Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Только теперь условия равновесия составляются для сфор.яированцого, искривленного элемента стержня и в проекции на ось г появляется слагаемое (Ж,4) = — (Ж,ы )', зависящее от начальной осевой силы в стержне (рис. 7.8, б). Это позволяет ввести понятие фиктивной поперечной нагрузки Ч.Ф = (Фоп~')' Введение величины д,~ помогает сократить вывод линеаризованного уравнения устойчивости, если известно соответствующее линейное уравнение поперечного изгиба. Например, уравнение поперечного изгиба балки, связанной с упругим основанием, имеет вид (ЕЛи")" + м,ы — ц, = О, где к0 — коэффициент жесткости упругого основания.
Чтобы получить линеаризованпое уравнение устойчивости такой балки, нагруженной продольными силами, достаточно положить в этом уравнении д,.= д,~ —— (М,в')', где М, — начальная осевая сила в балке. Тогда получим однородное линеаризованное уравнение (ЕУг")" + ХОМ вЂ” (Мои')' = О. Лналогично прием фиктивной нагрузки выглядит и в других задачах устойчивости стержней, пластин и оболочек.
Если для соответствующей задачи известно линейное уравнение поперечного изгиба Е[ыЛ вЂ” р,=О, (7.12) где Ь Ы вЂ” некоторое дифференциальное выражение относительно поперечного прогиба и (или любой другой искомой функции), то, чтобы получить однородное линеаризованное уравнение задачи устойчивости, достаточно, рассмотрев деформированное состояние элемента, найти фиктивную поперечную нагрузку р,~ и заменить ею поперечную нагрузку р, в исходном уравнении. В линейном уравнении (2.58') поперечного изгиба пластины поперечную нагрузку обозначим р,: 07'7~о — р = О (7.13) где 0 = ЕЧI(12 (1 — 1Р)); й — толщина пластины. Как уже говорилось, до потери устойчивости в пластине реализуется плоское напряженное состояние, описываемое уравнениями плоской задачи теории упругости.
Будем считать, что соответствующая плоская задача решена и распределение начальных нормальных и касательных напряжений о 0 = про (х у) про= — ода (х у) тх~о = т„д„(х, у) в пластине найдено. Эти напряжения, постоянные по толщйне пластины, приводят к начальным нормальным и касательным — с'х д Тто дх силам* в срединной плоско сти пластины (рис. 7,9); Т1 0 ~охи Тза — !тгг«о 5а = ~т.ио, которые удовлетво Ряют уравнениям равнове сия, как в 52.1: дт„дЮ, + — '+р,=О, дх ду д ) д«о дЯ,, ~т,„(7 1'1) ' + '" +Рд=-о. ду ~4 дх дУ д5«й о+ дх На контуре пластины силы Т„, Т„, Я, удовлетво+ дх ряют заданным граничным условиям задачи.
Для ' определения фиктивТта ной "., поперечной нагрузки рассмотрим элемент пласти,х ны в искривленном состоянии Е и с точностью до величин первого порядка малости относительно ",поперечного прогиба и найдем сумму проекций сил на ось г. Чтобы не загромождать д Ф"" д '4'и рисунка, изгибающие моменЮс д «'+ ' "~~х «ь дх ты и поперечные силы, возо -~ 1 никающие при искривлении пластины, на рис. 7.9 вообще не показаны, а начальные нормальные и касательные силы изображены порознь. Рис. 7.9 Определив проекции на ось г сил Тт, и Тто+ (дТу!дх) г(х и учитывая при этом изменение угла наклона касательной ф„ (рис.
7.9, б), получим Г„Ф,,Ф+~~Т,«+ — ~х~ ~~~1„+ — 'г(х1Ф=- (Т Ч, )дым!. Лналогично получим результирующую сил Т„и Т„+ (дТао!ду)г)у в проекции на ось г: „- (Т,атр,) йхг(у. Касательные силы Яо и Я„+ + (дЗ,Iдх) с1х (рис. 7.8, в) дадут в проекции на ось г ~о ~Ф«с(К 1 ~Зо + — с1 х) ~'Фи + — « '(х) Ф = — (Зо Ф ) с1хс1у. В З 2.1 объемные и контурные нагрузки имеют другие размерности н обозначения; здесь объемные нагрузки отнесены к площади, контурные — к длине дуги, !92 5«+ — иу' дауд дД и Юп Я, + — «Ь' Пх У О- АнаЛогично находиМ результирующую сил 5, и 5„+ (д5„'ду) ф в проекции на ось г: д дчРОФ ) ~ т1у Объединив эти результаты, подслив нх сумму на площадь г(кг)д элемента пластины и учитывая, что фх = дЫдк, ф, = дива, найдем фиктивную поперечную нагрузку ' -+('5' '.
~'- — ')'+('Ж ' И' — .'.) (7.15) Заменив в уравнении (7.13) поперечную нагрузку р„на р,.ф, получим однородное линеаризоеанное уравнение устойчивости пластины В1127~ге — р ф —— О (7. 16) Если пластина нагружена только контурными внешними силами а„, ду (в силовых ракетных конструкциях обычно собственным весом пластины можно пренебречь), то выражение (7.15) упрощается. Произведя дифференцирование и перегруппировав слагаемые, получим д2~а, д~~о д2ге рг = 7и -'-2оо + 7',,0 — + дх~ дхду ду~ + дТ;„„д5, ~ ды +( дЯ, дТ,0 '1 дис дх ду 1 дх 1, дх ду / ду Но из уравнений равновесия (7.14) при р„= О и ру —— О слсдует, что выражения в скобках обращаются в нуль, и тогда (7.17) дх~ дхду дух Для случая р„= О, р, =О запишем еще раз основное однородное линеаризованное уравнение устойчивости пластин в развернутом виде; д'ге д4ы д~ы ~ д2ы д'~а~ Д( +2 + ) — Т,0 — 2З, — --.
дх4 дх~ дух ду4 ) ~ дх дхду (7.18) дуф Граничные условия основного уравнения тоже однородны, причем, поскольку это уравнение имеет четвертый порядок, в каждой точке контура пластины должны быть заданы по два граничных условия. Геометрические граничные условия в задачах устойчивости пластин форму~п~руются точно так же, как и в задачах поперечного изгиба (см, Я 2.5). Так, на крипо пластины при х = О может быгь запрещен поперечный прогиб го и (или) угол поворота ды,'дк.
Силовые граничные условия выражают условия равновесия примыкающих к контуру элементов пластины. Если контур пластины свободен от внешних нагрузок, то силовые граничные условия в задачах устойчивости тоже повторяют граничные условия линейной теории зах. ~яе 193 изгиба пластин.
Например, если край пластиных=Освободно оперт, силовое граничное условие на нем ( д'и дйи 1 М„=0( +и — ~ =О. 1, дх' ' ду' Учитывая еще геометрическое граничное условие свободно опертого края (ы = — 0), можно записать два следующих условия при х = 0: а =0; — =О. дх' (7.19) Ряс.
7.10 Получить точное аналитическое решение уравнения устойчивости пластин удается лишь в весьма ограниченном числе частных случаев. Простейший из них — длинная пластина, равномерно сжатая в поперечном направлении (рис. 7.10, а), Граничные условия на удлиненных сторонах произвольны, но неизменны вдоль пластины. Предварительно определим начальное напряженное состояние пластины шириной а.
Всли края пластины не закреплены относительно смещений в продольном направлении, то решение этой вспомогательной задачи очевидно: Т,р = д, Туо == 0 Ъо =" О. Тогда уравнение (7.18) принимает вид ~ дх' дх~ ду' ду~ / дх~ (7.20) 194 Когда поперечные прогибы на краю пластины полностью запрещены, внешние контурные нагрузки в граничные условия не входят. Например, 'если по свободно опертому краю х = О к пластине приложены нагрузки д„и д4, то это не внесет никаких изменений в граничные условия (7.19). Внешние контурные нагрузки входят в граничные условия в тех случаях, когда край пластины свободен или',:упруго оперт. В этих случаях граничные условия":формулируются подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для стержня.
Для удлиненной пластины можно предположить, что при потере устойчивости ее изгиб происходит по цилиндрической поверхности. В этом случае уравнение (7.20) в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение которое с точностью до обозначений тождественно уравнению (7.6).
Такое совпадение достаточно очевидно: рассматриваемая задача устойчивости пластины эквивалентна задаче устойчивости полоски единичной ширины (рис. 7.10, б) с изгибной жесткостью ЕУ = 1 О, сжа- 'Д х 'а ~ г ~ аь Рис. 7.11 той продольной силой Р = 1 д. Поэтому все решения уравнения (7.6), полученные для стержня, можно перенести на рассматриваемую зада- чу устойчивости пластины и сразу записать д„р — — Сл'В/а', (7.21) где коэффициент С имеет те же самые значения, что и в формуле (7.10). Например, для пластины, свободно опертой вдоль длинных сторон, коэффициент С = 1.
В задачах устойчивости пластин обычно принято окончательные результаты представлять через к р и ти чески е н а и р я ж ен и я. Так, в рассматриваемой задаче результат можно представить через критические сжимающие напряжения (7.22) где и — толщина пластины. В качестве второго примера точного решения уравнения (7.18) рассмотрим задачу устойчивости прямоугольной пластины шириной Ь и длиной а, равномерно сжатой в одном направлении и свободно опертой по всему контуру (рис. 7.11, а). Будем считать, что до потери устойчивости напряженное состояние в пластине однооспо: Т„= — д, У„= О, 5, = О, и основное уравнение сводится к уравнению (7.20) Граииггные условия (7.19) свободного опирапия в рассматриваемой задаче выглядят так: х= 01 д-ы И=--0 1),, д-'." 1 в=О; —:=0; 1 ' — -О; л.
-~) дх' ' д=.5! ди При этих граничных условиях решение уравнения (7.20) можно построить в виде ряда (7.23) о=1 ос= 1 где С, „, -- произвольные постоянные; и, и — числа полуволн синусоид в соответствующих направлениях. Подставив выражение (7.23) в решаемое уравнение, мы для каждого члена ряда получим свое независимое уравнение с„(в[( — "")'~.("" ))' — д("") 1=о. Тривиальный случай, когда все постоянные С„= О, интереса не представляет: он соответствует начальному состоянию равновесия.
Для того чтобы было возможно С„ф: О, необходимо, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Последнее условие дает те значения нагрузки, прн которых возможны отличные от тождественного нуля решения уравнения (7.20), т. е. те значения, при которых у рассматриваемой пластины возможны изгибные состояния равновесия, смежные с начальным: где а, т =-- 1, 2, ..., оо. Поскольку число полуволн т входит только в числитель, то наименьшее значение нагрузки а„„, будет при ю --- 1. Учитывая это, введем безразмерные величины Последовательно принимая и = 1, и =- 2, и = 3 и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
