Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Но вместо вектора узловых перемещений (и)„и матрицы жесткости [К1 элемента будут вектор узловых перемещений всей системы (и)„ и соответствующая матрица, называемая о б щ е й . или г л о б а л ь н о й матрнцей жесткости [К1: [К1 (и). — (Р) (3.91') Это уравнение является основным при расчете конструкций с помощью МКЭ, Оно позволяет найти перемещения и, воспользовавшись соотношением (3.8б), определить напряженное состояние в каждом элементе системы. Основная задача расчета конструкций методом конечных элементов состоит в определении матриц жесткости элементов, общей матрицы жесткости [К[ и вектора узловых сил (Р).
Рассмотрим на примерах, как -определять эти .матрицы и векто'ры. На рис. 3.10 изображен элемент стержня, изгибаемого поперечной распределенной нагрузкой д (х). Положение элемента опреде:„,ляется вектором (и)„=- (ю,д,и!р92)", (3.92) состоящим из двух узловых пере:мещений и„и, и двух углов пово"рота д,, д,. Положим, что поле :вается алгебраическим полиномом, и = [[ х х' хз1 Рис. 3.10 (3.93) перемещений в элементе описы- имеющим четыре коэффициента: а, ~' =- [А1(а).
~з а4 ;,'Имея в виду, что сечение х поворачивается на угол д = йы/дх, а [также, что при х = 0 имеем в = и~,; д = б,, а при х = 1 имеем Ьи = и;, д = д„находим вектор узловых перемещений (и), = [С1 (а), (3.94) ,'.где 1 0 О О [С1 = р уз 0 Р 2Р ЗР $Вектор коэффициентов (а) с узловыми перемещениями связан обрат!'ной матрицей [С1-'. (с~) = [С1-1 (и)„. '„Подставив это соотношение в формулу [3.93), получим = [А1 [С1-' (и)„= Щ ( )„. (3.95) ,,Отсюда можно найти матрицу [Ф1. Для рассматриваемой задачи это :; будет матрица-строка 3 —" — 2 ~ — — "+ ~ ~ ° (3.96) ; Относительное удлинение волокна, находящегося на расстоянии г .',ат нейтральной оси стержня, определяется соотношением й'и Интегрирование каждой составляющей матрицы в последнем соотношении для нагрузки д (х) = — д, не меняющейся в пределах элемента, позволяет найти для элемента вектор узловых сил; Ч1з ~1 Чр 1т (3.98) 1.
2 12 2 12 ) Этими узловыми силами заменяется распределенная нагрузка, действующая на балку. Рассмотрим случай, когда задача о поперечном изгибе балки решается с помощью МКЭ и вся длина ее — один конечный элемент. Для консольной балки длиной Ь = 1 (рис. 3.11, а) нагрузка д замене- дЕ ~Е гуЕг — ф 5 — 12 12 ~~ Ег 2 ~Ег 1 12 Рис. 3.11 на силой Рз = 01/2 и моментом М, = — фз/12. Для этой эквивалентной системы с учетом условий закрепления левого края перемещения мо- гут быть определены из соотношения 61 — 12 61 41з — 61 21з 12 — 61 Симм. 41з 12 й'1 О О а~2 62 Перемещения и угол поворота конца стержня соответственно равны 14 '(6/." /).,6, 1з/(6/ /) Точные выражения для перемещения и угла поворота какой-либо точки балки имеют вид Ч1з Г хз хз Ч/з т хз хз х1 и.= — ~ — — 4 — +6 — р д= — ~ — — 3 — +3 — ).
24Е / ~ 1з 1з 1з )' 6Е1 ~ Р 1з Для узловой точки х = 1 перемещение и угол поворота, определенные по методу конечных элементов, дают точные значения. На рис. 3.11, б построены точные и приближенные по МКЭ (с вертикальной штриховкой) эпюры изгибающих моментов М (х) н перерезывающих сил Я(х) для балки. Из графиков видно, что они существенно отличаются при нахождении решения только для одного элемента. 12 61 — 12 61 4Р— 61 — 12 — 61 1 12+ 12 61 21з ~ — 61+ 61 2Р !К1 =- —— Е1 1з — 61+61 ~ — 12 61 41з+41з ~~ — 61 21' — 61 12 — 61 2(а — 61 41'.
— 12 Оиа складывается из двух частей, каждая из которых соответствует выражению (3.97), смещенных относительно друг друга падве строки и два столбца. Векторы перемещений и сил всей системы, связываемые матрицей Й), следующие: (и)и = (ООи>ада~а»здз)~» (Р) = (Ра М~ 4 О >11>2 — Ч1'>12)Г Решение уравнений дает точные значения для узловых перемещений п>а; дз; из; дз» Эпюры моментов и перерезывающих сил, изображен- Я ные на рис. 3,13, показывают, что в этом варианте расчета определенные по МКЭ усилия и моменты ближе к точным.
Очевидно, что при большем числе элементов усилия и перемещения будут еще точнее. гад~' Р1~ ФР Рис. 3.13 Рис. 3.12 При расчленении балки на несколько элементов разница в эйюрах, очевидно, должна быть меньше. Рассмотрим ту же балку, но состоящую из двух элементов (рис. 3.12). Длина каждого элемента 1 = Ы2, Общий вектор перемещений и вектор сил имеют вид (и)а = (и»т Оа п»а оа ~а>а оа)' (7) = (Г, и, Г,Мз Гзя,)т. Составляющие вектора (Г) равны ~'а= + > Мз= + =О ~'з= > '44з= д1 д1 Ч1з д1з 41 .
дР 2 2 12 12 2 12 * Составим матрицу жесткости всей системы г Существует много вариантов метода конечных элементов. Наиболее распространенная схема представлена выше. Значительно реже ' используется вариант, основанный на процедуре Галеркина. Он особенно эффективен при расчете таких систем, для которых затруднительно записать соотношение для полной потенциальной энергии. Рассмотрим особенности применения метода на примере поперечного изгиба балки.
Дифференциальное уравнение изгиба балки постоянной жесткости имеет вид ы~Р' — су (х)/(Е/) = О. В рассматриваемой постановке вектор, аналогичный вектору узловых перемещений, должен иметь восьмой порядок, поскольку на каждом конце элемента в качестве степеней свободы необходимо принять не только перемещение и угол поворота, но и изгибающий момент и пере. резывающую силу. А так как угол поворота соответствует первой производной в' от перемещения, а момент и перерезываюп[ая сила пропорциональны второй и третьей производным, вектор (и)„ представим в виде ( щ,,„,«н,~«н, „,, „~«)т Тогда перемещение в пределах элемента описывается полиномом седьмой степени ы = [1 х х' хв х' хв хв х7[ (я) = [А! (я), где вектор коэффициентов (я ) (я1я Зя зявя«явя7яв) При х = 0 и х = 1 перемещение и и производные от него равны уз- ловым составляющим вектора (и)„: °, ««, «к сп, х 0 и) ы1 ю и/1 ю я~1> ы ы1 / Ф, И «, У/ М Х = 1: Я3 = Ив', и = ю~1 ~6 — 0)2', Я) = ж) Отсюда формируется связь между вектором узловых перемещений и вектором коэффициентов: (и)„= [С] (я), где 1000 0 1 0 0 О 0 2 0 000 6 1'Р 1в 0 1 2Х 3[в в 0 0 21 61 $00О 6 0 0 0 0 0 0 0 0 14 1$ 41в 51в 12[в 201в 241 60Р 0 0 О 0 0 0 0 0 1в Р баев 7гв 3014 421в 120[в 210 1в Перемещение произвольной точки элемента, выраженное через перемещения и их производные в узлах, теперь будет иметь вид = 1А1(С1-' (и)„= 1Ф! (и)„.
Подставляя это соотношение в уравнение равновесия и имея в виду, что выбранная полиномиальная функция в общем случае не является его решением, получим функцию-ошибку Р„= 1ФР~ (и)„— су (х)1(ЕЛ). Согласно методу Галеркина функция-ошибка должна подчиняться соотношению (3.16). В варианте МКЭ оно соответствует следующей зависимости: ( [Ф1 (и) „й„Йх = О.
д (и)„.1 Отсюда можно построить матрицу жесткости и вектор внешних сил элемента. Метод Галеркина в конечно-элементной формулировке дает хорошие результаты для усилий и перемещений даже при небольшом числе элементов, на которые делят деформируемую систему. Поэтому кажущаяся громоздкость вычислений по сравнению с методом, основанным на принципе возможных перемещений, может быть компенсирована высокой точностью, особенно при определении внутренних усилий. Рассмотренные примеры применения МКЭ имеют прежде всего методический смысл. Практические возможности метода неизмеримо шире. Он применяется при решении весьма сложных задач.
Но основные принципы метода, как и последовательность его применения, могут быть усвоены на рассмотренных простых примерах. Более подробное изложение особенностей МКЭ можно найти в книгах 1111, ~19]. ф 3.6. Решение двумерных задач методом конечных элементов Расчет тонкостенных конструкций во многих случаях сводится к решению двумерных задач. Иногда эти задачи удается свести к «квазиодномерным» вЂ” тогда область интегрирования и граничные условия позволяют воспользоваться методом разделения переменных и привести функционал, зависящий от двух переменных, к одномерному.
Этот вариант решения задач часто используется, однако он не всегда возможен. Для нерегулярных, сложных областей необходимо пользоваться двумерными элементами. В практике расчетов широкое распространение получили плоские треугольные и прямоугольные элементы, комбинации которых позволяют достаточно просто прсдставить самые разнообразные конструкции в виде системы элементов. На первом этапе расчета нужно построить матрицы жесткости для этих элементов. Рассмотрим, как строятся матрицы жесткости для двух типов конечных элементов: треугольных — применительно к плоской задаче теории упругости и прямоугольных — применительно к поперечному изгибу пластин.
На рис, 3.14 изображен треугольный элемент с тремя узловыми точками ~, 1, й. Обход узлов от точки ~ производится против хода часовой стрелки. Построим поле перемещений в элементе, полагая, что линейные и угловые компоненты деформаций в нем постоянны, Положим ди , до ' ди да е" д а2' Ь д 0з) уху =' д + =у1, (3.99) где а„~„у, — константы. Из первых двух уравнений (3.99) следует и = а~х + Е)~ (у); = Р зу + О, (х). Подставим эти соотношения в третье уравнение (3.99): дП, (у) д0~ (х) ду дх Рис. 3,14 Здесь О, и В, — две независимые функции.
Это уравнение удовлетво- ряется, если »>) 1> и=(1 х у] а, ', о=-[1 х у) я аз! 1з Представим константы через перемещения и координаты узловых точек элемента 1 х; у; (и ) = и; = 1 х~ у; а,(' (о ) = ид 1 хд у„а,~ о; 1х~у~ ~3, о> 1 х у> р2 > о~ 1х~у~ или (и ) = (Л"1 (а); (о ) = (М (р). 4 з»х. ~,9>л д1)1 (х) . д0~ (х) — =аз, 2 ду дх откуда после интегрирования получим И (у) = а.у+ а, 0 (х) = Р х+ р,. Следовательно, перемещения в элементе описываются следующими линейными функциями координат: и = а, + а,х+ а,у; о = р, + ~,х + ~,у. (3.100) Эти зависимости удовлетворяют условию постоянства деформаций. Константы а,; а,; а,; Р,; Р,; Р, независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
