Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В рассматриваемом примере гам Л4п.ах = д ге~я шах '~ Р/Рнп ~7.63/ Глава 8 устОЙчиВОсть цилиндРических ОБОлОчек Для расчета конструкций ракет задачи устойчивости цилиндрических оболочек имеют наибольшее значение, С другой стороны, на примере исследования устойчивости цилиндрических оболочек можно проследить все основные особенности задач устойчивости тонких упругих оболочек. Поэтому мы ограничимся изложением основ теории устойчивости упругих оболочек применительно к задачам устойчивости круговых цилиндрических оболочек.
Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрических оболочек, рассмотрена родственная задача устойчивости равномерно сжатого упругого кругового коль- 2/б Полное напряжение 8 Иг Л ~ В' 1 — Р/Ряп/ где э' — площадь поперечного сечения стержня. Например, для тонкостенного трубчатого сечения, как в предыдущем прпмере, о=2яИ, Р / 2а0, ! Иг=пЯ' 6 и а= — — ~1 ~— 3 ~, Д 1 Р/Рнп Как видно из этой формулы, изгибные напряжения зависят от отношения амплитуды начального прогиба к размеру поперечного сечения и резко возрастают по мере приближения сжимающей нагрузки к ее критическому значению. Так, например, если ам/(2Р) = 0,05, то при Р = 0,8Р„п максимальные изгибные напряжении оказываются по абсолютному значению равными напряжениям осевого сжатия.
Так же начальные неправильности формы влияют на поведение сжатых стержней и при других граничных условиях, если один из торцов стержня может беспрепятственно перемещаться в осевом направлении. Начальные неправильности срединной плоскости тоже существенным образом отражаются на поведении пластины, однако полное исследование этого влияния является чрезвычайно сложной задачей, требующей решения нелинейных уравнений в частных производных. На рис. 7.24, в схематично показано, как начальные неправильности влияют на сближение торцов прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении, в зависимости от приложенной нагрузки.
ца. Затем приведены основные варианты уравнений устойчивости упругой круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии; дано выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки при - переходе ее в смежное состояние. Рассмотрены аналитические решения толькотрех основных задач устойчивости оболочки: при равномерном внешнем давлении, равномерном осевом сжатии и кручении.
Многочисленные приближенные решения других задач устойчивости'упругих оболочек, в том числе ешепия, полученные с помощью ЭВМ, можно найти в литературе 8, 9, 121. . ф ЗЛ. Устойчивость круговых колец , Рассмотрим кольцо радиусом Я, сжатое равномерно распределенной ,' радиальной нагрузкой (рис. 8.1, а). Если до нагружения кольцо име. ло идеально правильную круговую форму, а интенсивность д распре:,:- деленной нагрузки строго постоянна по всему кольцу, то всегда воз- можна начальная круговая форма равновесия кольца, подобно тому :: как у централыю сжатого прямого стержня всегда возможна на:: чальная прямолинейная форма равновесия (см.
~ 7.1). Найдем критиче: ское значение д„.р нагрузки, при превышении которого начальная кру: говая форма равйовесия перестает быть устойчивой и кольцо принимает новую некруговую форму, например изображенную пунктиром а) М а%~ Рис. 8.1 на рис. 8.1, а. При этом мы ограничимся изучением потери устойчивости кольца в своей плоскости, а внешнюю нагрузку будем считать г и д р о с т а т и ч е с к о й, т. е. такой, что прп изгибе кольца она остается нормальной к деформированной оси кольца и ее интенсивность д не меняется. Линейная задача изгиба круговых колец рассмотрена в ~ 4.1.
Напомним, что в линейных задачах условия равновесия формулируются для недеформпрованного элемента, а в задачах устойчивости необходимо рассматривать равновесие искривленного и. отклоненного от 217 своего начального положения элемента. Такой элемент Рс(ср кругового кольца, до изгиба имевший форму дуги АВ окружности, изображен на рис. 8.1, б. При начальной круговой форме равновесия осевая сила Л', ==- — дЯ постоянна по всему кольцу. Осевую силу при не- круговой форме равновесия запишем в виде двух слагаемых: Л', = =- Л1, + Лс, где Лс =-- Л' (ср) — дополнительная составляющая, возникающая в результате изгиба кольца. Значения изгибающего момента и поперечной силы, возникающих в кольце в результате изгиба, обозначим соответственно М = М (ср) и-1~ = Я (~).
Введем оси координат у, и г„направленные соответственно по касательной и нормали к деформированной оси кольца в точке А,. Приравнивая нулю суммы проекций на эти оси всех сил, действующих на элемент А,В, изогнутого кольца, и отбрасывая всличины заведомо высших порядков малости, получим — ' — Я--,' Π— = — 0; дУс, ~Ь~ Йср ' спр с|Я с,, ٠— -с- Л,— У, ' .—. дЯ. Йср Йср Третье уравнение равновесия без величин высших порядков малости имеет вид йИ Д4 ср Чтобы получить линеаризованное уравнение, описывающее потерю, устойчивости кольца, воспользуемся геометрическими зависимостями, полученными в ~ 4.1: (8.1) с~ ~ с1'р' 1 6$1 ( сРо с~о ссср,1 >2 1 с1срз ссср и соотношением упругости М == ЕУн, (8.2) где ЕУ вЂ” жесткость кольца на изгиб в своей плоскости. Как нетрудно установить, величины ф х, М, Я и Л~ имеют тот же первый порядок малости, что и перемещение о.
Поэтому, учитывая, что Л', == Лсо + Л' и Л', == — дЯ, и отбрасывая в двух первых урав' нениях равновесия произведения величин первого порядка малости, получим слипеаризованные уравнения равновесия деформированного элемента кольца: и~ ссср — +Лс = — дй'н', сц~ ась — =М. ам йр (8.3) Сравнивая полученную систему линеаризованных уравнений с системой уравнений (4.1) линейной задачи изгиба квльца, видим, что эти системы будут формально эквивалентны, если, как это было сделано в ~ 7.2, ввести фиктивную поперечную нагрузку Чгф = Чйтс (8,4) и положить сс, = сг,ф, сг„= О, пг = О. Поэтому, минуя промежуточные выкладки, по аналогии с уравнением (4.3) можно сразу записать урав- нение Наименьшее из найденных значений сг„, соответствующее и = 2, да- ет" критическое значение интенсивности внешней нагрузки: сг, = сг„р — --- ЗЕ5(К'.
(8.6) Определим с точностью до масштаба форму, по которой кольцо теряет устойчивость. Деформация кольца при потере устойчивости связана с его изгибом и удлинение оси кольца практически равно нулю. В этом случае (см. ~ 4.1) го = — — с!оЫср. В частности, если о„= з1п пр, то го = — и соз иср.
На рис. 8.2 схематично показаны формы изогнутой оси кольца при п = 2 (а) н п = 4 (б). Поскольку критической нагрузке соответствует и = 2, форма изогнутой оси кольца описывается функциями он„= ов =- з1п 2ср; го, р — — ыл, =- -- 2 соз 2ср. (8.7) * Значение сг„ при а = ! соответствует смегценисо кольца как жесткого целого (см. Э 4.3) н для рассматриваемой задачи устойчивости интереса не представляет. гв с!'М с)М с)х — + — = — йа с! —, с)срз с!ср сгср ' Окончательно, подставив значения М и тс, получим однородное ''линеаризованное уравнение, описывающее потерю устойчивости кру, гового кольца под действием гидростатической нагрузки: Для замкнутого свободного кольца, исключив его перемещения как ',,жесткого целого, решение уравнения (8.5) можно найти в виде триго:-'нометрического ряда (см. ~ 4.4): ОФ о= ~~ С„з1п игр. а=2 ;, Подставив этот ряд в уравнение (8.5), для каждой гармоники получим ф— — и'(п' — 1)'+ д„п'(пв — 1) = О.
Из условия существования С„~ь О находим д = (п' — 1) Е1Яз К ак уже говорилось, линеаризованные уравнения дают возможносзь определить только форму потери устойчивости, а для определения зависимости нагрузка — перемещение при нагрузках, больше чем критические, необходимо решать задачу в нелинейной постановке.
Приближенное решение такой задачи можно получить методом1 изло?кеп- ным в Я 7.4 для стержня. Из этоа) 6~ го решения следует, что свободное кольцо на ранней закритической стадии деформирования ведет себя так же, как стержень со свободно смещающимся в осевом направлении торцом (см.
рис. 7.20, а), т. е. малейшее превышение критического значения нагрузки вызывает резкий рост перемещений. Необходимо сделать несколько замечаний по практическому применению формулы (8.6). Хотя формула эта широко известна и вошла во многие справочники и руководства, к сожалению, для подавляющего числа практических задач, когда круговое кольцо приходится рассчитывать на устойчивость, эта формула, строго говоря, не верна. Чтобы пояснить это, рассмотрим несколько типичных случаев нагружения круговых колец равномерно распределенными радиальйыми силами (рис.
8.3). Изображенный на рис. 8.3, а шпангоут бака, нагруженного внутренним давлением, сжат радиальной нагрузкой интенсивностью д, = (рЯ,/2) сов О и начальная осевая сила в пем Л', = — дЯ. Рис. 8.3 В тонком упругом кольце, стянутом гибкой нитью (рис. 8.3, б), начальная осевая сжимающая сила У, = — Р. Равномерно сжатыч в начальном напряженном состоянии оказывается и тонкое колыю, вставленное с натягом в жесткую обойму (рнс. 8.3, в). Во всех этих случаях начальное напряженное состояние качественно ничем пе отличается от начального напряженного состояния, возникающего в кольце прп гидростатическом нагружении. При расчете на п р о ч н о с т ь все эти случаи можно считать эквивалентными.
Однако как уже неоднократно отмечалось, для исследования у с т о йч и в о с т и системы необходимо рассмотреть условия ее равновесия ;:й отклоненном от начального состоянии. Поскольку при отклонениях :колец ат начальной круговой формы действующие на них вне~~не нагрузки в задачах, изображенных на рис. 8.3, ведут себя качественно 'различно, то и задачи эти являются принципиально различными с точки зрения устойчивости.
Так, в первой задаче передаваемая на шпангоут нагрузка при из'ггибе шпангоута существенно изменяется по значению и направлению, .поэтому формула (8.6), полученная для гидростатпческай нагрузки, :;;к этой задаче неприменима. 1храме тога, эта формула не учитывает :-. поддерживающего влияния ооолочки бака, поэтому значение критиче!"'ской нагрузки, подсчитанное па формуле (8.6), оказывается во много ,'; раз ниже действительного [1?).
В двух других задачах передаваемая па кольцо нагрузка при от- ~ кланениях колец от круговой формы также не является гидростатиче,": ской: на тех участках, где сохраняется контакт с нитью или обоймой, ,:нагрузка, оставаясь нормальной к оси кольца, меняет свое значение, ';,'::а на остальной части кольца она просто обращается в нуль. В резуль"тате поведение колец при потере устойчивости даже качественно от:;; личается от поведения кольца, теряющего устаичивость под действием Г гидрастатическай нагрузки 11).
Можно привести и другие примеры, когда определение критичен: ской радиальной нагрузки по формуле (8.6) приводит к неверному ре- ~: зультату. Один из немногих, по практически чрезвычайно важных слу„';:. чаев, когда применение этой формулы строго обосновано, — это расчет ",. на устойчивость длинной цилиндрической трубы, нагруженной внеш,' ним давлением, : $8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
