Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В данном случае, когда Фо —— — Р, это граничное условие при х — 1 принимает вид (ЕЛс")' + Ры' = О. Особого внимания при формулировке граничных условий заслуживают случаи, когда внешние нагрузки передаются на стержень с помощью промежуточных деталей, изменяющих при изгибе стержня воспринимаемое им силовое воздействие.
Так, например, на правый торец стержня длиной 1, изображенного на рис. 7.3, а, передается изгибающий момент, пропорциональный длине а жесткого рычага и углу поворота а = — Ы (1) касательной к оси стержня над правой опорой. Отсюда при х = 1 следует граничное условие: ЕЛг" — Раж' =- О. Остальные три граничных условия очевидны: сы (0) = 0; го" 10) = О; ю (1) == О.
А при изгибе консольного стержня, нагружаемого через жесткий шатун (рис. 7.3, б), на правый торец кроме продольной силы Г передается поперечная сила, пропорциональная углу наклона жесткого рычага ~р =- в,'а. При х = 1это приводит к граничному условию (Е/ы")' —, Ею' + Еы'а = О.
Три других граничных условия таковы: ы (0) -== 0; ы' (0) =- 0; ы" (1) = О. Если торцы стержня закреплены упруго — в действительности всякая реальная опора обладает той или иной степенью податливое- Ти, — то жесткость упругих опор входит в граничные условия. Например, на рис. 7.4 показан стержень длиной 1, левый торец которого упруго закреплен относительно поперечных перемещений, а правый — относительно угловых. Условияравновесия примыкающихкторцам элементов стержня и запрещение поперечных перемещений правого торца :при х = О приводят к граничным условиям: 1) Е3ю" = О; 2) Л'о.-и'— в (ЕЛи")' — Сов = О и при х =-- 1: 3) ЕУы" + См гс' =- О; 4) с = О. Здесь С~ и См — соответствующие жесткости упругих опор.
Уравнение (7.5) удается аналитически проинтегрировать только в некоторых случаях. Например, если стержень постоянной жесткости Е1 = сонэк сжат продольной :силой Р, то У, = — Р и это уравнение принимает вид и~~ + й'ы" = О, (7.6) .,где й' = РЦЕ3). Решение этого уравнения в = А, з1п Ах + А, соз йх + + А зх + А4, (7.7) Рп п~1п Ркр (7.8) Намеченную общую схему решения проиллюстрируем примером, Рассмотрим стержень, один торец которого упруго оперт, а другой заделан (рис. 7.5, а). Запишем четыре однородных граничных условия этой задачи: 1) ы (О) = О; 2) ы' (О) = О; 3) и" (1) = О; 4) ЕЛти"' (1) + + Рв' (1) — ~со (1) = О.
Подчиняя общее решение (7.7) этим граничным условиям, получаем систему четырех линейных однородных уравнений. Приравняв нулю определитель полученной системы, можно найти х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е, дающее значения Р„, Практически значительно удобнее не раскрывать для этого определитель высокого порядка, а последовательно исключая неизвестные из исходной системы, выразить постоянные А; через какую-нибудь одну из них, заведомо не равную нулю.
иг 4 6д 'где А; — произвольные по- Рис. 7.4 стоянные. Как отмечалось, для однопролетного стержня должны быть заданы четыре однородных граничных условия. Подставив в них общее решение (7.7), получим систему четырех однородных линейных уравнений относительно неизвестных А;. Для того чтобы система одно:родных линейных уравнений имела отличные от тождественного нуля ':решения, ее определитель должен быть равен нулю, Из этого условия можно найти те значения Р„, при которых существуют отличные от нуля решения, т. е.
те значения сжимающей силы, при которых у стержня возможны смежные с начальным новые состояния равновесия. Наименьшее из этих значений равно к р и т и ч е с к о й си л е а~ Запишем три уравнения, выте г кающие из трех первых граничных условий.' А2+А4=0; г — ИА,з1п И вЂ” УА, соя И =. О, откуда А~= — А „А,= — А~ с1н И, А, = ЙА, с1д И. Следовательно, ,! общее решение (7.7) в рассматрияве5 вг ~ наемом примере можно записать в виде ~а в га г; в = А, ( — с$д И з1п Ах+ + соз йх + йх с1д И вЂ” 1). (7.9) Подчинив эту функцию четвертому граничному условию и полагая А~ у'= О, получаем характеристическое уравнение, которому после несложных преобразований можно придать следующий вид: (ИЯ=И вЂ” 1 И (7.9') где ~ = ~Р/(ЕУ).
Найдя и-й корень (И)„этого уравнения, из выражения (7.6) получаем Р„= (И)Д ЕЛ~Я. Из условия (7.8) следует, что Р„р = Р„где Р, соответствует первому корню (И)1. Конкретные значейия (И), для различных значений ~нетрудно найти графически или численным подбором; в частности, при ~ = 0 и ~ = оо получаем соответственно (И)1 = я,/2 м 1,57 и (И), ж 4,49. Окончательное выражение для критической силы запи шем в таком виде: Р„р — — Сд'ЕУ/Р, (7.10) где С = (И)~/я'. Коэффициент С показывает, во сколько раз критическая сила для рассматриваемого стержня отличается от критической силы для шарнирно опертого стержня той же длиные.
На рис. 7.5, б показана зависимость коэффициента С от безразмерной жесткости ~ упругой опоры. Определив корень (И), характеристического уравнения (7.9'), из уравнения (7.9) можно с точностью до масштаба найти форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. Вместе с изменением безразмерной жесткости т1 изменяется (И), и форма потери устойчивости, причем при непрерывно изменяющемся значении~качественная смена форм потери устойчивости происходит скачкообразно: при )' ~ а' стержень теряет устойчивость по форме 1, а при ~ ~ гР— по форме 2 (рис. 7.5, б). Но при этом необходимо подчеркнуть, что линейное однородное уравнение (7.5) принципиально не может дать никакой информации об увеличении прогиба стержня при Р.=.
Р„р. Чтобы найти за- ~вз ".Висимость между нагрузкой и прогибами стержня после потери устой- чивости, необходима нелинейная постановка задачи, о которой будет ;.;сказано ниже. Аналогично может быть решена и любая другая задача устойчи':вости однопролетного равномерно сжатого стержня постоянной из'тибной жесткости. Окончательное выражение критической силы обыч>но записывают в одном из двух вариантош Ркр = СптЕИ' ил Р„р —— — 2Е,1'1'(РЮ)2, , Здесь р — коэффициент приведенной длины, показывающий, во сколь'.ко раз нужно изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы кри:"тическая сила для него равнялась критической силе для стержня дли- ,а=г С=14 Рис. 7.6 .
ной 1 при рассматриваемых граничных условиях. Зна |ения коэффицентов р и С для некоторых видов закрепления показаны на рис. 7.б. Аналитическое решение общего уравнения (7.5) удается получить не только при постоянных изгибной жесткости Е3 и осевой силе Уо, но и при некоторых конкретных законах их изменения по длине стержня. Однако в общем случае при призвольных законах изменения изгибной жесткости и начальной осевой силы аналитически проинтегрировать уравнение (7.5) не удается. Тогда для определения критических нагрузок и форм потери устойчивости прибегают к приближенным аналитическим или численным методам.
$ У.2. Устойчивость прямоугольных пластин Рассмотрим задачу устойчивости пластины, нагруженной в своей. плоскости распределенными по длине дуги контура силами д„, д, и распределенными по площади срединной плоскости силами О„, р,; поперечные нагрузки отсутствуют. На рис. 7.7 такая пластина представлена в прямоугольной системе координат, причем срединная плоскость пластины совпадает с координатной плоскостью хд. ф~- 'Е а) 2 Рис. 7.8 Чтобы вывести линеаризованное уравнение, описывающее изгибные состояния равновесия пластины, бесконечно близкие к начальному, воспользуемся приемом фиктивной по~гергчной нагрузки. Основную идею этого приема поясним на примере задачи устойчивости прямого стержня.
В ~ 1.5 было получено линейное уравнение (1.67) поперечного изгиба прямого стержня. Для элемента стержня, изображенного на рис. 7.8, а, оно имеет вид (ЕУв")" — д, = О, 190 Если пластина не имеет начальных неправильностей, а все внешние силы и реакции опор действуют строго в ее срединной плоскости, то всегда возможно равновесное состояние пластины с неискривленной срединной плоскостью. Такое состояние равновесия, которое в дальнейшем будем называть Х н ач ал ьн ым, описывается уравнениями плоской задачи теории упругости (см. Ь ру р.
х ~ 2,1), ~Ь При достаточно малой внешней нагрузке начальное У состояние равновесия пласти- ны будет единственным и ч устойчивым. С ростом внешней нагрузки у пластины, Рис 77 как и у прямого стержня, могут появляться новые состояния равновесия с искривленной срединной плоскостью, смежные с начальным состоянием, Наименьшее из тех значений нагрузки, при которых возможны изгибные состояния равновесия пластины, будет критическим, т.
е. при его превышении начальное состояние равновесия перестанет быть устойчивым и пластина перейдет в новое состояние равновесия с искривленной соединной плоскостью. где д.— поперечная погонная нагрузка, Физический смысл этого уравнения — условие равновесия недефораираванного элемента стержня в проекции на ось г. В задаче устойчивости прямого стержня поперечная нагрузка отсутствует, но однородное линеаризованное уравнение (7,5), где Ф,— начальная осевая сила, тоже результат проекции па ось г всех снл, действующих на элемент стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
