Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 13
Текст из файла (страница 13)
д. То же можно сказать о функциях 5„(х, у) и»1„(х, у). Каждая из них является составляющей полной системы функций. Кроме того, они должны быть непрерывны на рассматриваемой области и удовлетворять ио крайней мере геометрическим граничным условиям задачи. После подстановки выражений (3.1) в уравнение потенциальной энергии и проведения операций дифференцирования и интегрирования функционал зависит только от коэффициентов А„, В„, С„. В положении равновесия потенциальная энергия З должна иметь стационарное значение и задача о стационарности функционала сводится к задаче об экстремуме функции переменных А„, В„, С„. Отсюда следуют условия дЭ дЭ дЭ вЂ” =О; — =О, — =О, дА»» дВ»» дС»» (3.2) 3 зц„, ~йв Вариационные методы долгое время были, пожалуй, самыми распространенными при решении многих сложных задач строительной механики.
В последние годы их применяют на базе вычислительной техники. Появились новые модификации методов. Однако общие идеи, содержащиеся в новых методах, остаются прежними и классические методы Рэлея — Ритца и Бубнова †Галерки еще долго будут составлять основу применяемых при расчетах методик. М ет од Р элея — Ритца является одним из наиболеемощных прямых методов вариационного исчисления. В задачах упругого расчета с его помощью можно с той или иной точностью определить поле перемещений, используя уравнения потенциальной энергии деформируемого тела. Перемещения аипроксимируются на всей области интегрирования некоторыми системами функций. Для двумерной области с тремя компонентами перемещений и, »», и это — 'три системы: !~» (х, у), Ч~в (х> у)> ' > !!'>>> (х> у)> Б» (х> у)> ° * Вв (х> у)> '" $>>> (х> у)> >!»(Х> у)» т)в (х> у)> ..., »1 (х, у).
Перемещения принимают такими: 9= — Е3 — дх — ды дх. (3,3) Первое слагаемое здесь соответствует энергии деформации, второе— потенциалу внешних сил. Из условия равновесия следует, что ЬЭ =О. Ин'гегрируя вариацию энергии по частям, получаем ЬЭ = Е3 — ~ — д Ьыс1х + ЕУ вЂ” Ь— о — 'ЕУ вЂ” ~ Ьш = О. (3А) Отсюда при произвольном Ьы получается уравнение равновесия ЕХ вЂ” — су =О Фв дХ4„ (3.5) и граничные условия на концах балки, соответствующие второму слагаемому уравнения (3,4). Таким образом, для решения задачи нужно найти общий интеграл уравнения (3.5) и выбрать такие частные решения, которые удовлетворяют граничным условиям.
Однако мы поступим иначе — получим решение методом Рэлея — Ритца. Для этого воспользуемся соотношением (3.3) и зададим функцию гв в виде ряда т и= ~ сиз!и (3.6) а 1 При любом а функция з1п пяхЛ равна нулю при х = О и х = 1. Подставляя выражение (3.6) в уравнение (3.3) и интегрируя, получаем 9 = — — ~ 4 С4 — ~)1 — ~~~~ ~— С . Е3 4 2 1 13 4 я п я=) п= 1,3,5... которые и позволяют найти все коэффициенты в системе (3.1) из Зт уравнений. Требование полноты системы функций связано с приближением решения к точному.
Практически задачи решаются при ограниченном числе аппроксимирующих функций и во многих случаях достаточно взять две-три из них для того, чтобы получить вполне удовлетворительный результат. В качестве примера применения метода Рэлея — Ритца рассмотрим задачу об изгибе шарнирно опертой балки, имеющей постоянную жссткость Е1, длину 1 и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой д. Полная потенциальная энергия балки определяется соотношением (1.66): Учитывая условие (3.2) найдем коэффициенты С„для нечетных и (если п четное, С„= О): С„= — — —. Окончательное уравнение упругой 4 ! Ч!~ л~,~~ Д/ линии балки, определенное с помощью метода Рэлея — Ритца, имеет вид 4дИ т~ 1 плх Я~= — Д, — Б1П л' Е /, а' и-!,З,Ь... (3 7) Интегрируя уравнение (3.5), при тех же граничных условиях получаем такое выражение для прогиба: Приближенное решение (3.7) хорошо аппроксимирует перемещение ю на всем диапазоне 0 = .
х ~ /. Например, прогиб при х = 1/4, подсчитанный по первому члену ряда (3.7), имеет значение ю =- = 0,0092758 дР / (ЕЯ), что всего на 0,015 % отличается от значения, полученного по формуле (3.7'): сы = (),0092773 дР / (Е,/). Методом Рэлея — Ритца можно найти не только перемещения, но и внутренние силы и соответствующие им напряжения. Для этого необходимо использовать связь между усилиями и перемещениями.
В рассматриваемом примере изгибающий момент в сечении балки (!2цу 4Ч!2 ~~ ! М = — Е./ — = — — ~, — з1п — . ,!~з ~р дз л= 1,3,5... (3.8) з' Очевидно, чтоточностьрешения при определении напряжений меньше, чем при нахождении перемещений в связи с тем, что при дифференцировании приближенных функций их производные оказываются еще более приближенными. При х = //4, если и = 1, метод Рэлея — Ритца дает М = — 2 )Г2 л' дР, что на 2,8 % отличается от М = — (3/32) цР, ' соответствующего решению по формуле (3.7').
'Однако и здесь, если использовать большее число членов ряда (3.8), можно близко подойти к точному решению. Широко используется метод Рэлея — Ритца при решении задач устойчивости деформируемых тел. Особенность его применения состоит в том, что здесь необходимо использовать выражение для изменения полной потенциальной энергии относительно некоторого исходного состояния. Задача при этом сводится к линейной системе алгебраических однородных уравнений.
Рассмотрим пример определения критического состояния неодно.родного шарнирно опертого стержня, нагруженного осевой сжимающей силой на торце, Момент инерции стержня меняется вдоль оси: ас, ' ас, что приводит к системе однородных уравнений / 8 ~ Р1а 1 48 2 ~ — + л) л — — ~ Са — — лСз =0; !,3 ) Е.1а~ ' 5 — лСа+ 2 ~ ~ +81л) л — 9 — Сз =0 48 ! Г 5832 ~ Р1а 5 ~~ 35 ) ЕУо (3.11) Отличное от нуля решение этих уравнений находится с помощью определителя, составленного из сомножителей при С, и С,. Прирав- няв определитель нулю, получим характеристическое уравнение — — 165 — +2660 =О, позволяющее найти два значения силы Р: Ра = 18а06 ЕЗз~Р~ Ра = 147 Е,1 о~ 1а Минимальное значение силы, при превышении которой стержень теряет устойчивость, называется критическим', Р„, = Р,.
Форма потери устойчивости, определяемая уравнением (3.10), при Р = Р, имеет вид !4а = С, яп — + 0,0126 з!и— (3.12) Коэффициент при втором слагаемом здесь найден с помощью одного из соотношений (3.11). 1 =- У,11+ яп(л хЛ)). Изменение потенциальной энергии стержня при действии силы Л!, = — Р по формуле (1.72) равно 1 о Рассмотрим формы потери устойчивости, симметричные относительно середины стержня. Ограничимся только двумя членами ряда; ы = С, яп (лхЯ) -',— Сз яп (ЗлхЛ).
(3.10) Каждая из функций здесь удовлетворяет граничным условиям задачи. Подставив выражение для !а! в формулу (3.9) и проведя интегрирование, получим ! 1ла 8 ла! ! а ! ла 48 ЬЭ= — Е.1, !! — + — — ) — С' — — И,— — — С,С,+ 2 !, 1а 3 1а ) 2 2 1а 5 2 ! ( 5832 ! ла 1 , ! л' + — Е3о ~ + 81л) — — Сз — — Р— — (С! + 9Сз) ° 2 ~ 35 ) 1а 2 2 1а 2 Равновесное состояние, соответствующее изгибу стержня, определяется из условия Зависимость (3.12) показывает, что второе слагаемое дает незначительную поправку и усилию Р -== Р„р практически соответствует форма потери устойчивости с одной полуволной синусоиды вдоль оси. Если вообще не учитывать второго слагаемого в уравнении (3.10), то критическое усилие может быть определено из первого уравнения системы (3.11) при С, = О: Ркро = 18 23 ЕЛоl)'.
Обратим внимание на то, что Р„р„~ Р„р„и увеличение числа членов ряда ведет к некоторому, часто незначительному уменьшению критической нагрузки. Ее значение приближается к определенному предельному значению Р„сверху. Это характерно для метода Рэлея— Ритца. Определенные с помощью этого метода критические силы несколько больше истинных. М е т о д Ь у б и о в а — Г а л с р к и и а, вообще говоря, не требует применения энергетических соотношений. Его можно рассматривать как один из приближенных методов решения дифференциальных уравнений, которыми описываются краевые задачи математической физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
