Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Минимизируя каким-либо численным методом последнее выражение, находим Р„... = Р„р. По изложенному варианту энергетического метода, когда изменение полной потенциальной энергии выражено в виде (7.29), следует сделать два замечания. Во-первых, необходимо подчеркнуть, что в это выражение входят начальные силы в срединной плоскости пластины, которые необходимо предварительно определить, решая (точно нли приближенно) плоскую задачу теории упругостие. Во-вторых, сле- " Задачи устойчивости можно решать и минуя определение начальных сил, но для этого необходимо использовать иной вариант энергетического метода 111. где ~; (х, у) — - координатные функции, удовлетворяющие (каждая в отдельности) геометрическим граничным условиям конкретной задачи.
Подставив этот ряд в выражение (7,29) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим ЛЗ =- ЛЗ (Р, фф..., С, ). дует отметить, что критерий устойчивости о (ЛЗ) =- О спрайедлйв независимо от того, какие причины привели к возникновению начальных сил в срединной плоскости пластины. (Эти силы могли возникнуть под действием контурных илн массовых нагрузок, неравномерного нагрева, структурных превращений в материале пластины и т.
д.). В любом случае, после того как начальные силы найдены, выражение (7.29) можно использовать для исследования устойчивости плоского напряженного состояния тонкой упругой пластины. Различие в причинах возникновения начальных напряжений никак не отразится на их критическом значении, но это различие может самым существенным образом повлиять на поведение пластины после потери устойчивости. Рис. 7.16 Как пример рассмотрим следующую задачу, имеющую большое практическое значение: прямоугольная пластина длиной а и шириной Ь с одним свободным краем сжата распределенными контурными нагрузками, изменяющимися по закону (рис.
7.1б, а) д, = д (1+ + тасуй), где и — фиксированный параметр (и -: — 1). Решение плоской задачи в данном случае очевидно (см. $2.2): т, = — д(1+щи); т, =0; З =О. В соответствии с выражением (7.29) запишем и Ь ЛЭ= С1 — — д 1+~1 —" — ~ йод. о о Если по трем остальным сторонам пластина свободно оперта, то геометрические граничные условия, которые необходимо удовлетворить при решении задачи энергетическим методом, таковы: х=0~ прп ~ ю=-0; прн у=-О г=-0.
х=- и В этом случае функцию поперечного прогиба удобно взять в виде ряда ллх г(х,у) = — э|п '' ~, С; р'. а Если край пластины при у = 0 защемлен, а два других края свободно оперты, то геометрические граничные условия будут такими: х=-0 дга ы=-0; при у==О в==О, — =О. х=а ду ири В этом случае функцию поперечного прогиба можно взять в виде ы (х, у) = Ып — ~ ~ С; у'. !=2 Еще раз подчеркнем, что при решении задачи энергетическим методом все граничные условия не обязательно должны быть удовлетворены (см.
53.1). Оетановимся далее на решении задачи для пластины с тремя свободно опертыми краями, ограничившись для простоты одним членом ряда. Найдем производные, входящие в выражение для ЛЗ; дга / ггп ~г . аах — = — Су~ — ) Ып дхг ~ а ~ а — = С,у — соз %='( —:) аггх дга соя а ' дуг Далее, выполнив нееложные операции интегрирования, получим ЛЭ= С1 — .0 — — +2(1 — 1г) — — ~ — "" Ьг — + — "~ =2С,— Х1 — — ' +2(1 — р.) /г ~ Ч О Чтобы было возможно С, Ф О, должно обращаться в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках; соответствующие значения нагрузки будут ггг Д аг дг/аг, 6 (1 1г)/ггг Чь Ьг 1+ Зг1/4 Поскольку число полуволн и входит только в числитель, наименьшее значение д„получим при и = 1 (рис. 7.16, б).
Следовательно, приближенное критическое значение нагрузки агО Два = Ка где Ьг/а + 6 (1 — 1г)/ г 1 +ЗЧ/4 В данном случае, когда мы ограничились одним членом ряда, условие о (ЛЗ) = О сводится к одному уравнению Взяв большее число членов ряда, можно уточнить полученный результат, но в рассмотренном примере даже первое приближение дает вполне приемлемую для практических целей точность. В"приведенной задаче точное аналитическое решение удается получить только прн ц1 = О, откуда прп а/Ь вЂ” ~- со и р = 0,3 следует К, = = 0,4255. Из полученного приближенного решения тоже имеем при тех же условиях К, = 0,4255. Потому можно ожидать, что и при т1 =,й 0 точность приближенного решения будет удовлетворительной.
Заметим, что точность приближенного решения полностью определяется выбором аппроксимирующих функций; в данном случае взятый Ряс. 7.17 "=+,~„„~,('И вЂ” ".")''( — ""))'-Г'У)'' ' ( )'Б — '" Система уравнений (7.32) распадается на независимые уравнения (и Ц вЂ” "")'~-~ —;" )')'-.К вЂ” "")'+ д ~ — "„)')) с„„= . (7.35) нами первый член ряда очень близок к точному решению: изменение по координате х соответствует точному решению, а при у = 0 выполнено не только геометрическое, но и силовое граничное условие. Рассмотрим далее случай комбинированного нагружения, когда на пластину в ее плоскости одновременно действуют несколько независимо изменяющихся внешних нагрузок. Например, на рис.
7.17, а показана свободно опертая по всему контуру пластина длиной а и шириной 6, равномерно сжатая в двух направлениях распределенными силами д, и д.,; начальные внутренние силы при этом: Т„ = — д„ Т„ = — д„ 8, = О. Для решения снова воспользуемся энергетическим методом, взяв функцию прогиба в виде ряда (7.23).
Подсчитаем с помощью выражения (7.29) изменение полной потенциальной энергии: Если С„,.„~ О, то должно обращаться и нуль выражение в фигурных скобках; из этого условия находим те сочетания значений нагрузок д, и О,„при которых возможны соответствующие формы равновесия "Пластины с искривленной срединной плоскостью: д~ — +д,, — = л'.0 — + —, (7.36) Полученное решение естественно обобщается на тот случай, когда пластина в одном направлении сжата, а в другом растянута. Так, если Т,0 ( О, а Т,0~ О, то в зависимости (7,36) достаточно перед величиной д, изменить знак на обратный. Выражение (7Л6) при заданном отношении сторон аЪ позволяет в координатах д„д, построить гр ан и цу области у стойч и в о ст и, т.
е. границу„отделяющую область таких значений д, и д„ при которых начальное состояние пластины устойчиво, от значений Ц„и д„при которых оно неустойчиво. Для квадратной пластины со стороной Ь такое построение приведено на рис. 7.17, б. Участки прямых, показанные сплошной линией, дают критическое сочетание безразмерных сил д, = Ч,/д,„р и д, = д,lд„„, а ломаная, состоящая из этих участков, является границей области устойчивости.
Величины ц„р и д „„, к которым отнесены силы д, и д,, равны критическим нагрузкам при сжатии пластины соответственно только в направлении х и только в направлении р; они подсчитываютея по формуле (7,25) при .К~ = 4. Если при нагружении пластины силы д, и 72 возрастают пропорционально одному параметру, то в координатах д, и д, такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат. Точки этого луча до пересечения границы области устойчивости характеризуют устойчивое начальное состояние равновесия, а после пересечения— неустойчивое. Общий случай комбинированного нагружения пластины описывается в координатах д, и д, кривой, исходящей из начала координат и называемой путем погружения.
Важно подчеркнуть, что для упругих пластин критическое сочетание величин д, и д, не зависит от пути нагружения. При граничных условиях на контуре прямоугольной пластины, 'отличных от граничных условий свободного опирания, решение существенно усложняется, но результаты такого решения, которые можно представить графиком, похожим на изображенный на рис. 7.17, б, качественно повторяют полученные выше: сжатие пластины в одном направлении уменьшает, а растяжение увеличивает значение критической нагрузки в другом пап1завлепип. Исключение составляет случай потери устойчивости пластины по форме, близкой к развертывающейся поверхности (сильно удлиненная пластина и пластина с двумя свободными противоположными сторонами).
В этом случае растяжение или сжатие пластины в продольном направлении практически не влияет на критическое значение сжимающей нагрузки в поперечном направлении (см. рис. 7.10), При комбинированном нагружении прямоугольной пластины касательными контурными силами д~ и растягивающими или сжимающими силами д, (рис. 7.18, а) решение удается получить только приближенными методами. Критические сочетания касательных и нормальных сил в этой задаче при различных граничных условиях и различном отношении сторон пластины можно аппроксимировать одной зависимостью (7.37) где д, = д,/д,,р; о, = дед,„р, причем д,ир и д~„р — критические значения касательных и нормальных сжимающих сйл, действующих на ту же пластину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
