Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 36
Текст из файла (страница 36)
д., получаем На рис. 7.11, бприведсны соответствующие кривые. Приравнивая д„— д„,, находим, что две соседние кривые пересека|отся при отношении а,'О == ~ и (и + 1). Участки кривых, лежащие ниже точек пересечения, дают наименьшие и, следовательно, критические значения д, р. Зная кри|ические значения д, р безразмсрнои нагрузки, можно записать выражение для критической распределенной нагрузки тР О Чнр Кр 396 1де К, — коэффициент, численно равный д,р и зависящий от отношения сторон пластины (сплошная линия на рис. 7.11, б). Окончательную расчетную зависимость обычно представляют через критические сжимающие напряжения (7.25) В последних формулах в качестве характерного размера пластины принята ее ширина Ь, а не длина а, как в формуле (7.22), поскольку при а ) Ь именно размер Ь существенно влияет на значение критических напряжений.
Как видно из графика на рис. 7.11, б, при а ~ЗЬ 1зис. 7.12 коэффициент К, практически не зависит от отношения сторон. Другими словами, крйтические напряжения в удлиненной пластине, сжатой вдоль длинных сторон, практически не зависят от ее длины и полностью определяются отношением Й/Ь; при этом К~ ж 4. На рис. 7.12 изображены типичные формы изогнутой поверхности пластины, по которым происходит потеря устойчивости свободно опертой по всему контуру и сжатой в одном направлении прямоугольной пластины. Форма, описываемая функцией з1п (пх/а) з1п (пу/Ь) (рис. 7.12, а), реализуется при а/Ь ~. )' 2; форма, описываемая функцией з1п (2лх/а) з1п (лд/Ь) (рис.
7.12, б), реализуется при 1~ 2 ( а/Ь : ( )Гб и т. д. Уравнение (7,20) для прямоугольной пластины, сжатой равномерно в одном направлении, удается аналитически проинтегрировать и в тех случаях, когда граничные условия свободного опирания заданы на любых двух противоположных сторонах пластины, а две другие стороны закреплены произвольно, но неизменно вдоль всей пластины (1). Расчетные зависимости обычно представляют тоже в виде формулы (7,25), но здесь коэффициент К, для каждого варианта граничных условий по-своему зависит от отношения сторон пластины (рис. 17.13). (Кривая 1 построена по результатам приближенного решения, поскольку для защемленной по всему контуру пластины аналитическое решение построить не удается.) При расчете тонкостенных подкрепленных конструкций встречается задача расчета на устойчивость прямоугольной пластины, нагруженной по контуру касательными силами (рис.
7.14). Начальное напряженное состояние в такой пластине (см. ~ 2,2)'. Т~а='О, Т~а=О, Яа=д и основное уравнение (7.18) принимает вид Э а У а н ~)( д' д~ы д~и ~ +2 — + )— дх~ дуз ду4 ) д~ж — 2д — =- О. (7.26) дхду Точное аналитическое решение этого уравнения удается получить только для длинных пластин при а/Ь-э. оо.
Окончательный результат такого решения записывают в виде, аналогичном формуле (17.25): з 4 а~'Ь Рас. 7.13 р Чк кр— Ь 70 — (7.27) г — — = — ~ ~п =- Кс 198 5 ~ а/ь где Ь вЂ” ширина пластины. При свободно опертых длинРас. 7.14 ных сторонах пластны К, = = 5,34, а при защемленных К, = ЗЯ8. Для прямоугольных пластин с конечным отношением сторон решение уравнения (7.26) получают с помощью того илн иного приближенного метода, причем окончательный результат обычно тоже записывают в виде (7.27).
На рис. 7.14 даны значения К, в зависимости от отношения сторон аИ для пластин с защемленным (1) и свободно спертым (11) контуром. ф 7.3. Энергетический метод исследования устойчивости пластин. Комбинированное нагружение пластин х у А1 Вс....с1х О д~ — с1х дх дс!! — !!у ду л,с,....о ду Модули этих векторов соответственно равны Для решения задачи устойчивости пластины, нагруженной в своей плоскости, можно воспользоваться энергетическим подходом. Задачу устойчивости пластины рассмотрим в той же постановке, как и в ~ 7.2: пластина находится в начальном плоском напряженном состоянии и требуется найти критическое значение нагрузки, при превышении которого начальное состояние перестает быть единственным и ~ Й! устойчивым. В соответствии с общей схемой у', дс!! энергетического метода исследова- ~' ' с!с'э ду ния устойчивости, намеченной в 5 1.б, зададим отклонение пластины от начального плоского состояния В , ь .д, перемещеними и = ы (х, у) и вы- .,1 ~ + ~ званное этим отклонением измене- В ние полной потенциальной энергии пластины ЛЗ подсчитываем с точкостью до величин второго порядка малости относительно величины и.
Рссс. 7.15 Поскольку внешние нагрузки, лежащие в плоскости пластины, на перемещениях и! работы це совершают, изменение полной потенциальной энергии пластины складывается только из энергии изгиба и изменения начальной энергии деформации пластины в своей плоскости. Энергия изгиба пластины определяется выражением (2.54), а изменение начальной энергии деформации в своей плоскости равно работе начальных сил Т„, Т„, Я, на удлинениях и углах сдвига второго порядка малости е„е,, уху, вызываемых перемещениями о. Формулы для удлинений второго порядка малости можно получить из общих зависимостей э 1.2, но для большей наглядности выведем эти формулы для данной конкретной задачи.
На рис. 7,15 изображено положение элемента срединной плоскости пластины до и после отклонения от начального состояния: точки Л, В, С, Р переходят в — > положение Л,, В,, С,, Р,. Проекции векторов А,В, и А,С, на оси координат равны По определению относительные удлинения в направлениях осей х и у равны 1+ — — 1 =-— Л,Сс — АС + йо 1 дк ~+ Здесь и далее многоточием заменены величины высших порядков малости.
Определим углы сдвига, вызываемые перемещениями ы. Прямой угол между отрезками АВ и АС при изгибе пластины искажается; значение угла между отрезками Л,В1 и А,С, равно гс/2 — 7„д, где у„„— угол сдвига. Скалярное произведение векторов можно подсчитать по формуле А, В, А, С, = А, В, А, С, сов (л/2 — у,„) =- =с(х1/ 1+ — ~~ с(у1/ 1+ — з1пук„=с1хс)у(7 „+...). дк / С другой стороны, скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений их проекций на оси координат: А,В, А,С,=с)х О+О с1у+ — с1х — с(у = — ~ — с(хс)у.
дк ду дк дд Сравнивая два последних выражения, находим величину ук„; ограничившись квадратичными членами разложения, окончательно запишем Теперь изменение полной потенциальной энергии пластины прн переходе к новому отклоненному состоянию можно записать в виде ЛЗ = //+ — 7'10 — + ~0 — —" + — 7 ~0 — с(хс(у, (7.29) где с/ — энергия изгиба пластины, определяемая выражением (2.54).
Из энергетического критерия устойчивости 6(ЛЗ) =О, (7.30) во-первых, можно получить основное линеаризованное уравнение (7.16) теории устойчивости пластин и те граничные условия, каким может быть подчинено его решение (см. Приложение 1), а, во-вторых, по этому критерию можно строить различные варианты приближенного решения задачи устойчивости пластины. Лля определенности будем считать, что все действующие па пластину внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру Е. Тогда критическое значение этого параметра можно найти из условия (7.30), воспользовавшись, например, методом Рэлея — Ритца (см. ~ 3.1). Для этого зададим функцию поперечного проп1ба в виде ряда )Г ге1 = ~' С; ~; (х, у), (7.31) 1 Учитывая структуру исходного выражения для величины ЛЗ, нетрудно установить, что эта зависимость является квадратичной формой от Лг параметров С;.
Поэтому условие стационарности о (ЛЗ) = О приводит к системе Ж однородных линейных уравнений с Ж неизвестными с,: =О (с=1, 2, ..., Л'). ос; (7.32) Тривиальное решение полученной системы уравнений С; = — О соответствует начальному состоянию равновесия пластины. Лля существования отличных от нуля решений этой системы, т. е. для существования новых состояний равновесия, отличных от начального, определитель системы (7.32) должен быть равен нулю. Из этого условия можно найти те значения Р„нагрузки, при которых возможны состояния равновесия пластины, отклоненные от начального. Наименьшее из таких значений приближенно равно критическому: Р„ ,„ = Рви.
Иногда вместо условия б (ЛЗ) =- О удобнее пользоваться иной формулировкой энергетического критерия устойчивости, вытекающей нз данного в ~ 1.6 определения критической нагрузки. Положив ЛЗ = — О, приходим к такой зависимости: — Тте — +25е — — -~-Тве — бхбу где Тто = 7"то (х у) 7'ао = 7'ав (х у) Зо = Зо (х, у) — распределение начальных сил в срединной плоскости пластины при Р = 1; величина У определяется выражением (2.54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
