Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Шпангоут связан с тонкой обшивкой и внешний момент М уравновешивает- ся касательными распределенными силами д„передаваемыми обшив- кой на шпангоут. Будем считать, что изгибная жесткость шпангоута Ф' .,настолько велика, что влиянием его деформаций на распределение касательных сил д„можно пренебречь; тогда д, = сопз1 и из условия равновесия всего шпангоута, пренебрегая высо- ц) 1) .Я а;У той шпангоута по сравне- —" ~ 4' нию с его радиусом, находим аг о (4 24) 2оайа в о ,1 Выберем основную си- ~г стему, как показано на 05 рис, 4.4, а.
У симметрич- оо ных систем при кососимметричной внешней нагрузке симметричные силовые Рас, 4.4 факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль, Поэтому в рассматриваемой задаче Х,=О; Х, = О и для нахождения Х, остается одно уравнение бааХ, + б,„= О. Для подсчета изгибающего момента Мр введем вспомогательный угол а (рис, 4 4, а). Тогда ~Мо Мг — — — ' — у„К (1 — соз я) Я Йа = — ' ~1 — — (<р — з1п ср) 2 о По формулам (4.20) находим Яо з1па ~р оооо баа"-) ~17 = 1 Е1 Е3 о б2Р = ) <1ф= ЯаМронл~р 3 М,Да Е1 2 Е1 следовател,ьно, ~аР З Мо Х,=— ааа 2л Я и по формулам (4.21) и (4.23) окончательно получаем: М = — ~1 — — (ср+ 2 з1 и <р); Мог 1 2 Л а =- — Мо (1+ 2со$ р); 2лй М Ю= — — з1п ~р.
оаэи (4,25) На рис. 4.4, б изображен характер зависимости безразмерных личин М = М/М,; ф = ЯК/М,; /«/ = /«/Я/М, от угла «р (благода симметрии задачи -кривые приведены только от «р = О до д = п,1 В некоторых задачах (например, когда внешние нагрузки изменяются непрерывно по всему кольцу) сравнительно простое решение удается получить и н т е г р и р о в а н и е м д и ф ф е р е н ц и- альных уравнений равновесия (42).
Из первого уравнения находим Я=С,соз«р+С,$1п«р+Я > где Я' = Я* («р) — частное решение этого уравнения, Из второг о уравнения получаем М =,ДС1 Б1п «р — ЯС~ соз «р+ Си+ Я) (Я + «и) Й7 (427) Три произвольные постоянные С; можно определить из интегральных условий (4.22). Закон изменения нормальной силы Л« = М («р) нахо- дим из второго уравнения системы (4.1): Д ЯФ /«/ =. С, яп «р — С, соз «р — + Р «/,.
Йч« (4.28) В качестве примера определения внутренних сил и моментов с помощью интегрирования уравнений равновесия рассмотрим следующую задачу: замкнутое кольцо постоянной изгибной жесткости Е3 нагружено касательной сосредо' а) 4 мау точенной силой Т (рис. т ' п,г 4.5, а). Силу Т уравновешивают распределенные м — — касательные силы 'юп т ~га' и'и' и «/„= — соз «р + —. т К ««Я 2««й -О,« (4.29) Равнодействующая перво«/ = — И5~+— го слагаемого в проекции на горизонтальную ось Рис. 4.5 равна Т, она уравновешивает силу, а второе слагаемое уравновешивает момент, создаваемый силой Т относительно центра-кольца.
(Такие распределенные касательные силы возникают в шпангоуте,~связанном с тонкой обшивкой, если жесткость шпангоута настолько велика, что влиянием его 'деформаций на распределение «/„можно, пренебречь,) Частное решение Я', входящее в выражение (4.26), можно найти подбором. В данной задаче можно взять Я~ « — (1 «и «р з1 и «р). г 2«« Тогда в соответствии с выражением (4.27) М = ЯС~ ып (р — Ясо СОВ $ + С, + — ((р + ып (р — $ соз (р).
тк 2л Из интегральных условий (4.22) находим С~ = Т!(4п); С = — Т!2; С = — ТЯ2, Окончательна, использовав зависимости (4.2Б) ... (4.28), пелучим: М = — ~(п — ср) (соз ~р — 1) + — ып ср; ТЯ Г 3 2а 2 Я вЂ” ~1 + — 'сов ~р — (л — ~р) ып ~р т г 1 м= — 1(п — ср)соз~р — — ып~р . 2л ~ 2 График изменения безразмерных величин М = М/(ТЯ), 4 = фТ и И = М!Т дан на рис. 4.5, б. Следует отметить, что изложенные выше два способа определения внутренних сил и моментов в замкнутом кольце применимы для колец переменной жесткости. В этих случаях нужно просто учесть заданный закон изменения жесткости Е,! (ср) в формулах (4.20) или в интегральных условиях (4.22), причем при сложном законе изменения Е3 (~р) соответствующие интегралы можно подсчитать численно.
При расчете колец постоянной из'ибной жесписости, изменив обозначения неизвестных Х;, можно выражение (4.21) записать в таком виде: М = Мг + Х1 + Хо з1п Ч) + Хз соз 9, где Х~ = Х~ + ЯХо; Хо = Хой; Хо — — —. Хой. Учитывая равенства 2и ож 2п о з1п(рй(р=О;, ~ з1п~,фйф=й,"' ~ созфдс$-"пО;, о о (4.30) (4.31) (4.32) 1 Хо —— — — ~ Мрсозф<р. о ои ок ол 1 со~куй~ и; 1 совув!пуйд=О; ~ йр=2п, о о при постоянной жесткости кольца из трех интегральных условий (4.22) сразу находим ож 2й Х(= — — 1 МясЬр; Х~ = — — ( Мр ып <р йщ! 2л Из выражения (4.30) получаем окончательную зависимость для изгибающего момента М = М (~) в замкнутом кольце постоянной жесткости: 2ч 2Л М= Мр — — ~ М й~ — — "" ч' ~ М„яп рйр 2л ) П О О вЂ” ~ Мисозс~йр.
(4.33) О Учитывая, что Х2 = ЯХ2 и Хз = — РХ,, из выражений (4.23) получаем окончательные зависимости для поперечных и нормальных сил: 2л 2я а Ь ~ОБ(Р ~ М Б1ПЧДЧ+ 31П(Р ~ М сояФДК лЯ лК О О 2Д 2и 21и <О СО2 <Р У=А'и — ( МрЯ'псай~ — ~ Мисозц>ду. лЯ лЯ При выводе зависимостей (4.33) и (4.34) в качестве основной статически определимой системы использовалось кольцо, полностью разрезанное в одном сечении; входящие в эти зависимости функции Мр = = Мр (~р), Ян = Яг (<р), Фя = У~ (~р) — соответствующие вну/ тренние силовые факторы, создаваемые внешней на- Т грузкой. Полученный результат можно трактовать ~а так-"15]: изгибающий момент ° щ.
~рр ~р в замкнутом и произвольно нагруженном в своей ~ -Ог плоскости круговом коль,~ -РЯ це равен, моменту Мр (~р) -а~ от внешних сил за вычетом 'ъ у -45 трех первых членов рыложения Ми (ср) в ряд Фурье по окружной координате, причем выражение (4.33) инвариантно по отношению к выбору основной системы. Аналогично можно трактовать и выражения (4.34). В качестве примера определим внутренние силовые факторы в замкнутом кольце постоянной изгибной жесткости ЕУ (рис, 4.5, а), нагруженном сосредоточенной силой Е, уравновешенной касательными распределенными силами: (4,34) МОа аг Пф о,т и -о~ Рис. 4.6 ~ -.~5) Р Д, = — — з~п ~р.
лД : (Такие касательные распределенные силы уравновеши~ от сосред . точенную силу в жестком шпангоуте, связанном с тонкой обшивкои) 1И Выберем основную систему, разрезав кольцо по сечению у = О (рис. 4.6, а). Как и в примере на рис. 4.4, для подсчета внутреннего изгибающего момента Мр в разрезанном кольце введем вспомогательный угол а. Тогда ЕР РЯ Мр — — — — я'пгр — 1 д (1 — соза) Я'-да= — — з1п~р— 2 о — — ~ з1п(~р — а)(1 — соза) с1а = РР г о ГР Г. 2 1 =. — — 1з1п (у+ — (1 — соз ~р) — — ~р з1п «р л л.
Из зависимостей (4.32) ... (4.34) после интегрирования получаем: М= — 11 + — созе — ляп~р+суяпю; РЛ ( 1 2л ~ 2 Р / 1 Я = — ~ — яп с~ — л соыр+ с~ соз с~ 2л ~2 Г /3 У = — — ~ — соз <р + л з1п ~ — ~р яп ~р .
2л ~2 На рис. 4.6, б приведено изменение безразмерных величин, где М = М/(РР), ф = (~/Р, У = Л//Р. Заметим, что выбор места разреза в замкнутом кольце совершенно произволен и, конечно, никак не отражаетея на окончательном результате. Так, в рассмотренном примере разрез был произведен по силе Р, и в основной системе на каждом из краев разрезанного кольца действовали силы Р/2.
Можно поступить иначе, разрезав кольцо, например, чуть правее точки приложения силы Р. Это приведет к изменению функции Мр =- Мр (ср), и вместо найденного выше выражения получим РР Г 1 Мр = — — ~ (1 — соз ~р) — — <р яп <р, л 2 Но окончательные зависимости для величин М, Я и И остаются теми же самыми. При решении методом сил основную систему целесообразно выбирать таким образом, чтобы максимально использовать свойства.симметрии исходной задачи. При решении задач изгиба колец постоянной изгибной жесткости изложенным методом свойства симметрии существенной роли не играют и основную систему следует выбирать так, чтобы по возможности упростить функцию Мр (~).
С этой точки зрения вторая основная система в рассмотренном примере предпочтительнее, поскольку она приводит к более простому виду функции Мр (ф. ИБ $4.3. Определение переме«ценнй Рассмотрим сначала перемещения кругового кольца в своей плоскости как жесткого целого. Если кольцо (рис. 4.7, а) сместить относительно неподвижной системы координат у,г, на расстояние И по на.
правлению оси у„то перемещения о и в точек его оси и угол поворота д нормали соответственно будут; и = д соз «р; в = й ып «р; д = О. Аналогично, смещение по направлению оси г, на расстояние Ь даст о = — Ь ы'и «р; в = Ь соз «р; д =- О. Поворот кольца относительно неподвижной системы координат на угол р (рис.
4.7, б) дает о = К ып ~; в = — Я (1 — соз ~); д = — (3. При малых углах р, оставляя в разложениях функций ып р и соз р первые степени р, можно записать о=Щ в=О; О= — р. Поэтому перемещение кольца как жесткого целого в своей плоскости в общем случае описывается формулами о = а, + а, соз «р + а, ып ф; (4.36) (4.37) (4.38) в = а,ып «р — а, соз «р; д = — а0/Р, где а„а„а, — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
