Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 24
Текст из файла (страница 24)
- (5.12) 1 дц и Ы г дср г . Формулой (5.12) выражается деформация срединной поверхности в направлении параллели. Сложнее вычислить деформацию сдвига, т. е. изменение первоначального прямого угла-ВАА„элемента АА,В1В. Перемещение ы при принятом предположении о его малости не влияет на значение деформации сдвига. Поэтому вместо элемента поверхности АА,В,В можно рассмотреть сго проекцию на плоскость, проходящую через точки А, А„В1 и В.
Вычислим уменьшение угла ВАА, отде льно от перемещения и и от перемещения о. Перемещения точек А и В вдоль касательных к меридианам будут соответственно и и и + (ди/йр) йр (рис, 5.5) Уменьшение угла ВАА, от перемещения и равно 0~ уг — — и+ — с1 ~р — и / с 1 ди р+, а'р ( 1ч) = г д~р Перемещения точек А иф вдоль касательных к параллелям будут о и о + (до)д0) ЙО. Но разl ность этих перемещений уже не будет полностью определять изменение угла ВАА1, так как вращение элемента АА,В,В как тверРяс. 5.5 Е/+— дй др~ 13! дого тела вокруг точки О, влияет на эту разность. Вез деформации сдвига перемещению и отрезка АВ будет соответствовать перемеще- ние отрезка А,В„выражаемое соотношением ОЗА~ а+до ( юг ~ У е'-' — = 0 =и ~1+ — ~. ОзА а г )* Следовательно, сдвиг определится как и+ — 40 — а ~1+ — ~'=- — дΠ— о —.
й~ г дг 1, да ~1г д0 ~ г ~ дО г * Окончательно уменьшение угла ВАА, вследствие только перемещений о равно ;Ф' ди Й8 о дг 1 ди а 7~— соз О. дО дв г й Я, дО Суммарное уменьшение угла ВАА„ т. е. деформация сдвига элемента срединной поверхности оболочки, 1 ди 1 ди и 7 72 г7 ~ + созО. (5.13) д~р й, дО г Если смотреть па касательную плоскость со стороны внешней нормали, то углы 7, и 7, будут углами поворота векторов 1, и 1, вокруг нормали по часовой стрелке (см. рис. 5.1, б). Формулы (5.10), (5.12) и (5.13) определяют деформации срединной поверхности оболочки в касательной (тангенциальной) плоскости. Их часто называют тангенциальными деформациями.
И з г и б н ы е д е ф о р м а ц и и срединной поверхности оболочки определяются через углы поворота нормали. В меридиональной плоскости вследствие перемещений и и ж векторы р, и и повернутся на угол (5.!4) по движению часовой стрелки, если смотреть в направлении век- Э -э тора 1,. Б плоскости АО,В векторы 1, и и повернутся на угол 1 1' ды '1 дв и б,= — — — д = — —— ар ~ д~) ) гд(р (5.15) против движения часовой стрелки, если смотреть в направлении вектора 1,.
Углы 7,, 72, д, и д, полностью определяют повороты векторов 1„1„п при малых перемещениях и, о, ю. При переходе от угловой координаты О к линейной з, отсчитываемой вдоль меридиана от какой- либо условной параллели, следует пользоваться простой зависимостью Дд118 = Й, (5.16) 1 ( до '1 ди до г= — ~ — +ы у= +— , д~р ~ Яд~р дх да ды ди о р 71= у '01= ~ 0т=- дх ' дх Яд~р Д ди 8,=— дх (5.17) ди ф 5.2. Уравнения безмомеитной теории Безмоментную оболочку можно рассматривать как приближенную модель реальной оболочки; если в последней не учи- тывать изгибающие и крутящие моменты; безмоментная теория обо- лочек — это приближенная теория расчета, не учитывающая изги- бающих и крутящих моментов; замена реальной оболочки безмомент- ной недопустима, если ее срединная поверхность при заданном способе закрепления может изгибаться без растяжений и сдвигов.
Обозначим аа — меридиональные напряжения, о,р — кольцевые напряжения и т — напряжения сдвига. Вместо этих напряжений, ко- торые в безмоментной теории считаются равномерно распределенными по толщине Ь оболочки, удобно рассматривать погон- д, 5ф~ ные силы Т1 = пей; Т~ = п~й„ 5 = Й, действующие в средин- т,,' ~ Р„а ной поверхности оболочки.
Со-;;~ Р„р ~'дэ ставим дифференциальные урав- 5 Л,~,' ~;+ — 'Ф~р кения равновесия элемента АВВ,А, срединной поверхности, к которой отнесены силы Т„ Т, и 5 (рис. 5.6). Т, ~. ~я= Внешние нагрузки, действующие на оболочку, отнесенные к '. ье площади элемента срединной по- д, верхности, обозначим так". рэ— тангенциальная нагрузка в на- Рис. 5.6 правлении касательной к меридиану; р,р — тангенциальная нагрузка в направлении касательной к параллели; р„— нормальная нагрузка, действующая в направ- лении внешней нормали, Площадь элемента АВВ,А, равна пЦй, Внешние силы ра»дай, р~»д~рй и р„»а~рй производят работу па перемещениях и, о и ы со- ответственно. Чтобы составить уравнения равновесия в тангенциаль- ной плоскости, надо рассмотреть равновесие плоской трапеции АВВ~А1 с углом йх между направлениями АА, и ВВ1.
Длины сторон АВ, А,В1 и АА1, ВВ1 трапеции соответственно равны»б~р; (» + й») й~р и й. В случае цилиндрической оболочки с радиусом Я срединной поверхности имеем 0 = .тФ Р, = оо, » = Р, = Р, Р,00 = й = дх и, сле. довательно, ..,1 Но дХ дг аΠ— = — = — =соя О; — = —, (5.19) Йр а <Ь ' »1я д> ' следовательно, разделив уравнение (5.18) на величину г, получим —. — '+(Т1 — ТЙ + +рв =О, (5.20) 1 дТ1 с»»я О дЯ И1 дО г гдф Второе уравнение равновесия в тангенциальной плоскости удобнее всего получить, взяв сумму 'моментов всех сил относительно точки О, пересечения сторон АА, и ВВ, трапеции (см.
рис. 5.5): Т, + — ' Йр а + — с1я йя — Т, а+ — !1я дя+ + 5+ — »10 а+й х х (г+ йг) йф — 5агдф + р Мфй а+ — г1я =О. 1 2 Сократив на величину уф и полагая йя — »- О; йр-»-0, найдем — ' а+ — аг — + «Я+ а5 — + гар„=О. (5.21) - дт, дз дО <1г д»р дО дв й~ Разделив уравнение (5.21) на величину аг и учитывая тождества (5.19), получим ! дТ, 1 дЯ Б — — '+ — — +2 — соя О+р, =О.
г дф Д, дО (5.22) Третье уравнение равновесия получим, составив сумму проекций всех сил на направление внутренней нормали к поверхности. Силы дт, Т,л1ф и (Т, + — ' ЙО) (г + й) Йр лежат в плоскости меридиана и угол между ними составляет ЙО. С точностью до величин второго порядка малости силы Т,й и (Т, + — йр) й лежат в нормальной плодт~ дф скости АО,В и угол между ними равен д$ (см. рис. 5.1, б), Сумма Так как соя йу — 1, я1п — д",1 = —,ду,; д1г = — йф, то, проектируя 1 1 все силы на ось, перпендикулярную сторонам АВ и А,В, трапеции, получим Т1 + ДО) (г+Д«)»1ф Т1мф Т2!1я ДХ дТ1 1 — Т, + — ' йр~ дя — д т+ ~Я+ — Ьр дя — Здя+ рв «Мдя = 0 дТ » 1 г д5 дф ~ 2 ~ дф Сокращая на величину уф и полагая в соответствии с правилами дифференциального исчисления дг — »- О, дф — »- 0 получаем Т, — '+г — ' — — Т2 Х + — +грв =О.
'(5.18) дя дО дв й~ дф у= —. Я. (5.27) 66 Здесь Е и 6 — соответственно модуль Юнга и модуль сдвига материа-' ла оболочки; а — коэффициент линейного расширения и (1 — 1,) приращение температуры в срединной поверхности оболочки. Система уравнений будет полной, если добавить ранее полученные выражения деформаций через перемещения и, и, и: в,= — — + — соз В+ —; (5.29) г д~р г (5.30) г д~р Р1 дО Через перемещение и, вдоль радиуса г удлинение з, выражается форм лой (5.28) У (5.31).
г д~р г Отличительной чертой полученных уравнений является то, что они допускают раздельное интегрирование. Интегрируя уравнения (5.20), (5.22), (5.24), можно найти общие выражения для сил-Т„Т„ Я, затем определить деформации з„з„т из выражений1(5.25) ... ... (5.27) закона Гука и, наконец, найти общие выражения для перемещений и,®'и, а, интегрируя уравнения (5.28) ...
(5.30). При расчете оболочки .по безмоментной теории принципиально важна правильная формулировка граничных условий. Безмоментная оболочка является расчетной схемой реальной оболочки и правильно отражает ее главные свойства только при определенных условиях загружения или закрепления. -+.»»Ф '»Ь Если на одном из краев оболочки заданы только силовые граничНЫе условия, т.
е. нет ограничений для перемещений, то можно по- проекций всех сил на нормаль с требуемой точностью будет Т1гйрпО + Т2ййФ вЂ” р„пЬрй = О. (5.23) Разделив это уравнение на гсЬрй, с учетом выражений (5.1), (5.6) получим та,+ та,= р„. (5.24) Три уравнения (5.20), (5.22) и (5.24) являются искомыми уравнения- ' ми равновесия элемента безмоментной оболочки вращения.
Силы Т„т~ и 5 связаны законом Гука с деформациями е~, з„у срединной поверхности, вычисленными в ~ 5.1. Для изотропной упругой оболочки с учетом температурного расширения е1 = — (Т, — р,Т,) + а (1 — ~о); (5.25) 82 = — (Т2 — 1~Т1) + с» (»»О)» (5.26) Ей $5.3. Осесимметричная задача для безмоментной оболочки Принимая р„= О, о = О, Я = О, а перемещения а, ы и силы Т2, Т, зависящими только от координаты О (или з), получаем уравнения рав- новесия: — +(Т, Т) +Р,=О; 1 с!т~ 'соа В йО т,- т, + =Р' 6', Р2 (5.32) (5.33) выражения деформаций через перемещения: 1 ди и 81= — + —; й, 1О Р,* (5.34) и и аг з2 = — соз О+ г Я2 Г (5,35) где и, =- и соз 0 + ы з1п 6; закон Гука с учетом температурного расширения: ! — (Т1 РТ2) + г2 О 12) (5.36) 1 а2 (Т2 РТ1) +.
~ (~ ~0)' еа Из уравнения (5.33) окружная сила равна 7 2 = Р2 (Рп — Т1%1). (5.37) Подставляя выражение (5.37) в уравнение (5.32) и учитывая, что Р1бО =- й; Я. (соз 6)!г = сф 6, ставить задачу о нахождении сил Т„Т, и 5, используя только уравнения равновесия (5.20), (5.22), (5.24) и силовые граничные условия. Используя терминологию строительной механики стержневых систем, можно сказать, что безмомецтиая оболочка обладает внутренней статической определимостью. Статическая определимость, неопределимость или геометрическая изменяемость безмоментнои оболочки как механической системы зависят в значительной степени отграничных условий на торцах.
Анализ полной системы уравнений показывает, что в безмоментной теории оболочек на каждом торце можно задавать только два тангенциальных граничных условия, в которые могут входить либо тангенциальные силы Т„ Я, либо тангенциальные перемещения и, и, Может существовать комбинация величин Т, и и или Я и и, и невозможно рассматривать условия Т, одновременно с и, так же как 5 с о. Далее будет показано, что граничные условия по ы можно удовлетворить, рассматривая моментную теорию оболочек. получаеМ ~~~ +("'~ (. '~~0 Т,+рд — р„с(06=0. (5.36) дв ~ г Р1 Примем Т, = Р~(2яг з1п 6), где Р = Р (5) — новая искомая функция. Ее смысл будет рассмотрен ниже. Подставляя это выражение для Т, в уравнение (5.38) и учитывая тождества йг 66 1 — 6,— = —, йз дя 1~ получаем после умножения на 2м яп 6: ' — =2лг (р„соз 8 — ра з1п6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
