Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому можно считать, что ,1а Ма=~)х1 = — — ~Мя=ф)ха=ф~'~1. Каа с16а ' (6.9) Если нагрузки ре и р меняются вдоль меридиана достаточно плавно, частное решение уравнений можно, как уже указывалось, найти по формулам безмоментной теории оболочек. Рассмотрим однородные уравнения, когда ре = р„ = О. Моментное напряженное состояние при осесимметричной деформации теряет смысл, так как из решения уравнений е, = е, = О получаются перемещения и и ы, соответствующие лишь движению оболочки как твердого тела вдоль оси симметрии.
Для приближенного определения .смешанного напряженного состояния, которое соответствует краевому эффекту, рассмотрим упрощения исходных уравнений, следующие из условия быстрой изменяемости напряженного состояния вдоль меридиана. Будем считать,-что для всех искомых спл и перемещений выполняется условие Из соотношения (6.5) с той же точностью следует Я - — —. р ~вщ (6.10) Р~з <~6з Уравнения равновесия (6.6) и (6.7) сразу упростить нельзя, так как неизвестен относительный порядок величин Т, и Т~. Исключим из этих двух уравнений величину Т,. Умножим уравнение (6.7) на с1д 0 и сложим его с уравнением (6.6).
Так как по условию ра = р„= = О, получим — — '+Т,— +Т1 . + ат, стаЕ с~да с~а0 ц, 0, с1ааВ ' +а, — =О. дО Рр г ав Р~ Умножив последнее уравнение на гз1п О, получим — (гТ, з1п 6+ гЯ, соз В) = О. д дя Константа, полученная при интегрировании, соответствует продоль- ной силе, Отнесем ее к безмоментному напряженному состоянию и при исследовании краевого эффекта примем равной нулю: (6.11) Тт = — О~ с1я 6 64 в — -~4~'и~=О, ~О' (6.13) Уравнение (6.7) для краевого эффекта примет вид —,— ~+ — '=О. (6.12) й; 004 Сравним порядки величин меридионального и окружного усилий в краевой зоне.
Из соотношения (6.12) следует Тя — —  — ' Я4 д64 Из уравнения (6.10) и (6.11) получим Т, — — 0 — — с1дО. 1 д~и Д, 'айвз При принятых предположениях порядок силы Т, выше порядка силы Т~, т. е. (Т~) ) (Т~). Следовательно, из соотношений (6.4) и (6.8) получим Т,=Ей —, Подставив эту зависимость в выражение (6.12), получим ,14 щ ЯДЯ4 — + — 'и=О. Щ4 ВЯ~~ Обозначим ЕЬК~~!(Е)К~~) = 12 (1 — р,') В~~ЦРК~) = 4й'.
Тогда можно написать Для сферической оболочки Я, = К, =- Я и коэффициент й— = ~/'3 (1 — р') ф'Я/й является постоянным большим числом (при К/Ь ) 100; й ) 10). При постоянном коэффициенте й общий интеграл уравнения (6.13) можно представить в виде ю = е-~а(А соя ЙО+ В яп ЙО) +е~а (С соз ЙО+О з1п АО), (6.14) где А, В, С и П вЂ” произвольные константы. Выражение (6,14) обладает тем свойством, что при каждом дифференцировании оно возрастает в Й раз: ( — ) = Й (ю); ~ —,) = Й'(ю~ и т.
д. Следовательно, это решение удовлетворяет условию малости функции по сравнению с производной. Рассмотрим теперь затухающую часть выражения (6.14): со =- е-"а (А соз И + В Мп АО). (6. 15) Величины соз ЙО и Ып ЙО являются периодическими функциями угловой координаты Π— по значению онн не больше единицы. При увеличении угла О на период перемещения ы уменьшается в е~" раз, т. е.
становится пренебрежимо малой величиной. Длина отрезка меридиана, соответствующая этому периоду, равна Ла = — Я =, )/Кй '/ з (~ — в ) (при Я/Й = 400, например, ЛзЯ = 0,122). Отсюда можно сделать вывод, что длина Ьз мала. Коэффициентов уравнении (6.13) можно считать постоянным. Рассмотрим последовательность расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения по моментной теории с разделением напряженного состояния на безмоментное и краевой эффект. Сначала по безмоментной теории определяют силы Т„Т, и перемещения и, в по заданным внешним нагрузкам и граничным условиям для величины Т, или и.
(В выражение для перемещений может входить константа интегрирования, соответствующая перемещению оболочки как твердого тела.) Затем, решая однородные уравнения краевого эффекта для каждого торца, находят общие выражения для величин а„б,, М~ и Я, через соответствующис константы интегрирования (по две константы на каждом торце).
Наконец, составляют граничные условия для каждого торца оболочки. Если заданы силовые граничные условия, т. е. величины М~ и Я„то сразу определяют константы интегрирования уравнений краевого эффекта. Если заданы геометрические условия, т. е. величины в, и д„то по значениям перемещений и и ю безмоментного решения определяют величины а.„и дц, (перемещение оболочки как твердого тела в них не войдет) и составляют суммарные выражения для з~ и д, от безмоментного решения и краевого эффекта.
Константы ин- тегрирования, входящие в эти выражения, определяют из заданных геометрических граничных условий. ф 6.2. Расчет пологой сферической оболочки Для пологих оболочек вращения решения, соответствующие краевому эффекту, не справедливы, но и здесь можно применить некоторые упрощения и построить приближенную схему расчета. Рассмотрим пологую сферическую оболочку, нагруженную равномерным внутренним давлением р (рис. 6.1). Будем считать углы 0 малыми и соз 0 = 1, яп 0 = 1д 0 = О, ~Ь = ЯйО = бг, с1д О = соз О/з1п О = Яlг. В качестве независимой переменной примем радиус г.
Для пологой оболочки можно считать, что угол О, поворота касательной к меридиану не зависит от тангенциального перемещения и, тогда согласно уравнению (6.1) д~~ Й~ д,= — = —. Дз Дг (6.16) Рис. 6Л Соответственно из уравнений (6.2), (6.3) следует Уя . ! йщ х = — ' х з ог~ г й (6.19) Эти формулы совпадают с аналогичными формулами в теории осесимметричного изгиба круглых пластин (см.
~2.4). Согласно соотношению (6.5) перерезывающее усилие дМ, 1 Я, =: — '+ — (М,— М,). ог (6.1г) (6.18) Подставляя сюда выражения для моментов М, и М, из формул (6.18) и (6.19), получаем г,1з~ 1 Уцр 1 ~1ц> ~ (6.20) дгз г дг~ г~ йг / Составив проекции всех сил, действующих на часть оболочки, ог- раниченную радиусом г, на направление вертикальной оси симметрии, получим рлЯ' = — 2лг (7~ з1п 0 + Я1 соз О), .— (Т,+Т,) + — + — =р. 1 ЙЬ 0г С учетом (6.21) получим Т,= — — Я— Рй Ю 2 с1г (6.221 -Деформации е1 и е1 согласно уравнениям (6.1) равны йи и~ и и в1= — + —, е,= — + —, с1к Е г Имея в виду выражение (6.4), можно записать йи я 1 — + — = — (Т,— мт,). й' Я ЕЬ (6.23) — + — - — (Т вЂ” рТ ) а в..
1 г Я Еа Исключая из этих соотношений перемещение и и подставляя силы Т, и Т, из уравнений (6.21) и (6.22), получаем а~ =: рй' — — — — (Я1) + С„. 1 — 1, 1 1~2 1 2Е6 ЕЬ г й (6.24) Здесь константа С, соответствует перемещению оболочки как твердого тела, Перемещение вдоль касательной к меридиану и = (1 + р) х Х ЯЦ(ЕЦ~ — С,г!К. Согласно формуле (6.20) г йг ~ йг' ~ йг' ~1 дг1 г' йг 1 Для упрощения записи введем дифференциальный оператор Это — оператор Лапласа в полярных координатах для осесимметричных задач. Теперь формула (6,20) примет вид Я =0 — Д,ю, йг (6.261 а формула (6.25) — вид 1 — 'И1Г)=ВД„Д, . аг (6.27) 151 Отсюда Т1 =- рВ2 — Я1Вт. (6.21) Уравнение равновесия (6,7) в проекции на нормаль будет иметь вид Выражение Ь„Л, есть бигармонический оператор.
Его развернутое выражение соответствует многочлену в скобках правой части уравнения (6.25). Дифференциальное уравнение (6.24) теперь можно представить так: д,Л, + = — рг'+С 1~аД 1 — И ЕЛ 2ЕЬ (6.28) Приведем уравнение к безразмерному виду. Для этого введем параметр $ = гЛ, где 1 — некоторая размерная величина. Уравнение (6.28) теперь можно записать в более дг "'" простом виде: — — 44 1 — И о о 4з ЧУ АЛга+ ти =- — РЯ'+ Со, (6.29) 2ЕЛ ф дг 1 д г с1 г о где Л = — — ~$ — == б х Е 6$ ~ 1$ хю~ г г~о 6' 1 а -г . -~-. -4~ о + ~Р Т $ -о ц — ~ Частное решение уравнения -Ю -4о ч ' (6.29) при постоянном давлении -Ух таково: ю" =.
— ~ РР+ Со. (6.30) 2Ея Рис. 6.2 Для этого частного решения получим М1 = Ма = 0; Д~ —— — 0; Тто = Тао = РЛФ по = Сог!Ро. (6.31) Но формулы (6.30) и (6.31) соответствуют решению задачи по безмо-. ментной теории. Следовательно, и в теории пологой сферической оболочки напряженное состояние разделяют на безмоментное и смешанное. Только в этом случае смешанное напряженное состояние уже нельзя определять по теории краевого эффекта — его определяют решением однородного уравнения ЛЛи+ 1а = О. (6.32) Общее решение этого уравнения выражается через четыре табулированные функции ~р,($), ф,($), ф, Д), Ф,($): и/ — СДд + Со'ч'о + Сзт'о+ СоФ4 (6.33) Эти функции удовлетворяют системе уравнений М~ то1 Ма 1ь Мз $4 Ма Фо' На рис.
6.2 представлены графики функций ф, ... ф. Перерезывающая сила выражается через производные этих функций: В полюсе Д = 0) функция Ф4-»- — оо, а ее производная ф4-». оо, Из условия ограниченности перемещения в полюсе (~ = 0) получим С = О, а из условия ограниченности перерезывающего усилия 752 получим С, = О. Константа Са уь О только если сферическая оболоька нагружена сосредоточенной силой в вершине. Итак, вид общего решения полного уравнения (6.29) в рассматриваемом случае будет = — ' — и р~ +с,+с,~,+с,~,; 2Ей перерезывающая сила Ей1 / 4ф, й~, '1 ~с,— — с,— ~, й* ~ 151~) тангенциальное перемещение и = (1+ р) — ~~с, — — С, — ~~ — С вЂ”; ~1а ~Ф1 ~ г И ~ ' д$ ' д$ меридиональная сила рД Ей 1 1 дф, (Ь~,~ Т,= — — — — 'С,— 2-С, — '' 2 Р $ ~ Й~ Й5 ) сумма Ей Т, + Т, = рР + — (С, ~~~, + С, ф,); перемещение вдоль радиуса г 1 — и и„= и соз О + в з1п О = и + и — = — Р' рйу ~- Д 2Ей + 1 ~с Ьр +С Ир.+(1+р)с, ~~' — (~+р)с, ~~' 1; дв удлинение параллели е,= — '= рР+ — (С~$,+С,'Ф2)+ С1 — — С, —; и, 1 — и 1 1+И l <1ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
