Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 38
Текст из файла (страница 38)
порознь ~и определяемых соответственно форму- Рис. 7.18 лами (7.27) и (7.25) при К~ и К„зависящих от граничных условий и отношения сторон пластины; в случае растягивающих нормальных сил знак перед вторым слагаемым меняется на обратный. На рис. 7.18, б зависимость (7.37) изображена графически. Как видим, растяжение пластины приводит к увеличению значений критических касательных нагрузок, а сжатие — к уменьшению. Аналогичные результаты получены и табулированы для ряда других практически важных случаев расчета прямоугольных пластин на устойчивость при комбинированном нагружении 19!.
Говоря о границе области устойчивости пластины при комбинированном нагружепии, следует сделать два замечания. Во-первых, обратим внимание на форму этой границы (см. рис. 7.17, б и 7.18, б). Общие свойства границ областей устойчивости упругих систем были детально исследованы П. Ф. Папковичем. В частности, им была доказана важная теорема о выпуклости границы области устойчивости. Согласно теореме Папковича эта граница не может быть обращена выпуклостью к области устойчивости. Так, при действии на пластину двух независимых внешних нагрузок граница устойчивости может состоять только из отрезков прямых и криволинейных участков, направленных выпуклостью к области неустойчивости.
Этой теоремой поль- 3011 вуются для приближенного построения границы области устойчивости , по отдельным известным ее точкам: соединяя эти точки прямыми, можйо получить аппроксимацию истинной границы, причем ошибка толь.ко увеличивает запас устойчивости.
Во-вторых, необходимо подчеркнуть, что отмеченное выше стабпЛизирующее влияние растягивающих нагрузок на устой швость. пластины имеет место, лишь пока пластина работает в упругой области. Растягивающие нагрузки, вызывающие пластические деформации, могут снижать значения критических нагрузок.
$7А. Поведение стержней и пластин после потери устойчивости. Влияние начальных неправильностей С помощью линеаризованных уравнений и энергетического крпгерия определяют критические значения нагрузок и те формы, по которым происходит потеря устойчивости. Но ни линеаризовап ое уравнение, ни энергетический крнтерий не дают никакой информации о том, как будет вести себя система после потери устойчивости. Для описания з а к р и т и ч е с к о г о п о в ед е н и я системы задачу необходимо рассматривать в н е л и н е й н о й п о с т а н о в к е. Рассмотрим сначала закритическое деформирование прямого упругого стержня.
Возможны два качественно различных случая, В первом случае, когда после потери устойчивости один из торцов стержня свободно смещается в продольном направлении, закритическое деформирование сводится к изгибу н жесткость стержня на Ф' растяжение — сжатие практи- к~ чески не влияет на поведение ы стержня после потери устойчивости (рис. 7.19, а). Во втором случае, когда оба торца стержня закреплены относительно продольных смещений, закритическое деформирование связано не х только с изгибом, но и с растяРис.
7.19 жением стержня (рис. 7.19, б). Основное практическое значение имеет первый. случай, и на нем мы остановимся подробнее. После потери'устойчивости ось стержня можно считать нерастяжимой; тогда связанные с изгибом стержня продольные перемещения и~ =- и, (з) точек оси стержня легко выразить через угол наклона касательной к изогнутой оси ф ==- ф (з). Прп неподвижном левом торце и = — ~ (1 —.
соз 'ф) й, о (7.38) где з — координата, отсчитываемая вдоль изогнутой оси стержня. Изгибающий момент в тонком стержне определяется зависимостью М == — '= Е/ —; (7.39) 1$ где о — - радиус кривизны изогнутой оси стержня. Б изогнутом состоянии стержня полная потенциалы!ая энергия (7ЛО) 3 — 30 -л3, где 3, -- полная потенциальная энергия напального прямолинейного состояния равновесия; Л3 — изменение полной потенциальной энергии, вызванное изгибом стержнч. Б результате изгиба потенциал внешних сил (рис. 7.19, а) умечьшнтся на величину Льо где Х! =.
=-- — и, (1). Поскольку ась стержня при изгибе принята и1!раст51!к1пм зй1, то, учитывая зависимость (?.38), получим 3=-9 .!. !! — Е/ ! — '~1 — Р11 — сок !1~6~. 17,4!! ° !'!2 ~дю о Аналогично можно подсчитать величину 3 и для любого другого случая продольного нагружения стержня, например для стержня, нагруженного распределенной . нагрузкой, Из условия стационарности полной потенциальной энергии (63 = О) можно найти равновесные состояния изогнутого стержня и, исследуя знак второй вариации О23, установить, какие из равновесных состояний устойчивы.
Пока на значения перемещений и углов поворота пе наложено никаких ограничений, приведенные зависимости, описывающие изгиб стержней с перастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). Для ряда частных случаев нелинейное дифференциальное уравнение, к которому сводит. ся задача изгиба стержня при конечных перемещениях, допускает аналитическое решение, В общем случае это нег!иней!5!Ое уравнение можно с любой степенью точности решить численно.
Сейчас мы с помощью метода Рэлея — Ритца найдем приближенное аналитическое решение, позволяющее наглядно описать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня при коне !ных, но не слишком больших прогибах, Предположим, что задача устойчивости решены (точно или приближенно) и критическое значение нагрузки, з также форма, по которой происходит потеря устойчивости стержня, известны. С ростом про. гибов форма изогнутой оси стержня, естест! Онно, изменяется, но при построении прпб!л!!женного реп1ен1!5! мож1!О пр11пять, '!тО пр51 малых конечных прогибах это пзмепс1шс яснел!'.1:О, и пс!!ать р1шен;1е нелинейной задачи в первом прнближшгип в впдс Ф (з) = !Ф . (з), 208 где Л вЂ” коэффициент, зависящий 01' ве!!и'и!ны внешней нагрузки; !(1„.„(з) — функция пз ре1пеппя задачи устойчивости в липеиной п11- становке.
При малых прогибах, когда углы ф малы, в выражении (7.88) величину соз ф целесообразно разложить в ряд: н~(я)-= — — 'ф — — — 'ф + ... оз. 1 2! 4! (7.43) Тогда, используя зависимости (7.41),и (7,42) и ограничиваясь в разложении четвертой степенью ф, полу гаем 3=3о+ — Е-~ " — -~ — ~~,',— — фщ сЬ. (7.44) о Поскольку величина 30 не зависит от параметра Л, условие стационар ности (63 = О) сводится к уравнению о 0 о все слагаемые на интеграл ) ф„',Аз и обозначив 0 1" ( — '".')'" б ~~>2 Д~ ~ ф2 Поделив (7.46) получим уравнение Л (Г~ — Г (1 - Л'В)) = О. (7.47) Отсюда следует, что действительные значения Л возможны только при Е-: Р„р, поскольку В'.> О. Таким образом, пока Е Е„р, возможно только состояние равновесия стержня с неискривленной осью, а при Р) Р„р кроме этого состояния может быть состояние равновесия стержня с искривленной осыа.
Обозначив Р— Г„.„=- ЛЕ и считая ЛР .( Р„р, окончательно за= пишем (7.48 ) Из этого уравнения следует, что при любых значениях нагрузки возможно решение Л = О, т. е. возможно состояние равновесия стержня с неискривленной осью. Чтобы найти решения, отличные от Л = О, следует приравнять нулю выражение, стоящее в квадратных скобках; тогда получим Л= -+ У'(Г-- Г„,) (ВГ). Зная, как изменяется угол ф (з) наклона касательной, легко найти поперечные прогибы стержня на ранней закритической стадии деформирования.
При неподвижной левой опоре (рис. 7.19, а) И = ~ З1 П ~МЬ. о Ограничившись первым членом разложения з|п тр и учитывая зависимость (7.42), получим гл1 = А ~ ф„р й = Ате„, (з). о Другими словами, в полученном приближенном решении при конечных, но малых прогибах амплитуда поперечных перемещений тоже растет пропорционально параметру А, определяемому формулой (7А8). На рис.7.20, а схематично показано, как с ростом , нагрузки изменяются попе' речные прогибы стержня. Устайчсй Кроме зависимости амплитуды. поперечных перемеще- Ь ' ний от нагрузки можно построить зависимость сближения торцов стержня от пав — — грузки.
При неподвижном ле' вом торце (см. рис. 7.19, а) Рпс. 7.20 сближение Х торцов стержня равно продольному перемеЩению пРавого тоРца; оно с1олаДываетсЯ из УкоРочениЯ Хо стеРжнЯ под действием сжимающей нагрузки и дополнительного перемещения Х,, вызванного.' изгибом стержня: Х = Хо + Ц. Первое из этих слагаемых при известном распределении начальных усилий определяется элементарно, а перемещение, вызванное изгибом, в соответствии с зависимостями (7.43) и (7.48) равно (7.49) 2В гни ~ 2$Вя ~ Ггп ),) о о Этот результат схематично изображен на рис. 7.20, б, где по оси абсцисс отложено суммарное перемещение правого торца. Заметим, что при ЛЕ с" Рнр второе слагаемое г выражении (7,50) оказывается прснебрежимо малым. Другими словами, на ранней закритической стадии деформирования перемещение Х, линейно зависит от величины ЛР.
Как видно из рис. 7.20, малейшее превышение нагрузкой критического значения вызывает чрезвычайно быстрый рост поперечных и продольных перемещении первоначально прямого стержня. Возьмем, например, свободно опертый стержень (в этом случае ~Р„п = соз пь!1) тонкостенного трубчатого сечения с моментом инерции,1 — п1хаб, площадью поперечного сечения о=2п1сб и длиной ! = 1007~, где Я вЂ” радиус трубы; б — толщина степки. цля такого стержня 210 ,":.превышение критической силы всего на ! М вызовет (при упругой деформации "~стержня) поперечное перемещение вшах ж 9Л и продольное перемещение Х~, ,::примерно в сто раз превышающее критическое укорочение стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
