, из рассмотрения формул (5.72) и (5.73) видно, что в выражение для деформации е, входит только само перемещение в, а в выражение для параметра х, — вторая производная от этого перемещения. ..а "у» Но дифференцирование функции может увеличить порядок ее величины, т. е. максимальное значение производной может быть больше максимального значения самой функции. Порядок абсолютного значения какой-либо функции можно обозначить введением фигурных скобок.
Например, порядок величины и обозначается (и). Предположим, что решение уравнений моментной теории оболочек в каком- либо частном случае можно представить в форме ц) = Ае — "6соз п<р, (5.75) где Л~ 1. Тогда — = — ЛААе -"з соз пср; — = — пАе -"а соз аср. (5.76) др~ ~з дв д9 ' дгр Из этих формул следует ( — 1 =чи); ( — ) =п (в). Если Л и п — большие числа, то можно сказать, что дифференцирование функции и по 8 увеличивает ее порядок величины в Л раз, а дифференцирование по ~р — в и раз. В теории оболочек коэффициенты Л и и называются коэффициентами изменяемости напряженного или деформированного состояния, Положим теперь, что Л = )~ Я,/й. Тогда (хД = Л (и) и соответствующими слагаемыми ',в формулах (5.74) уже нельзя пренебрегать. В этом случае ( Й ) ( ) Из этого простого анализа следуют три важных вывода.
1. Напряженное состояние моментной оболочки, описываемое функциями с малой изменяемостью, т. е. функциями, порядок которых не возрастает при дифференцировании, можно приближенно найти по безмоментной теории оболочек, полагая М~ = М, = М„ = О. 2. Если средние напряжения от сил Т„ Т„ 3 и изгибные напряжения от моментов М„М„М„имеют один и тот же порядок, то соответствующее напряженное состояние имеет большой коэффициентиз: меняемости (в одном нли двух направлениях).
Его можно определить из общих уравнений теории оболочек, а также приближенных уравнений, учитывающих различные порядки величин производных от перемещений, усилий и моментов. 3. Если изгибные напряжения значительно больше средних напряжений от сил Т„Т„З, то перемещения и, и, и для такого напряженного состояния можно определить из уравнений а~ = е, = — 7 = О. (5.78) 5Мо напряженное состояние соответствует деформированию оболочКи без растяжения и сдвига средней поверхности. В общей теории тонких оболочек первое напряженное состояние называется б е з м о м е н т н ы и, второе — с м е ш а н н ы м, третье — моментным. Действительное напряженное состояние конкретной оболочки при заданных внешних нагрузках и граничных условиях в общем случае не определяется каким-либо одним видом напряженного состояния, а может складываться из этих характерных состояний.
Каждое из них является частным интегралом уравнений теории моментных оболочек. Другими словами, малость параметра Ы(2й,) позволяет определять различные частные интегралы дифференциальных уравнений теории тонких оболочек из решений соответствующих упрощенных уравнений. Так как дифференциальные уравнения теории оболочек являются линейными, то общее решение их можно искать в виде суммы частных интегралов, содержащих достаточное число произвольных функций или констант интегрирования для удовлетворения граничных условий.
Суммарное напряженное состояние в различных частях оболочки может быть близким к тому или другому характерному напряженному состоянию. Глава о ПРИКЛАДНЫЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК В практических расчетах элементов конструкций на прочность и устойчивость широко применяются так называемые п р и к л а д н ы е те о р и и об о л оч е к..При их создании обычно принимают дополнительные упрощения, которые позволяют получить простые аналитические решения задач. Однако эти теории могут быть использованы для расчета только определенного класса конструкций. Например, рассмотренная в этой главе теория краевого эффекта применяется для определения напряжений лишь на узких участках оболочек, близких к цилиндрическим, Т е о р и я п о л о г и х о б ол о ч е к используется при расчете элементов, геометрия которых мало отличается от плоских пластин, С помощью п о л у б е з м о м е н тн о й т е о р и и удается получить простые формулы для расчета тонкостенного цилиндра, когда изменяемость деформированного состояния по окружности существенно выше, чем вдоль образующей.
Теория мягких оболочек применяется при расчете конструкций весьма малой толщины, в тех случаях когда можно не учитывать изгибающие моменты. ф 6.1. Краевой эффект В общих уравнениях моментной теории в случае осесимметричной деформации положим о = О, р = О и все величины — не зависящими от угловой координаты ~р. В этом случаеу = О; х„= О, М„= О, ~, =- О. Полная система уравнений будет иметь вид 1 /ди 1. 1 1 /Ы е, = — ~ — + и~; е,= — (ис(д0+ы); б,= — ~ — — и; г,~10 )' г,1, 10 (6.1) (6.2) М, =-.0 (ха + (ах,); ЕЬ тг = (еа+ Ре1) 1 — 1аа (М1 М2) 1 с1а 0 Яа М,=В(х,+)аха); ЕЬ т, = — (е,+ре,); 1аа 1 дМ, Ю = — — '+ л, ав (6.3) (6.4) (6.5) — — +(т,— т,) — — +р =О; ! 6 та с1е 0 10 а'а д'а Т Т 1 йД~ с1я 0 — + — + — +Я, — ри — О 60 (6.6) (6.7) ~в() а где Є— окружной радиус кривизны у края оболочки.
Будем также считать, что величина с(д 0 для любого края оболочки не слишком велика и радиусы кривизны К1, Йа изменяются вдоль меридиана достаточно плавно. Естественно предположить, что порядок величины перемещения в выше порядка величины перемещения и. Ыи1 Положим что (з) =- 11 — 1. Тогда главные значения величин, опре- Ф = Ь101- делепных формулами (6.1) и (6.2), равны: и . 1 ~Ъ, 1 Фв . с1д0 йи е, = — ', да= — —; х,= — —; х,= — —. (6.8) Ю ~ ~ц 10а а,р 1~ а0 Из этих уравнений следует, что (ха) ) (х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
