Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Дальнейшее решение можно вести из условия 6 (ЛЗ) = О либо из условия ЛЗ = О при дополнительном требовании минимума критической нагрузки. На основе того и другого условия можно строить как точные, так и приближенные решения задач устойчивости оболочек. $8.3. Устойчивость цилиндрической оболонки при осевом сжатии На рис. 8.4 изображена цилиндрическая оболочка длиной 1 и радиусом Л с толщиной стенки Й, сжатая равномерно распределенными силами интенсивностью д.
Начальное безмоментное состояние такой оболочки Т1о Ч» Тао Оз ~о (8.25) Найдем критическое значение о„р нагрузки, при превышении которого это начальное безмоментное состояние перестанет быть устойчивым. В рассматриваемой задаче в зависимости от геометрических параметров оболочки и условий закрепления ее торцов потеря устойчивости может происходить по нескольким качественно различным формам. Для исследования осесимметричной формы потери устойчивости(рис.8.4, а) воспользуемся уравнением осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки под действием поперечной нагрузки: 0 — + — гв =р,. (8.2б) дх4 Заменив здесь поперечную нагрузку р, фиктивной поперечной нагрузкой по формуле (8.10), получим однородное линейное уравнение; описывающее осесимметричиые формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при начальном напряженном состоянии, выражаемом зависимостями (8.25): (8.27) дх' й~ дх' ~) (1 Г ! Рис.
8А Наиболее просто это уравнение решается при граничных условиях свободного опирания, когда на обоих торцах оболочки задано и=О и Йъ~!/дх' = О. В этом случае решением уравнения (8.27) будут функ- ции а,„=С з1п —, тлх (8.28) гдет=1,2,.... Подставив это решение в уравнение (8.27), получим для каждого числа полуволн т свое независимое уравнение С 0 — "" + — — д„,—" з1п™ =О. Тривиальный случай, когда все коэффициенты С = — О соответствуют начальному безмоментному состоянию равновесия. Чтобы было возможно С 4. -О, необходимо, чтобы обращалось в нуль выражение в квадратных скобках. Из этого условия следует д„=в — " '+ Е" — ' ', (8.29) где т = 1, 2, ....
Подобрав число полуволн т из условия минимума значениями„„найдем критическое значение д„р, какэто делалось при решении задачи устойчивости прямоугольной пластины (см. ~ 7.2). Структура выражения (8.29) характерна для задач устойчивости оболочек: величина д зависит от двух слагаемых, первое из которых пропорционально нзгибной жесткости оболочки О, а второе — жесткости оболочки Ел, на растяжение †сжат, причем первое слагаемое растет с увеличением числа полуволн т, второе — уменьшается. Тонкие оболочки обычно теряют устойчивость с образованием большого числа полуволп.
Обозначив (тлй)' = т1, можно записать д = Вт1+ —— (8.30) д2 и, условно считая параметр и изменяющимся непрерывно, искать минимум этого выражения из условия йд /ф1 = О. После несложных выкладок получим 1 — ! 4 / ЕЬК'" кр НР ц 1~ д (8.31) О„р =- — 1' ЙЕй. (8.32) (Отметим, что выражения (8.31) и (8.32) можно использовать и для ортотропной оболочки, заменив в них величину й изгибной жесткостью оболочки В, в осевом направлении, и величину ЕЬ вЂ” жесткостью оболочки В, на растяжение — сжатие в окружном направлении.) Уравнение (8.2?) нетрудно решить и при других граничных условиях, причем оказывается, что если на обоих торцах задано и = О, то независимо от двух других граничных условий значение величины О„р для достаточно длинных и тонких оболочек практически совпадает со значением д„р, определяемым формулой (8.32).
Неосесимметричные формы потери устойч и в о с т и сжатой в осевом направлении изотропной цилиндрической оболочки можно исследовать с помощью системы уравнений (8.19), которая при напряженном состоянии, соответствующем зависимостям (8.25), принимает вид д2~ д2я, — — +БР Р ю+д — =О; 1~ дх2 дх2 (8.33) — ~7 Р— — — =О. ! 2 2 ! д2~и ЕЬ Я дх2 Для оболочек конечной длины эта система уравнений допускает элементарное аналитическое решение только при одной единственной комбинации граничных условий, когда на обоих торцах оболочки за- дано ы = О; М1 = О; о = О; Т, = О. (8.34) 228 Как нетрудно проверить, эти граничные условия эквивалентны таким граничным условиям: (8.35) дх' ' дхх Приведенные граничные условия довольно своеобразны: это не условия шарнирного.
закрепления края оболочки, поскольку Т, = О и, следовательно, и ~ О, и не условия свободного опирания, так как а = О и, следовательно, 5 ~ О. Физически эти граничные условия можно трактовать так: край оболочки подкреплен тонким кольцом с не- растяжимой осью, обладающим очень большой изгибной жесткостью в своей плоскости, но совершенно не сопротивляющимся кручению и деформациям из плоскости. Ре1пением системы уравнений (8.33) при граничных условиях (8.34) будут функции а~„— А„з1п щ Мп —; и их Г„„„= В„,„я'и пгу з1п— где и, т — некоторые целые числа. Подставив эти функции в систему дифференциальных уравнений и сократив общее для всех слагаемых произведение синусов, получим однородную систему алгебраических уравнений:  — + —" — д —" А„— — —" В„„—.О; 1 А + 1 + Из условия равенства нулю определителя последней системы находим д = От~+в Еп 1 (8.37) й'ч' где т1 = — — +— Выражение (8.37) формально совпадает с выражением (8.30) осесимметричной задачи.
При большом числе волн в осевом и окружном направлениях„— а в ~ 8.2 отмечалось, что уравнения (8.19) применимы именно в этом случае, — комплекс т1 можно рассматривать как непрерывно изменяющийся параметр. Тогда условие минимума величины д„снова приводит к формуле (8.32), которая для изотропной оболочки принимает вид ЕЬ~ Чкр й УЗ(1 — 1") (8.38) Критическое значение комплекса т1 = — †"" + †""Р = " . (8,39) -Последняя формула не дает конкретных критических значений п~рр и а„р, а только устанавливает некоторую связь между ними. Таким образом, одному и тому же критическому значению нагрузки изотропной оболочки, определяемому формулой (8.32), соответствует целая серия различных комбинаций значений т„р и п„р, включая и„р — — О.
Это означает, что при достижении значения д„р у оболочки становится возможным не одно, а целая серия новых изгибных состояний рав.- новесия, смежных с начальным безмоментным. При граничных условиях, отличных от условий (8.34), решение пеосесимметричной задачи устойчивости сжатой в осевом направлении цилиндрической ооолочки резко усложняется, 0днако оказывается, что если на торцах оболочки запрещены перемещения ы и и, то для тон- ' кой и достаточно длинной цилиндрической оболочки нагрузка д„р практически не зависит от остальных граничных условий и тоже определяется формулой (8.32).
Рассмотрим далее задачу устойчивости, сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки, на одном краю которой заданы граничные условия (8.34), а другой край полностью свободен (рис. 8.4, б). Качественное отличие этой задачи от только что рассмотренных заключается в том, что при заданных граничных условиях оболочка допускает чисто изгибные деформации без растяжений и сдвигов срединной поверхности. Для определения нагрузки д„р воспользуемся энергетическим методом, причем решение построим приближенное, взяв бифуркационные перемещения и„=- — — соя щ, о„= — — — з(п аср, г„= А„— соз а~р, (8.40) Ап А„ х .
х где А„— произвольный параметр. Как легко проверить, выбранные функции удовлетворяют всем граничным условиям при х = 0 и двум граничным условиям (71 = О, Я = 0) на свободном краю оболочки; два остальных силовых граничных условия на свободном краю удовлетворяются только приближенно. При выбранных функциях, используя зависимости из ~ 6.3, находим е~=О; а~=О;7=0; Ап А„х :О, =- — соз а~р; О, = —, ~а — — ) з1п а<р; Д2 й~ 2 ', Ап х1= О~ х2 = — (а — 1) соз щ; х12 = — — а — — з1П ад. ДЗ Используя энергетический подход, изменение полной потенциальной энергии подсчитываем с помощью выражения (8.24) при началь, ном напряженном состоянии, соответствующем зависимостям (8.25).
Учитывая, что в рассматриваемой задаче У, = 0 и ЛП = О, получим ЛЗ=- А„'иЮ вЂ” (" ) — +2(1 — р) а--— Из условия ЛЭ = 0 при дополнительном требовании минимума критической нагрузки приходим к окончательной формуле = — 3 ~ +(1 — ) 49 (8А1) при а„р -— — 2. 1.
Поскольку в рассмотренном случае оболочка теряет устойчивость без растяжений и сдвигов срединной поверхности, структура формулы (8,41), в которую входит только изгибная жесткость оболочки В, качественно отличается от структуры формул (8.32) и (8.38). Вид оболочки, потерявшей устойчивость, показан пунктиром на рис. 8.4, б. Очень длинная цилиндрическая оболочка (труба) при осевом сжатии может потерять устойчивость как стержень (рис. 8.4, в). В этом случае, поскольку сжимающая сила Р = 2лйд, получаем и„„= — С вЂ” =С вЂ” ~ — ~, 1 тРЕ1 д~ЕЬ / я ~~ (8.42) 2~~ 1г 2 где коэффициент С зависит от способа закрепления торцов трубы (см. ~7.1). (При свободном опиранни торцов С = 1.) Итак, сжатая в осевом направлении цилиндрическая оболочка может терять устойчивость по трем качественно различным формам: с искривлением образующих (рис. 8.4, а), без растяжения срединной поверхности (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
