Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Расчет балок по предельным нагрузкам при поперечном изгибе несложен, потому что условие возникновения течения в балке (условие образования пластического шарнира) определяется значением одного единственного внутреннего силового фактора — изгибающего момента. Так же просто подсчитать предельные нагрузки и в стержневых системах, отдельные стержни которых работают только на растяжение или сжатие. Для пластин и особенно для оболочек вся техника вычисления предельных нагрузок существенно усложняется, поскольку условие течения в них определяется комбинацией значений нескольких внутренних силовых факторов. Но сам подход к определению предельных нагрузок и сущность статического и кинематического методов остаются теми же.
Рассмотрим, например, условия течения для цилиндрической оболочки из жесткопластического материала при осесимметричном деформировании. Основные внутренние силовые факторы для рассматриваемого случая — это окруженные и меридиональные силы Т, и Т~ и меридиональные изгибающие моменты М . Если в сечении оболочки действуют только меридиопальные силы Т„то условием текучести будет равенство А з, гпах (//г,~, /п,~, ~/гг, — /г~~) =- 1.
(6.108) Другими словами, нужно, чтобы либо одна из сил, либо абсолютное значение их разности равнялись бы предельному значению Т,. Сечение поверхности текучести плоскостью и, = 0 можно построить, учитывая следующее.' если в сечении оболочки окружная сила равна нулю, то 'напряженное состояние в этом сечении одноосно и условием текучести тогда будет равенство ~ о,~ = о,. Пример такого распределения напряжений, когда наружные волокна сжаты, показан на рис. 6.13, а, В этом случае +Л/2 +й!2 7', = ~ агс1г =7,,(2$ — 1); М„= ) о ай =4М (1 — ~)$, — й(2 — й/2 или и,:-- '2~ — 1; пг,==-4$ (1 — $).
(6. 109) Исключив из соотношений (6.109) параметр $, можно найти связь между и, и тг, соответствующую условию текучести: тг = 1 — и1* (6.110) Если рассмотреть случай растянутых наружных волокон, то совершенно аналогично можно получить — т= 1 — п1. 178 Величины п„п,, т, в предельном анализе конструкций носят название обобщенных безразмерных сил. Теперь задачу определения условий текучести можно сформулировать так: для заданного закона текучести (например, условия Треска или Мизеса 114/) выразить условие текучести оболочки через обобщенные силы п„п2, т,.
Можно доказать, что в трехмерном пространстве п„п„пг, условию текучести будет соответствовать невогнутая поверхность — так назы- ваемая поверхность текучем 1 сти. Поскольку полное поз/ м, Й /,, строение поверхности текуче- сти связано с довольно дли- У '-. тельными и громоздкими рас- четами, то сейчас мы ограни- — чимся построением - только 8 =.~ трех сечений этой поверхности координатными плоскостями и, = О, и, = 0; пг = 0 8 -l для условия текучести Треска Рггс.
6.13 и/ах (! ог ~, ~ а, [, /о, — о2/) = о,. Сечение поверхности текучести плоскостью тг — — 0 очевидно: если изгибающий момент равен нулю, то и окружные, и меридиональпые напряжения постоянны по толщине оболочки и условия текучести бу- дут Полный вид сечения поверхности текучести плоскостью а. =- 0 показан на рис. 6.13, б; в приближенных решениях нелинейную зависимость между а, и т~ часто заменяют отрезками прямых, показанных пунктиром.
Построение сечения поверхности текучести плоскостью и, = 0 (рис. 6.14, а) начнем с первого квадранта, где п~ и т~ положительны, М1 а) 1. Рис. Б.14 Если т, = 1, то согласно условию текучести Треска в оболочке могут существовать растягивающие окружные напряжения, равные о„причем 0 (,$ ~ 112, как показано на рис. 6.14, б; тогда т,=1; и2 — — $. (6.111) Условию (6.111) соответствует отрезок А,В, на рпс. 6.14, г. Если принять ! ) $ ~~ 1(2, то это приведет к уменьшению осевого момента (рис. 6.24, в).
В этом случае т~=4$(1 — ~); из= ~. (6.112) Исключая из соотношений (6.112) параметр $, можно найти зависи мость Ш1 — — 4П2 (1 — П2). (6.113) Рассуждая аналогично, можно получить для других квадрантов кривую, показанную сплошной линией на рис. 6.14, г. В приближенных решениях зависимость между и, и 11г, часто упрощенно заменяют квадратом или шестиугольником, как показано на рис. 6.14, г пунктиром и штрихпунктиром.
На примере рассмотренного выше случая, когда п~ — — О (см. рис. 6.13), выясним, как деформируется сечение оболочки, находящееся в состоянии текучести. Будем считать, что гипотеза прямых нормалей (см. ~ 2.4) справедлива и для пластической области деформации оболочки, поскольку, эта гипотеза носит чисто геометрический характер. Тогда очевидно, что отрезок АВ должен поворачиваться относительно точки С, как это показано пунктиром на рис. 6.13, а. При этом абсолютные значения относительного меридионального удлинения е и изменения кривизны в меридиональном направлении х, остаются неопределенными.
Однако для каждого конкретного распределения напряжений между ними существует определенная зависимость. Действительно, из простых. геометрических соотношений (см. рис. 6.13, а) можно найти, что при и,( 1а, = Ь Я вЂ” 1!2) к„а внутренние силы связаны с параметром $ выражениями (6.109). При и, =, 1 или согласно первому из соотношений (6.109) при 5 ~ 1 зависимость между з, и х, однозначна, при и = 1 эта зависимость перестает быть однозначной, т. е. геометрически это означает, что при и, = 1 сечение может деформироваться (поворачиваться) таким образом, что центр вращения отрезка АВ лежит вне сечения на расстоянии Щ от точки В, причем значение $ в этом случае может быть любым в интервале 1 ( 3 ( оо (условию $ = оо соответствует растяжение сечения без изменения кри.- визны), Аналогичные рассуждения о деформировании сечений оболочки, находящихся в состоянии текучести, справедливы и для других случаев сочетаний внутренних силовых факторов, но в общем случае картина деформирования усложняется двухоспостью напряженного состояния.
,! Как можно видеть, условию текучести могут соответствовать различные комбинации значений внутренних силовых факторов. В соответствии с этим в предельном анализе конструкций говорят о различных пластических режимах работы оболочки. В общем случае, если оболочка находится в предельном состоянии, на разных ее участках могут реализовываться разные пластические режимы, и одной из основных трудностей решения задач по определению несущей способности оболочек является правильный выбор этих режимов. Общих правил 1по выбору'~пластических режимов не существует: в каждой конкретной'задаче приходится просто «перебираты разные варианты комбинаций пластических режимов, проверяя при этом выполнение геометрических условий деформирования оболочки.
В качестве простейшего примера выберем пластический режим и найдем предельное значение внутреннего давления р для шарнирно опертой по краям цилиндрической оболочки радиусом Л и длиной 1 (рис. 6,15, а). Сначала решим задачу статическим методом. Поскольку меридиональная сила в, рассматриваемой задаче отсутствует, то для выбора пластического режима следует воспользоваться кривой текучести, построенной при и, = 0 (см. рис. 6.14, г). При осесимметричной деформации уравнение равновесия цилиндрической оболочки имеет вид 4~А Т~ Р (6,114) Рас.
Б.1Б ! пластический режим будем выбирать для этого квадрата. Поскольку в окружном направлении оболочка растянута, то естественно выбрать пластический режим, соответствующий стороне квадрата 0,0„т. е. такой, при котором а, = 1, а значение величины т, может меняться от +1 до — 1. При выбранном пластическом режиме уравнение (6.114) примет вид гД2у 1 т, =Р— — ' (6.116) ~,а у~ Интегрируя это уравнение, находим М =(р — — '1 ~ +С к+С.
Используя граничные условия (6.115), получаем М,=р — — ' х —, Максимальное значение М,„„момента будет при х = 1!2, и, следо- вательно, т, Б Р '+ М1 тат. ст Поскольку ~ М, „~ не может быть больше М„то окончательно для мак- симального значения р„получаем р = — + — М. тт ст с т (6.117) Граничные условия рассматриваемой задачи: м, (о) = м, (1) = о.
(6. 115) При значении давления, равном предельному р„, величины М, и Т, связаны между собой кривой текучести, изображенной на . рис. 6.14, г сплошной линией. Таким образом, чтобы найти предельное ' давление, нужно проинтегрировать уравнение (6.114) при граничных условиях (6.115) и при дополнительной связи между величинами М, " и 7, из условия текучести. Можно упростить решение, заменив точную кривую текучести квадратом 0,0,0,0~, изображенным на рис. 6.14, г; Теперь определим предельное значение давления кинематическим методом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
