Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для этого зададимся механизмом потери несущей способности (рис. 6,15, б). Работа внешних сил (давления) равна 2пЯ ри)йх =2пЯр и~о (/ — 211) + 2.— ~го 11 2 Работа внутренних растягивающих окружных сил (согласно выбранному пластическому режиму всюду Т, = Т,) на соответствующих удлинениях равна 2лй 1 Тт — сЬ = 2яКТ, "— ' (1 — 2/,) + 2 — — ' 1,", й ~Р 2 й 1 о а работа моментов М„образующихся в двух сечениях, равна 2 2лММ т<р = 4пй М тшо/1,. Приравнивая работу внешних сил работе внутренних сил, получаем р„= — т+2 ' при О' 1,(1/2. (6.118) 1, (1 — 1,) Как легко проверить, минимальному значению р,,„, будет соответствовать 1, = //2; тогда значение р„„, получается то же, что и значение р,.„определяемое формулой (6.117): 7' Я от/т / Щ ~ р = — '+ — М =- — '~! +2 — ~, И1Н 12 т 12 где Ь вЂ” толщина стенки оболочки.
Формулы (6.117) и (6.118) получены в предположении, что меридиональпые силы в оболочке при потере ее несущей способности остаются равными нулю. Другими словами, закрепление краев оболочки пред- полагается таким, что оно не а) Ч Х1 препятствует их сближению. Именно в этом случае значение предельного давления. оболочки конечной длины практически очень мало отли1 я чается от значения предельН юг- ного давления бесконечно ь ' е~ длиннои оболочки, для Рас. 6Л6 которой, очевидно, р р —— = а,й/Р.
Если бы при решении 'была использована точная кривая текучести, то совпадение результатов при решении двумя методами означало бы, что получено точное значение; в нашем же случае можно только утверждать, что полученное значение р,р = р„= р,, не меньше точного значения. В качестве второго примера найдем кинематическим методом предельную нагрузку для длинной цилиндрической оболочки (радиусом Я), нагруженной погонной нагрузкой д (рис, 6.16, а). Механизм поте- 182 рй несущей способности выбираем, как показано на рис.
6,16, 6. Приравнивая работу внешних сил работе внутренних сил, как было сделано в предыдущем примере, получаем д,„„== 4М,Л, + Т,1,/Я. (б. 119) Так как кинематический метод дает завышенную оценку для предельной нагрузки, то величину 1, в выражении (6.119) нужно подобрать из условия минимума величины о„„„. Дифференцируя выражение (6.119) по 11 и приравнивая производную нулю, находим 1,=У4М,Кт,, =~~Ж где Ь вЂ” толщина оболочки. Тогда из выражения (6.119) окончатель- но получаем д = 2 — ' ЗАЛЕ. (б. 120) Я Точное значение предельной погонной нагрузки ~~пр 1 82 1~ йй Я Полученный результат довольно любопытен: вовлекаемая в деформацию («выламываемая») зона жееткопластической об" .очки г меет 1ш рину того же порядка, что и зона упругого краевого эффекта.
В рассмотренных примерах выбор пластических режимов деформирования оболочки не составлял никакого труда. В более сложных задачах приходится рассматривать целые серии возможных вариантов пластических режимов, что существенно усложняет решение. В таких случаях прибегают к помощи современных методов линейного и нелинейного программирования с использованием ЭВМ. Однако нужно отметить, что при этом теряется одно из основных преимуществ расчета по предельным нагрузкам — простота и наглядность. Глава У УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН ~вз В главе сформулированы и решены некоторые конкретные задачи устойчивости упругих прямых стержней и прямоугольных пластин. Такие задачи встречаются при расчете тонкостснных элементов ракетных конструкций.
Рассматриваются три круга вопросов: определение критических нагрузок для идеально правильных стержней и пластин, влияние начальных геометрических несовершенств и поведение упругих стержней и пластин после потери устойчивости. Особое внимание уделено выводу однородных линеаризованных уравнений и формулировке граничных условий в задачах устойчивости идеально правильных упругих стержней и пластин и аналитическому решению этих уравнений в сравнительно простых случаях.
Решения более сложных задач устойчивости стержней и пластин с помо- 1цью современных численных методов, описанных в гл. 3, приведены в литературе 19, 19). Все задачи рассмотрены в линейно-упругой постановке без учета таких свойств материала, как пластичность и ползучесть. Для расчета многих тонкостенных силовых элементов конструкций такая постановка вполне достаточна. Случаи, когда потеря устойчивости происходит за пределом упругости, изложены в П1 части книги, где приведены расчеты с использованием полуэмпирических корректирующих коэффициентов, учитывающих реальные своиства материала.
5 7Л. Критические нагрузки прямых упругих стержней Тонкий стержень, нагружаемый сосредоточенной силой Р и рас= пределенной силой д = д (х), отнесем к прямоугольной системе координат, направив ось х по ови стержня (рис. 7.1, а) и поместив одну из главных центральных осей поперечного сечения в плоскости хг. Если все внешние силы и реакции опор действуют строго по оси стержня вплоть до потери устойчивости, очевидно существует состояние равновесия стержня с неискривленпой осью. При достаточно малых нагрузках это начальное состояние равновесия будет единственным и устойчивым.
Найдем наименьшее значение внешней нагрузки, при котором появляются смежные с начальным новые состояния равновесия стержня с искривленной в плоскости хг осью. Как было показано в ~ 1.6, Рис. 7,1 это значение нагрузки будет к р и т и ч е с к и м, т. е. при его превышении начальное состояние равновесия стержня перестанет быть устойчивым. Условие равновесия элемента с(х неиснривлвнного стержня (рис. 7.1, б) выражается уравнением (см. ~ 1.5) Л'»» +»7 = О. (7.1) Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по х. В дальнейшем задачу определения начальной осевой силы Жо = Л~о (х) будем считать решенной и закон изменения силы по длине стержня— известным. Рассмотрим равновесие элемента стержня в искривленном, отклопенном от исходного, состоянии (рис, 7.1, в), причем бифуркационные поперечные прогибы ы и углы ф наклона касательной будем считать бесконечно малыми.
Поэтому при составлении уравнений равновесия искривленного элемента стержня можно положить яп ф -= ф, ф == -с', з1п (ф -~» 6ф) = ф 1- <1»1", сов!ф -'- уф) =- 1. Приравняв нулю сумму проекций на ось х всех сил, действующих на искривленный элемент, получим — У 1 — ® + фх + (У + дМ) ° 1 + Я + й~) (Ф + йф) = О где 1~ — поперечная сила, связанная с изгибом стержня. Отбрасывая произведение дрейф как величину высшего порядка малости, приходим к уравнению М-+(ф~) +д.— О, (7.2) Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось г и сумму всех моментов и отбрасывая величины высших порядков малости, получаем еще два уравнения: 9' — (%~)' = — О.
Я=М'. (7.3) Входящий в последнее уравнение изгибающий момент М связан с по. перечным прогибом зависимостью М = ЕУл", (7.4) где Е,7 == ЕУ (х) —, изгибная жесткость стержня в плоскости хг. Тогда Я = (ЕУы")', и в уравнении (7.2) второе слагаемое, как содержащее произведение двух величин первого порядка малости, следует : отбросить, после чего это уравнение не будет отличаться от уравнения " равновесия(7.1) неискривленного элемента.
Следовательно, при беско:: нечно малых прогибах прямого стержня изменения начальной осевой силы Л~0 имеют высший порядок малости и в первом из двух уравнений (7.3) следует положить И (х) = У0 (х). Окончательно, выразив в этом "уравнении поперечную силу 4 и угол ф через прогиб ы получим (Е1ы")" — (М0-о')' = О.
(7 .5) Это линейное однородное уравнение четвертого порядка является основным уравнением теории устойчивости прямых упруеих стериней. (Напомним, что в ~ 1.6 это уравнение было получено вариационным путем.) Оно справедливо для стержня переменной изгибной жесткости : при любых нагрузках и условиях закрепления торцов. (Отметим, что аналогичное уравнение описывает и потерю устойчивости стержня в плоскости уг.) При составлении уравнений равновесия искривленного элемента стержня внешняя нагрузка д = о (х) предполагалась «мертвой», т.
е. не изменяющейся пи по значению, ни по направлению при деформации стержня (рис. 7.1, в). Если внешняя нагрузка при деформации стержня ведет себя иначе, то при составлении уравнений равновесия искривленного элемента это неооходимо учитывать. Для однопролетного стержня в соответствии с порядком полученного уравнения должны быть сформулированы четыре однородных граничных условия (по два на каждом из торцов).
Геометрические граничные'условия 'в задачах устойчивости формулируются точно так же, как и в'задачах поперечного изгиба: на торце стержня могут быть запрещены поперечное перемещение ш и (или) поворот касательной ы'. Силовые грани шые условия для ненагруженного торца тоже совпадают с граничными условиями задач изгиба.
Если поперечные перемещения торца не стеснены, то поперечная сила Я = О, т. е. (ЕЛ~")' =- О. Когда не стеснены углы поворота, изгибающий момент М = О, т. е. ЕЛэ" =-- О. На свободном торце Я = 0 и М вЂ” О, т. е. (ЕУв")' = 0 и ЕЛв" =-- О. Принципиальноеотличие силовых граничных условий задач устойчивости и линейных задач поперечного изгиба выявляется тогда, когда на торец стержня передаются сосредоточенные внешние силовые факторы.
Это отличие обусловлено тем, что в первом случае рассматривают условия равновесия не в исходном, а в отклоненном от исходного Рис. 7.3 состоянии, в то время как во втором случае условия равновесия формулируют для исходного, недеформированного состояния системы. Поэтому, если, например, к незакрепленному торцу стержня приложена «мертвая» сила Р, то в отклоненном положении условие равновесия примыкающего к торцу элемента (рис. 7.2), составленное для проекции на ось г, приводит в задачах устойчивости к граничному условию Я— — Л~~ы' ==- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
