Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Основкые уравнения устойчивости ',: цилиндрической оболочки " Линеаризаванные уравнения устойчивости упругой цилиндрической оболочки получим с помощью приема фиктивной нагрузки, как это было сделано при ьываде линеаризаван~ых уравнений устойчивости пластины и кругового кольца (см. ~ ?.2 и 8.1). При этом задачу устойчивости цилиндрической оболочки рассмотрим в следующей постановке: 1. Замкнутая круговая цилиндрическая оболочка нагружена толь-' ко приложенными к торцам распределенными силами и гидростатическим внешним давлением интенсивностью р = р (х, ~р). 2. Срединная поверхность оболочки имеет идеально правильную цилиндрическую форму, и изменением этой формы в начальном докритическом состоянии полностью пренебрегаем.
3. Начальное докрятическае состояние оболочки безмоментное, а при патере устой швасти связь между бнфуркационпыми перемещениями первого псюядка малости у., с, ы и дополнитсльпьюли внутренними силами выражается зависимостями (6.41), (6.42) линейной теории цилиндрической оболочки при неасесимметричнай деформации. Составим уравнения для определения критического значения внешней нагрузки, при превышении которого начальное состояние равно- 221 вески оболочки перестает быть устойчивым. В соответствии с перечисленными допущениями в оболочке существуют только начальные внутренние силы Т1о =-- Тз.о (х, ср), Таа = Тао (х, ср) .Ко = оо (х, ср), удовлетворяющие уравнениям равновесия (6.43) ...
(6.45) безмоментной теории: дТсо, д5о — -'; — — =О; дх 1сдф д оо дТао + а О. дх 1сд~р 7 аз — =м Р з1 (8,8) д д д д Ргф= — (да Тсо)+ — (да Тао)+ — (даоо)+ — (д1~о)э (8.9) дх 1сдср дх 1сдср где д„д, — углы поворота нормали к срединной поверхности оболочки в соответствующих плоскостях. Выполнив в этом выражении дифференцирование произведений, с учетом уравнений равновесия (8.8) получаем формулу Р аф = — РРаса + Тсомд + 2Яозсса (8.10) где х„ ха и хса — изменения кривизн и скручивание срединной поверхности оболочки, определяемые зависимостями (6.35). Теперь для получения однородных линеаризованных уравнений устойчивости достаточно в общих линейных уравнениях, описывающих изгиб цилиндрической оболочки, положить: р, = р,ф, р„=-= О, ро =- О.
Так, например„для изотропной оболочки, используя систему уравнений (6.46) ... (6.48), получим систсму однородных уравнений относительно бифуркационных перемещений: д ! — 1а д 1+ д д —,+ +1 — =О; дха 2 йа дсра 2 Кдсрдх 1~дх 1+ 1а д' и 1 — 1с д' и даи дис 2 1сдсрдх 2 дха йадсра 1са дср ьа ( 1 — р, да„1 да, 'дз дз 12У 1, 2 дха 1Р ссра дха дср УР дсрз / ди с ди, ис Ьа !' да о 1 да а Я дх Щ дср йз 12йа 1, дка дср Яа дсрз а доссс ' до си ! дс ю -1- Р 1-2 + — — =-р„. дх' дха дсра ~а дср4 'Ф где р, = — р (х, ср).
Для определения фиктивной поперечной нагрузки р,ф = р,ф (х, ср) подсчитаем сумму проекций всех начальных внутренних сил на направление нормали к деформированному элементу оболочки, как это было проделано для пластины и кольца (см. с. 191 и 219). В результате получим Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки в соответствии с порядком получен~ой системы уравнений на каждом из торцов должно быть задано по четыре граничных условия: два граничных условия относительно нормального прогиба ы~ и его производных н два граничных условия относительно тангенциальных перемещений и и и и их производных.
Следует подчеркнуть, что входящие в систему уравнений (8.11) бифуркационные перемещения и, п, г описывают отклонения срединной поверхности оболочки от начальной докритической формы равновесия. Поэтому однородные граничные условия для этих перемещений непосредственно не связаны с граничными условиями начального докрнтического состояния и должны формули: роваться независимо от них (примеры формулировки граничных условий будут рассмотрены в следующих параграфах при решении конкретных задач устойчивости оболочек).
Потери устойчивости цилиндрических оболочек обычно происходят по таким формам, при которых |йЫдср~ >> 1и~, 1д'и/д(р') >> ~ы1. Поэтому в задачах устойчивости часто используют упрощенные зависимости для углов поворота нормали и изменений кривизн пологой оболочки (см. ~ 6.2): д- О, дх д д~~ Дар (8.12) (8.14) 1: д'ы д~ц~ д~и к,= —; х,,= Х12 дх' ~~ дср' ~д~рдх :. В этом случае уравнения равновесия должны также быть упрощены ':: [17): в уравнении (6.39) следует отбросить слагаемое Я,/Р и урав- : нения равновесия в проекции на три координатные оси будут: дТ~ д5 — + — =О; дх Дд<р (8. 13) дх Лд~р Т,, д~М, д'М„, д~М, дх- "Дд~рдх Л2 д(ря Как было сделано в плоской задаче теории упругости (см.
11 2.1), введем функцию г' с помощью соотношений дх' Л~ дср~ йд рдх . Тогда два первых уравнения системы (8.13) будут удовлетворены тож- дественно, Если учесть, что при использовании упрощенных зависи- мостей (8.12) для изменения кривизн выражения для изгибающих моментов имеют вид ~и12=(1-р) ~1 (8.15) Ларах ' то третье уравнение равновесия можно записать так: — — +ВР 1' Ю =Р„-, 1 д'Е Я дх~ (8.16) д'(*) д'(*) ~'(*) = — + —- дх~ Д~ дф~ Исключая из формул (6.34) для относительных удлинений и углов сдвига перемещения и и и, приходим к у р а в н е п и ю с о в м е с тности деформаций (8. 17) И~ дф" дх' Идфдх И дх~ Использовав соотношения упругости (6.41) и соотношения (8.14), из уравнения совместности деформаций получим — 77Р= —— 2 2 Ей Я дхх (8.18) Окончательно, заменив в уравнении равновесия (8.16) поперечную нагрузку р, фиктивной нагрузкой по формуле (8.10), запишем упрощенную систему линейных однородных уравнений устойчивости цилиндрической оболочки: 1 д~~' д~у, д~и дну — — + ПР 7' ы+ рЯ вЂ”, — У,о — — 230 — =0; Я дх~ Я~ дф- 'дх' Ядфдх й дх'" Ей д'ы .
0 д4 / д'ы д~ы 8,— + — ' — ~ — +2 — -1-ьэ + дх~ Я6 дф4 ~ дф~ дф~ д4 + —, (рик — Тхо хх--230 х13) =-0 Я2 дф~ (8,20) При решении этой системы уравнений однородные граничные условия, конечно, следует выразить через функции ы и Р и их производные, Упрощенную систему уравнений (8.19) следует использовать в тех случаях, когда потеря устойчивости оболочки происходит с образованием большого числа волн как в окружном, так и в осевом направлениях: тогда в пределах каждой волны оболочку можно считать пологой, Многие задачи устойчивости изотропных и ортотропных цилиндрических оболочек удается просто и, главное, достаточно точно решить с помощью полубезмоментной теории, изложенной в ~ 6.4.
Однородное уравнение устойчивости полубезмоментпой цилиндрической оболочки можно получить, заменив в осногном разрешающем уравнении (б,бб) поперечную нагрузку р., фиктивной поперечной нагрузкой по формуле (8.10) и положив р, = 0 и р„=- 0: Здесь В, и Р, — соответственно жесткость оболочки на растяжение— сжатие в продольном направлении и изгибная жесткость в окружном направлении. Изменения кривизн подсчитывают по формулам д'ы 1 / д'э х~=; х,= — ~ — +а; дх~ Я~ ~ д~р~ (8.2 1) Однородные граничные условия в задачах устойчивости полубезмоментной оболочки и условия сопряжения формулируются аналогично тому, как это было сделано в ~ 6.4.
Применение уравнения (8.20) оправдано, когда при потере устойчивости оболочки образуется несколько волн в окружном направлении и одна полуволна в осевом направлении. В этом случае для бид'в 1 д'и фуркационных перемещений выполняется условие —, (( „—,, — и полубезмоментная теория достаточно точно описывает деформацию оболочки. Пример такой задачи — потеря устойчивости оболочки при внешнем давлении. Энергетический путь исследования устойчивости оболочек бывает весьма полезен как для получения приближенных решений, так идля .
вывода системы разрешающих уравнений и формулировки граничных и стыковочных условий в сложных задачах, например в задачах устойчивости многослойных анизотропных оболочек. Сейчас без подробных . промежуточных выкладок приведем основные соотношения, необходимые для исследования устойчивости изотропной цилиндрической оболочки при сформулированных в начале параграфа допущениях. Полная потенциальная энергия оболочки 3 = — У+ П, где У— внутренняя энергия деформации оболочки; П вЂ” потенциал внешних сил, действующих на оболочку. В линейных задачах деформирования оболочек, когда справедливы зависимости (6.34) и (6.35), величина У определяется выражением У= —" ((х,+х,)'+2(1 — р)(хауз — х,х,)1И~рс1х+ 2 + 1 ~(е~~+2р,а,е,+ з~+ " 'у' И~рдх.
(8.22) .': Потенциал внешних поверхностных сил (без учета контурных нагрузок) П = — 1" 1" (р„и + р„п + р,в) Мгус1х. (8.23) Для определения критических нагрузок (см. ~ 1.6) необходимо из'„' менение полной потенциальной энергии ЛЗ подсчитать с точностью до ",; квадратов бифуркациониых перемещений, переводящих оболочку в :-':;.
новое состояние равновесия, смежное с начальным. Используя третье ' допущение, сформулированное в начале параграфа, и рассуждая так : же, как при подсчете изменения полной потенциальной энергии пластины (см, ~ 7.3), окончательно получим [11: = (~в+ (Iм+ ~'+ ~И, (8.24) 225 где ) ) ~а!+ И1з2+ат+ 7 ~~[Ч~[х[ (- )11~ 2 Ух= — [ [ [(к, + хя)'+2(1 — р) (хая — х, х,)[ Играх; 2 1,) ~ ~ — %1Т1с+О1От~о+ — б~Тао ИФЖ ГГ1 1 ЛП = — ~ р [и (а, + е,) — ид,--ид,! И~рйх. 1 Р 2 ) Здесь р — внешнее гидростатическое давление; Т„, Т„, 5, — внутренние силы начального безмоментного состояния равновесия оболочки. Удлинение е„е„7, углы поворота нормали д~, б, и изменения кривизн х1, х„х„, связанные с переходом оболочки в новое сосотяние равновесия, выражаются через бифуркационные перемещения и, о, а~ с помощью линейных зависимостей, приведенных в ~ 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
