Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 30
Текст из файла (страница 30)
6.7). Уравнения равновесия мягкой оболочки, как уже указывалось, составляются для деформированного состояния и ио виду совпадают с уравнениями оболочки вращения (6.78) (6.79) Нужно отметить, что неизвестными величинами здесь оказываются не только силы 7, и 7'„но и геометрия деформированной оболочки, т. е.
размеры Й1', Й,,'; г'. На рис. 6.8 изображен элемент оболочки в на ~альпом АВ и деформированном Л,В, состояниях. Точка Л при деформации переходит в точку А1, получая перемещения и, -сь Координаты точки Л, следующие: Очевидно, что приращения координаты х' и радиуса г' равны дх' ==- бх + с1и; Ь.' =- с(г, (6.80) Б точке А, нормаль к деформированной поверхности и ось вращения образуют угол и. Из рис. 6.8 видно, что дх' .
сЬ' — =яп и; — — сока, дБ ' ЙБ Имея в виду соотношения (6,80), получаем дх да .. ды — + — =япа; — =сози. (6,81) ЙЕ ЙЕ до Так как длины дуг А,В, и АВ связаны зависимостью пз = г(х Х х (1 + е,), то уравнения (6.81) можно представить в виде. — + 1 = (1 -.'; е,) я и а; — =-- ('1+, е,) сов а. Йи, . ду (6.82) дх ~1х Эти геометрические соотноше!шя получены без каких-либо ограничений на величины перемещений. Они должны быть дополнены следующими зависимостями: — е, = —. (6.83) Р$ ЙЯ (1+8~) дх Яо г Я (1 ~ ео) Выразив значения кривизн в уравнениях равновесия (6.78) и (6.79) через соотношения (6.83), получим дх 1+ЕЕ _#_ о К полученным уравнениям необходимо добавить уравнения, связывающие деформации и силы Т„Т,, Они могут иметь самую разную форму в зависимости от материала оболочки.
Для нелинейно-упругого высокоэластичного материала одна из простых физических зависимостей может быть определена выражением удельной упругой энергии деформации в такой форме: (Уо = ~ С1(1 -!- е,)'+ (1 т ео)' + (1+ ез) — 31, 01— о) (1+ Ео) (1+ Е») д»1 ! дУ» 1'- Р де» дУ» Р» бо (!+Е») (! -! Е1) ! о— (1+Е~) (! — ~-Ео) дЕ» где р» — напряжение, опредсляемое гидростатпческпм давлением. Его значение может быть определено из такого, например, дополнительного условия, как равенство нулю напряжения и,. Будем считать также, что упругое тело при деформпровании не изменяет объема, т.
е. (1 + е,) (1 !- е,) (1 -'; а;,) -- 1, где коэффициент С имеет размерность напряжения и соответствует модулю упругости второго рода; е„ е„ е, — деформации вдоль глав- ных осей. Для нелинейно-упругого тела соответствующие напряжения определяются соотношениями [2И: Таким образом, деформация е, в направлении нормали к поверхности оболочки, соответствусощая изменению толщины, связана с деформациями ез и ез Напряжения а, и а, тогда выражаются так: а, == С (1+ е1)'— (1+е,)з (1 — ,',е,)' ~ а,= С (1+а,)2 — ' (1+е,) 2 (1+е,)' При решении задач обычно используются не напряжения, а силы Т, и Т,.
Соотношения между ними можно представить следующим образом: 7'1 =- о1Ф = аФ0 (1 + ез) =- аА%1 + е1) (1 + ез)1' 7 2 М аз~10 (1 + ез) а2~0' ((1 ~ е1) (1 + е2))' Здесь Ь и йз —. толщины оболочки соответственно в деформированном и начальном состояниях. Окончательные зависимости между силами и деформациями вдоль главных осей следующие: Т , =СЬ„1+ ' 1+ез (!тес)з (1+ез)з (6.86) (6.87) Уравнения (6.82), (6.84) ...
(6.87) и последнее из соотношений (6.83) представляют собой полную систему зависимостей, необходимых для решения задачи. Перепишем ее в той последовательности, в которой проводится численное интегрирование: Е2 ~ 1+е, 1 (! ) е )з (1 ~ е )з 1 (1+ е1)з (1+е,)' ат, 1+е, 1 + (Т1 — Тз) — ' — сов ос -= О; с!к 1+ ез с(и Тз 1-,' е, 1 .
р — + — ' — '' — а|па. =- — (1+е,); с!к т' 1+е, Я С! Се — — (1+ е,) соз а = О; с1 к — -1г 1 — (1,'- е,) з( п я =- О. с)и с!к (6.88) Для интегрирования уравнений системы необходимо на каждом граничном контуре иметь по дьа граничных условия. Цилиндрическая оболочка длиной 1, закреплеш1ая на каждом из торцов, имеет следующие граничные условия: ы (0) = 0; и (0) = 0; а (Г2) =- л!2 Т, (Е!2) — р (Я + ы)!2. (6.89) Интервал интегрирования разбивается на и участков. Шаг разбивки Л = — 1/(2п), Обозначим через с некоторую текущую точку: ~ = 0— точка при х = 0; ~ =- п — точка при х = 112.
Воспользуемся при интегрировании уравнений системы (6.88) методом начальных параметров. В начале интервала необходимо задаться двумя начальными параметрами. Для услоьий (6.89) прп х =-= 0 примем начальные параметры а — - А; Т, = В. Если в начале интервала известна сила Т, и деформация е, =- О, так как ы=- О, то из второго уравнения системы (6.88) можно пай= ти величину е1, а из третьего — величину Т,. Таким образом, в начальной точке ~ =-- 0 известны все силы, деформации и перемещения.
Приступ пим к определению их в следующей точке. Для этого нужно с помощью Ряс. 6.9 последних четырех уравнений систе- мы (6.88) найти вначале приращения, а затем и сами величины Т„с., ы, и при ~ = 1. Далее опять обращаемся к первым трем уравнениям, чтобы определить величины а„а„ Т, и т. д. Таким образом проходим всю область интегрирования вплоть до ~ = и. При этом сила Т, и угол и должны удовлетворять условиям (6.89) при х — 172.
Если эти условия не выполняются, необходимо провести повторные расчеты при новых значениях начальных параметров к и Т, при х = О. При расчете мягких оболочек приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо определить силы и деформированную геометрию оболочки, часть поверхности которой занимают складки. Условие существования складчатых участков — равенство нулю одной из главных сил.
Предположим, что один из торцов цилиндричеекой оболочки (рис. 6.9) имеет диаметр 2 (Л вЂ” б) (меньше, чем диаметр 2Я оболочки в раскройном состоянии). В этом случае вблизи этого торца имеются складки. Необходимо определить длину 11 складчатой зоны и силы Т, на всем участке. Системой уравнений (6.88) пользоваться уже нельзя. Необходимо иметь в виду условие равенства нулю окружной силы (Т2 = 0). Из уравнения (6.87) следует, что (~ + з) = (1 + е,) — '~-'.
Тогда система уравнений мягкой оболочки в складчатом состоянии принимает вид: Т С~ ((1 )з;и (1 ~ ° — з~а). — ' —, Т~'(! +е1)'1" соэ и — = 0; <~х с1я ~7 дх — — (1+ е,) соя и = 0; Й~~ дх (6.90) <1а — +1 — (1+ е,) з1п а =-О. 6х В случае, если складки имеются на всей поверхности оболочки, уравнения (6.90) полностью определяют ес геометрию и силы. Но когда только часть оболочки имеет складки, как, например, на рис. 6.9, уравнения (6.90) нужно решать вместе с системой (6.88).
Последовательность интегрирования уравнений здесь та же, что и рассмотренная ранее. Отличие состоит лишь в том, что при решении уравнений (6.88) необходимо выбрать начальные параметры так, чтобы в пределах участка интегрирования окружная сила 72 стала равной нулю. С этой точки нужно вести интегрирование, используя систему (6.90). В конце интервала требуется удовлетворить граничные условия ю = — 6; Т1 = р (Я вЂ” 6)/(2 е1п к), где 6 — разница радиусов торцов оболочки. Получим решения рассмотренных задач, используя техническую теорию мягких оболочек. Выделим основное напряженноесостояние, соответствующее безмоментной теории. По этой теории для оболочки, имеющей жесткие днища, меридиопальная и окружная силы равны Т,.= ржи; Т„=-ра Полные усилия в оболочке представим в виде некоторой суммы:.
71 = 71ь + 71> 72 = — 720 + 72. (6.92) Геометрические соотношения также упрощаются: йи Йи ц~ — = — д; — =е дх ~х 11 1т 2' (6.93) 1?1 Деформации е, и е2 считаются малыми по сравнению с единицей. В соответствии с принятыми допущениями упростим систему (6.88), для чего проведем линеаризацию уравнений. Дополнительные силы Т, и Т, связаны с деформациями соотношениями Т1 = 4СЬ0 (е1 + е272) — Т1„, 'Т2 — — 4СЬ0 (еа + е,l2) — Т2,.
(6.91) На рис. 6.8 угол сс = л!2 — б„где О, — угол поворота нормали к поверхности. Уравнения равновесия примут вид +(҄— 7„) 1 0,=0; Выразим полученную систему уравнений через перемещения. Вначале соотношения (6.91) подставим в уравнение (6.92), а затем деформации и угол поворота представим через перемещения и и ы с помощью соотношений (6.93). Получим два уравнения: 4С 6о —. +2С йо — + (Т1о — Тоо) — — =О' с1хо сс с1х 1с с1х (6.94) с1осо 1 1 с1и — Т~о — + — (4С ~о — Т1о) «~+ — (2С ~о+ Тоо) — = р.
с1хо с1х Заметим, что в каждом из этих уравнений имеются слагаемые, неравноценные по значению. Действительно, при малых деформациях Сйо » Т„; СЬо » Тоо. Учитывая это обстоятельство, упростим систему (6.94): Йои 1 ау, — + — — =О; с1хо 2Я с1х — ҄— + — Сйо ы+ — Сйо — =р. с1осо 4 2 й~ с1хо Ко 1с с1х (6.95) Каждое из этих уравнений имеет второй порядок. На каждой из границ должны быть удовлетворены граничные условия относительно и и ы или их производных. Полученная система (6.95) позволяет получить аналитическое решение.
Проинтегрируем первое уравнение один раз: с1и 1 — + — и=С. с1х 2й (6.96) Исключим отсюда и из второго соотношения (6.95) производную от осевого перемещения + с1 со вайо (6.97) 21с > котороеназываютуравнением безмоментного крае в о г о э ф ф е к т а. Обозначим 3СЛо/(Т„Я') = Л'. 'Решение уравнения (6.97) состоит из слагаемого, соответствующего линейной безмоментной теории: Рйо Тсй ЗС/ о 6СЬО (6.98) Левую часть этого уравнения в соответствии с соотношениями (6.93) можно представить как з, + з,/2. С другой стороны, из выражений (6.91) следует, что е, + а,l2 = ТЯ4СЕо). Тогда уравнение (6.96) можно записать в виде с1и 1 Т, — + — и= — ' с1х Ю 4Са и части, отражающей влияние краев на деформацию оболочки: и = ю* + Сге — '." + Сге'" (6.99) Константы Сг и С, могут быть определены из граничных условий, заданных на каждом торце оболочки. Для длинных оболочек второе слагаемое в формуле (6.99) можно не учитывать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
