Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При этом '. в стержне возникнут нзгибные напряжения, максимальные абсолютные значе. ния которых почти в двадцать раз больше критических напряжений равномерно '. сжатого стержня. Любопытно отметить, что для линейно упругого материала значение крити' ческого относительного укорочения не зависит от модуля упругости, а является чисто геометрической характеристикой стержня. Для пластины, как и для стержня, возможны два качественно раз.
личных случая поведения в закритическом состоянии. Если закрепле- ' ние контура пластины не препятствует ее чисто изгибной деформации, -' т. е. деформации без удлинений и сдвигов срединной плоскости (рис. :.:7.21, а), то после потери устойчивости поведение пластины будет ;-,:таким же, как и у стержня с незакрепленным относительно попереч- 'ного смещения торцом: малейшее превышение критической нагрузки ' приводит к чрезвычайно большим поперечным прогибам и изгибным напряжениям.
В этом случае потеря устойчивости практически означает и потерю несущей способности пластины. Но если для стержней такой случай закритического поведения основной, то для тонкой пластины, являющейся элементом силовой конструкции, такой случай скорее исключительный. Когда контур пластины закреплен, то после потери устойчивости . срединная плоскость превращается в поверхность дгоякой кривизны. :-; Такое деформирование неиз: бежно связано с появлением ' дополнительных удлинений и а) Е углов сдвига в срединной плоскости, и закритическое поведение пластины в этом случае будет похоже на поведение стержня, изображен- / ного на рис.
7.19, б: и после потери устойчивости такая пластина может продолжать работать под возрастающей внешней нагрузкой. На рис. 7.21, б изображена тонкая пластина, прикрепленная по контуру к жесткой шарнирной рамке и нагруженная силой Р. До потери уатойчивости пластина находится в состоянии чистого сдвига. Когда внешняя нагрузка превысит критическое значение, определяемое формулой. (7.27), пластина теряет устойчивость, и ее поверхность становится волнистой, но при этом несущая способность пластины не исчерпывается. Довольно очевидно, что после потери устойчивости возрастающая внешняя нагрузка будет восприниматься главным обра' зом за счет растягивающих сил в пластине, направленных вдоль Л1 наклонных волн. Лпалогичпо ведет себя после потери устойчивосгн закрепленная по контуру пластина и при сжатии; силы, возникающие в деформированной срединной плоскости, помогают пластине продолжать воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.
Строгое теоретическое описание поведения пластины после потери устойчивости — весьма и весьма сложная задача, решение которой обычно удается получить только в приближенном виде, Дополнительная сложность заключается в том, что после потери устойчивости по мере роста внешней нагрузки происходит скачкообразная перестройка формы изогнутой поверхности пластины. Однако для сжатой в одном Рис. 7.22 направлении прямоугольной пластины Т.
Карманом предложен полу эмпирический прием, позволяющий крайне просто и, главное, доста точно точно оценить работу пластины в закритической области.. Рассмотрим закрепленную по контуру пластину толщиной 6, нагруженную в направлении х, как показано на рис. 7.22, а. Будем считать, что края пластины после потери устойчивости остаются прямыми. (Примерно так ведет себя клетка обшивки между продольным и поперечным силовым набором в реальной конструкции.) До потери устойчивости начальные силы в срединной плоскости пластины равны Г1О == — Г~Ь; Т„= О; Я, = О. (7.51) После потери устойчивости в пластине помимо изгиба возникает сложное напряженное состояние в деформированной срединной плоскости Т, = Т, (х, д); Т, =-= Т, (х, д); Я = 5(х, д), характер которого изменяется по мере роста внешней нагрузки, На рис. 7.22, б схематично показано распределение сил Т, по ширине пластины до и после потери устойчивости.
(После потери устойчивости величина Т, изменяется и по длине пластины.) Прием Кармана основывается на двух упрощающих допущениях: 1. Неизвестный закон распределения Т, — Т, (х, д) на всей длине пластины заменяется ступенчатым (рис. 7.22, в). Такая схематизация напряженного состояния отражает тот факт, что после потери устойчивости искривляющаяся пентральная часть пластины «уходит» из под нагрузки и продольные сжи- и) Мающие силы воспринимают в основном участки пластины, прилегающие к прямым кромкам. 2. Считается, что силы Т, равны критическому значению Т, для равномерно сжатой пластины шириной Ь, т.
е. Тс = — КФВ~Ьйр, (7.52) где коэффициент К, такой же, как и у исходной пластины. Учитывая, что для исходной пластины шириной Ь Рис. 7.23 К ~~5!Ьь можно записать Ь„'= — ~сЬ, где .= ~Г"„, Величину Ь„„называют приведенной шириной пластины, а коэффициент р(й — редукцнонным коэффиц и е н т о м. Если ввести среднее по ширине пластины сжимающее напряжение с~1 =- Г/(Ьл), то полученный результат можно представить в таком виде о, 1 во„„ (7.54) где о, = Т,~Ь; о,,.р -— Т„,Ь. Сжимающее напряжение а, на кромке пластины следует определять из каких-нибудь дополнительных условий (см,, например, расчет лонжеронного отсека на с.
326). Суммарная продольная сила, воспринимаемая пластиной после потери устойчивости, может быть подсчитана по формуле ~=оЬЬ=ос ФЬ= ЬЬ1 осокр. (7.5о) Прием Кармана позволяет построить приближенную зависимость сближения торцов 7р от нагрузки Р после потери устойчивости пластины, аналогичную зависимости для стержня, изображенной на рис. 7.20, б. До потери устойчивости, очевидно, г" = ХЕК/а.
После потери устойчивости, учитывая зависимость ту.йй), можно записать а Рч К 12 (1 — 1йй) 3l а Полученный результат схематично изображен на рис. 7.23, а, причем ййй ( Ь '1и 12(1 — 1йй) ~, (у / л Е 12(1 — 1йй) ~, Ь! На рис. 7.23, б показан характер зависимости максимального поперечного прогиба пластины от внешней нагрузки, До сих пор мы рассматривали задачи устойчивости стержней и пластин идеально правильной формы.
В силу этого допущения при любом уровне внешних нагрузок возможна исходная прямолинейная форма равновесия стержня и плоская форма равновесия пластин. Именно это допущение приводит к понятию критической нагрузки, т. е. такой нагрузки, при превышении которой исходная форма равновесия стерж- Рис. 7.24 ЕУв" + Ры, = О.
(7.57) В первое слагаемое входит только дополнительный прогиб ю, ибо возникновение внутреннего момента связано с дополнительным изгибом стержня; во второе слагаемое входит полный прогиб: плечо внешней силы определяется полным прогибом ж . Начальную форму оси стержня и, (х) будем считать известной и уравнение (7.57) запишем в виде Е7Ц~" + ™ = — Р'мо (7.58) при граничных условиях: в (О) = О; ы (1) = О.
ня или пластины перестает быть устойчивой. Но ось любого реального стержня не является идеально прямой, точно так же как и любая реальная пластина не является идеально плоской. Влияние таких начальных неправильностей формы покажем на простом примере. Рассмотрим шарнирно опертый етержень, сжатый силой Г (рис. 7.24, а). До пагружения начальный прогиб стержня ы~„= = ю, (х). После приложения продольной силы прогиб стержня будет г„=-с, + ы, где ы= ы (х) — дополнительный прогиб от нагружения.
Приравнивая моментот внешней силы г внутреннему изгибающему моменту и оставляя только первую степень величины а~„можем записать 1гри г~, (х) = О решением од~ор~д~~го уравнения, У~довлетво1)яющим граничным условиям, очевидно, будут функции ы„(х) = С Б!и —, (7.59) гдеп=1, 2, ... при Р =- )г'л'Е.И". (7.60) Критическая сила, соответствующая и = 1, равна Р р = пгЕЫ~ Решение неоднородного уравнения (7.58) удобно искать в виде разло.жения по функциям (7.59); и(х1 = ~„а„з1п — ' 'Р п=г иО (х) Х 00 з!п и=1 Тогда, подставив эти ряды в уравнение (7.58) и приравняв коэффи- . циенты при каждой из синусоид в левой и правой частях равенства, ' получим цепочку независимых алгебраических уравнений ( — Р, + Р) а„= — Ра,„, .
отсюда находим Соп (Рю! Р 1) где и =- 1, 2, ... Следовательно, г~(х)= ~ и=1 ао„. пих з1п (Гп(Р 1) (7.61) Таким образом, при Р—: Р„амплитуда соответствующей гармоники стремится к бесконечности. Но при изменении нагрузки от нуля до Р„р —— Р, неограниченно возрастать может только амплитуда первой гармоники и независимо от соотношений между начальными амплитудами а,„ при приближении нагрузки к критическому значению Р„р доминирующей окажется первая гармоника. Поэтому в приближенном решении можно принять аког пх ы(х) ~ агз1п — = яп — ' (7.62) На рис. 7,24, б показана завпспмость г~~„,ах --- и, от нагрузки 215 ::,представив правую часть тоже в виде разложения по той же сиетеме функций: Определив поперечные прогибы, можно найти максимальный изгибающий момент Л4„„и подсчитать изгибные напряжения в стержне: где йу — момент сопротивления сечения стер кпя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
