Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 28
Текст из файла (страница 28)
~11 ~ г 2Ей Л~ ~ 1~ 1~)' угол поворота касательной к меридиану 1 1' дф,, дф,'1 д,= — С, — +С, — ~. д5 . Я )' погонный изгибающий момент в меридиональной плоскости Р Г 1 — р, ( уф, Йф~~ и,- — ~с,~,— с,~,— — ~с,— +с,— ) . я)* Составляющая сил Т, и Я, в направлении оси симметрии оболочки тогда равна Т, з1п О + Я, соз О =- Т,г~й + Щ = рг!2, т. е. полностью определяется безмоментным решением. Смешанное напряженное состояние, соответствующее решению уравнения (Б.ЗЗ), определяет значение погонного момента и, и силы Я„в плоскости параллели Я„= Я,йlг.
Для смешанного напряженного состояния величина 1~„есть проекция погонных сил Т, и 1',з на плоскость параллели. Действительно, при р = О получаем Т, = — Щ, с1д 0 и Я„= Я, Х х з1п 0 — Т, соз 0 = Я,lз1п 0 = (~,Р/г, или через функции ф, и ~р,: Таким образом, схема расчета рассматриваемой пологой оболочки остаетея в принципе такай же, как и для непологой, только уравнение (0.13) краевого эффекта заменяется уравнением (0.32) смешанного напряженного состояния. В обоих случаях тангенциальное перемещение и, соответетвующее решениям однородных уравнений, т. е. смешанному напряженному состоянию, значительно меньше нормального перемещения в.
В формулу для и входит множитель ~ 4 — =УЫИЛ( У 1211 — р') ~1. Чтобы найти константы С, и С„надо задать два граничных условия. Вид этих граничных условий. определяется способом закрепления или нагружения оболочки на торцовой параллели $ = $,. На этой параллели можно задать силу Я„или удлинение а„момент М, или угол поворота О,. В любом случае при составлении граничных условий для пологой или непологой оболочки надо помнить, что погонная меридиональная сила Т, соответствует силе Т,„ только безмоментного напряженного состояния, а погонная сила Я, и момент М1 соответствуют лишь смешанному напряженному состоянию.
Направления сил Т„и Я, не ортогопальны. Расчетная для оболочки сила на торце складывается из безмоментной силы Т„и проекции силы 9, на касательную к меридиану. Величины Я„и М, на торце оболочки служат для опреде'ления констант интегрирования однородных уравнений смешанного напряженного состояния, когда заданы силовые граничные условия. $6.3. Деформация ципиндрических оболочек Для цилиндрических оболочек общая система уравнений, представленная в ~ 5.4, упрощается. Пусть Я вЂ” радиус средней поверхности оболочки, х, ~р —.координаты точек этой поверхности в цилиндрической системе координат. Для круговой цилиндрической поверхности 1Р,=О; 1Я,=1/Я; соз0=0, Рс10=дх.
Деформация элемента средней поверхности ди 1 / ди ~ дсс до е,= —; с,= — ( — +ы); у= 1- —; (б.34) дк Я ~ д~р ) Яд<р дк углы поворота -нормали дв 1 / дв 0а= 1Р ~др дг, т+ — 'а'ж д рис. 6А Рис. б:3 В этих формулах и — перемещение точек средней поверхности в направлении возрастания координаты х; и — перемещение в направлении возрастания угла 1р; и — перемещение в направлении внешней нормали (рис. 6,3).
Согласно формулам (5,55) ... (5.57) параметры х„х„х „изменения кривизн средней поверхности можно представить следующим образом: (6.35) 1 дд1 дд2 1 д2ги 1 ди 12 + 2 1, Кд(р дх Я дхд(р 2Я дх Уравнение равновесия -элемента цилиндрической оболочки в соответствии с формулами (5,65) ... (5.69) можно представить в таком виде: Р == — + —; дМ1 дМ,2 дх Яд<р (6.36) ~2 + дМ2 дМ,2 Яда дх (6,37) дТ, дЯ' + +р„=0; дх йд~р (6.38) дТ, д5 + -~-р О, Яд(р дх й (6.39) — + — '+ — =-Р Т дед дЯ2 Я дх Рддр (6.40) ЕЬ ЕЬ Т, = — (е, + ре2); Т (е, + ре1); 5 Ойдо; (6,41) 112 1 112 где р„, р,р и р„— составляющие внешних поверхностных нагрузок в направлении перемещений и, о и и (рис, 6.3) Т,, Т, и Я вЂ” погонные тангенциальные силы (рис.
6.4): М1=0 (х, + рх ); М,=В (х, + рх,); М,=П (1 — р) х,. (6.42) Частное решение системы уравнений (6.34) ... (6.42) соответствует безмоментной теории. Силы и перемещения в этом случае могут быть дО~ определены последовательным ц+ — 'пХ интегрированием уравнений д равновесия и геометрических — ' аа; соотношений.
При произвольных поверхностных нагрузках дх р,-,, рр, р,„уравнения равновесия элемента безмоментной оболочки, отнесенные к коор8Ир ( дннатам х и ~р, будут иметь +3у т вид дТ1 д5 дх Яд(р Р~ „— '+ = р„; (6.43) д0~ дТ дЯ ()~ и + =- Р' 2 и~ Рд~р дх Рис. 6.5 ~2 РЛ (6.44) (6.45) Из уравнений (6.44) и (6.45) получаем дЯ др„ — = — Р—— дх д~р Следовательно, сдвигающая сила равна где Ф, (~р) — произвольная функция интегрирования.
Подставляя найденное значение силы сдвига в уравнение (6.43), получаем х 0 Интегрируя, найдем силу, действующую вдоль образующей: х Т1 Ф2 0р) х дФ1 М) 1 Яд~р Я,) Ь р„— — "+ — р" дх о где Ф, (~р) — вторая произвольная функция интегрирования. 156 9„92 — погонные перерезывающие силы; ̄̄̄— погонные моменты (рис. 6.5): Обозначим где 5*, Т1 — частные решения уравнений (6.43) ...
(6.45). Это известные функции, определяемые внешними поверхностными нагрузками. При этих обозначениях ~ = Ф Ь) + ~"' Т, = Ф, (ср) — х + Т1. д~11 (ф) Яс1ф Перемещения и, о и ы определяют с помощью следующих уравнений: до ' 1 до ди 5 — = — (Т,— ) Т,); — = — — + дк ЕН ' дх йдф бй Интегрируя первые два уравнения„ получаем и=Фа(ф)+ 1 ЕЬ где Ф, (гр) и Ф4 (ф) — новые произвольные функции интегрирования. Ей [ Х х Ч1 — — — 1 Р„йх — ~ — Йх, ) дф о 1в = — — + — (Т вЂ” рТ ). до дф еь к хФ, (<р) — — х' , дф,(ф) Г „.
+~ Т~с1х 2 Ядф — р — р„дх, Я ЕЬ, 'о о = Ф,(~р) — х да (ф) Яоф х х хо дФ~(ф) хэ ооФ~(ф) (' (' дТ~ 2 Ядф Я~2 дф' ,),) Рдф а о х хФ, (ср) + Л* дх о Обозначим х х и = — "Т»с)х — »» — ~ р Йх; г . й Г Ей,) ЕЬ,) о о х х Ж о о о Используя эти обозначения, выражения для перемещений и и и мо.кно записать так: и = Фа (ф) + — 1 хФа (ср) — — ' ~ + и*; 1 Г ха с(Ф» (ср) 1 Ей ~ 2 Иф .! ха сРФ» (ср) дФа (»Р) 1 ( ха дФа (ф) Яйр 'Ей ~ 2 Ф1ф + — хФ, (ср) + э'.
»сй бра йр'-' Функции и* и и* имеют смысл частных решений. Нормальное перемещение с(Ф» (ср) сРФа (ср) 1 ха сРФ (ср) ха сР Ф, (ср) +х )~с(ф Ей 2 ~Уфа а~ с) а с(ос' 1' дФ» (ср) 1» дФ, (ср) — — — — х + — х йр ссй дср Ей дср — Р— Ф (ср)+ — — )» р„У т*,р Ей Ей Ей И8 Таким образом, решение уравнений безмомептпой теории содержит четыре произвольных функции интегрирования. Они должны определяться из четырех граничных условий на торцах оболочки. Расчет по безмоментной теории цилиндрических оболочек чрезвычайно прост и достаточно надежен, если внешние нагрузки изменяются по координатам х и ф не слишком резко.
К таким нагрузкам относятся, как правило, гидростатические и аэродинамические нагрузки. Найти в аналитической форме решение уравнений (6.34) ... (6.42) моментной цилиндрической оболочки для различных граничных условий при произвольных нагрузках затруднительно. Относительно простой результат в двойных тригонометрических рядах можно получить для практически важного случая, когда оболочка свободно шарнирно опирается на торцах. Под свободным шарнирным опиранием понимаются следующие граничные условия: а~ =-- =и=О; Т,=О; М»=0. Представим уравнения в перемещениях. Для этого подставим перерезывающие силы Д, и 9, из уравнений (6,36) и (6.37) в формулы (6.39), (6.40).
Далее выразим их через деформации и изменения кривизн с помощью зависимостей (6.41), (6.42). Окончательные уравнения в перемещениях получаются с использованием выражений (6.34) и (6.35): д'и + 1 — !х д'и 1 1+!з дзи ~ 1з дв 1 — !" (6 46) дхз 2 Язд~рз 2 дед(р Я дх ЕМ 1 + !з дзи , 1 — р, дзи дзи дзи 2Я д~рдх 2 дхз Яз дф Язд~р Ьз ( ! — ! дзи ! д.= дзх, дз+ ( — — + 12йз 1, 2 дхз Рз дзрз дхз д~р Яз д<рз / рз = — Рз ЕЬ !з ди ди, ы Бз / дзи ! дзи дх Яз ду Яз 12Яз 1, дхз д~р йз д~рз дзй дзй ! дзУ 1 1 Рз дхз дхз доз Яз доз / Е/з Слагаемые в скобках в последних двух уравнениях соответствуют моментным членам.
Перед ними стоит сомножитель пз/(12йз), являю- щийся малым параметром. Казалось бы, при рассмотрении тонких оболочек можно не учитывать этих членов в скобках. Отметим, однако, что производные от перемещений и и ю здесь имеют высокий порядок. Как уже отмечалось ранее, в некоторых задачах теории ооолочек перемещения гораздо меныпе по значению, чем их производные. Имен- но поэтому малый параметр /зз/(12йз), умноженный на производные высокого порядка, дает величины, соизмеримые с теми, которые соот- ветствуют безмоментной теории, Это подтверждается., в частности, для осесимметричного случая, Общий вид уравнений при этом упрощается: сР и и с1ти 1 — !зз + — — = — Р—; дхз Я дх Е/з зз~ 1з ди зз дззз + + — — — Р дх4 а (6.48) Исключая касательное перемещение и учитывая, что постоянная интегрирования первого уравнения С = (р„.х + Т) (1 — 1зз)/(Ей), получаем д'и 12(1 — вз) 12(! — 1з') рт, 12(1 — !з 1 (6 49) йхз 1~з Ьз Е!зз И ЕЬз Это известное уравнение осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки.
Оно соответствует рассмотренному ранее уравнению крае-, вого эффекта моментной оболочки вращения, и общие интегралы их одинаковы. Получим решение уравнений (6.46) ... (6.48) в двойных тригонометрических рядах. Положим, что оболочка нагружена нормальным к поверхности распределенным усилием р„= Р, симметричным отно- сительно плоскости ф = О. Разложим величину р в двойной ряд Фу- рье: тах р= ~~Г ~~' р,„„з1п — соза!р, т=!п=о где 1 — длина оболочки.
Коэффициенты ряда в силу ортогональности тригонометрических функций определяются формулами: для осесимметричного случая (а = О) при произвольном т р, = — ~ ! р(х, ф) з1п — Йх!1ф; ж !г тлх 'о о при а = 1, 2, ... и произвольном т ! и 41 ГР тах Р„п = — 1 ) Р (х, ф) з!и — соз аф дх й~. Решение уравнений (6.46) ... (6.48) будем искать в форме ~п ЯВ СО ФО ~1 Ч1 тах и= ~~~ '~ Л „соз созаф; о= '~ у В „з!и — з1паф; 1 Л,2 т=! л=! ОО Ю и!= ~ )~ С „з!и — "" созаф. Еа~ ма! т=!п 0 Каждый из членов этого ряда удовлетворяет граничным условиям на торцах оболочки (х =. О, х = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
