Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поскольку для изотропного материала Е = 2 (1 + ~::+ р) б, то в случае тонких пластин из изотропного материала условие ~."у„, ~г. д действительно выполняется, причем тем точнее, чем тоньше .',;Пластина. (Гипотеза о неизменности нормали может приводить к за~мйетным погрешностям только для резко анизотропных пластин [31, р.'когда Е„ъ б„„где Е„и б„, — соответственно модуль упругости в -;.направлении г и модуль сдвига в плоскости гз.) Эти оценки, сделанные на примере решения конкретной осесим~:метричной задачи, имеют общий характер: основные упрощающие ;:,~(опущения технической теории пластин выполняются тем точнее, чем ~:тоньше пластина, (2.48) Зная эти перемещения, по общим формулам (1.17) находим деформации е е и всл д г у слое пластины, отстоящем на расстоянии г от ее срединной плоскости: ди дд 3.= — = — я дх дх до дд еу а Ц ду ду (2.49) у.,= — + — = — а~ — "+ —" .
ди да ~ ддх де ду дх ~ ду дх Согласно допущению о неизменности нормали элемент АВ останется перпендикулярным искривленной срединной плоскости и углы его наклона д и х и д„будут равны углам наклона касательных к искривленным коо и плоскости: рдинатным линиям на деформированной срединной дх ду (2.50) $23. ДифФеренциальное уравнение изгиба пластин в прямоугольной системе координат Представим пластину в прямоугольной системе координат, совместив ее срединную плоскость с координатной плоскостью хд (рис. 2.16 ).
Б е , й удем считать, что толщина Й пластины существенно меньше размеров пластины в плоскости ху. Задачу изгиба такой пластины поперечными силами рассмотрим в линейной постановке, как была рассмотрена более простая осесимметричная задача (см.
~2,4), Причем для вывода со. отношений, описывающих изгиб пластины, снова воспользуемся ос. а новными допущениями теории пластин и оболочек. дд Геометрические соотно- шения, описывающие де- О д ~ ~~ ~юг формацию пластины, полуд. А, д у ~ У чим, проследив за пере- мещением материального А У элемента АВ, до деформации перпендикулярного Рис. 2,16 срединной плоскости пластины. В соответствии с первым допущением после деформации этот элемент останется прямолинейным и наклонится относительно оси г на г На ис.2.16 б показ г на углы д и д соответственно в плоскостях хг и уг.
( р, азана проекция перемещенияэлемента АВ на плоскость уг.) П и этом т у .) р . точка В, находящаяся на расстоянии г от срединной плоскости, получит перемещения и и о в направлениях осей х и у: Эти зависимости позволяют выразить дефорации е„е„н ухд черей поперечные перемещения и| срединной плоскости пластины: дух д'в 8 = — а — =- — я — ' дх дхг ' д2щ~ (2.51) ду ддг Отметим, что гипотеза неизменности нормалей эквивалентна допущению о том, что углы сдвига у„=- уу, — — 0; из формул (1.17) действительно имеем: дг дх дх до дв дв 7~, = — + — = — д„+ — = О. дг ду " дд Связь между поперечными перемещениями ы срединной плоскости пластины и ее внутренними силовыми факторами устанавливают с помощью допущения о ненадавливании слоев: считая материал пластины упругим и изотропным, по общим зависимостям для плоского напряженного состояния имеем: Е Ег | д'и д'и ~ а„= — (з„+р,„) = — ~ — + 1х х 1 Ф х ы 1 — 12 дхв дд2 Е Ег | дгю дгы а„= — (з„-1- рз„) = — — ~ — + )х ); (2.52) д 1 г д х 1 уг ~ дуз дхг /' Е Ег дгв т„„= т„, - ~у„„= — т., - — ( ~ — И) 2 (1+ 1Р) 1 — уР дхду Нормальные напряжения о„и ид, линейно изменяющиеся по толщине пластины, статически эквивалентны изгибающим моментам интенсивностью М и М„, а касательные напряжения т„„и тр„тоже линейно изменяющиеся по толщине, статически эквивалентны крутящим моментам интенсивностью М„„и М„,.
(Как и в задаче осесимметричного изгиба круглой пластины, интенсивности моментов будем далее просто называть моментами). Величины М„М, Мхд и Мд„ подсчитывают аналогично тому, как в 5 2.4 были подсчитаны М, и Ма Используя зависимости (2.52), получаем +Ы2 д'и~ дгв 1 М„= — 1 о, гйг =Е1 ~ — +р— д. х дуг )' — а|2 +Ь/2 д ° " дхг ' (2.53) — Ь!2 +й/2 М„=-М„,= — т„„гдг1= (1 — р).0— д'-в х у -ь! а где д — жесткость пластины на изгиб, определяемая формулой (2.40). Знаки моментов выбраны так, чтобы положительное направление моментов соответствовало положительным значениям вторых производных, входящих в формулы (2.53).
В сечениях пластины плоскостями„ параллельными координатным плоскостям хг и уг, вообще говоря, возникают касательные напряжения т„„н т„„интегрируя которые по толщине пластины получают значения поперечных сил интенсивностью (~„н Я,, Но необходимо подчеркнуть, что эти касательные напряжения нельзя непосредственно связать с деформациями пластины, ибо в силу первого основного допущения углы сдвига у„, = у„=.
О. Дальнейшее решение задачи можно проводить так же, как в предыдущем параграфе: рассмотрев условие равновесия элемента нагруженной пластины и использовав соотношения (2.53), получить дифференциальное уравнение относительно поперечного прогиба и. Но можно воспользоваться иным, вариационным путем решения задачи, основанным на принципе минимума полной потенциальной энергии. Подсчитаем сначала потенциальную энергию деформации изогнутой пластины. В силу второго основного допущения о ненадавливанни слоев мы вправе подсчитывать удельную энергию деформации по формуле, справедливой для упругого изотропного тела при плоском напряженном состоянии.
Подставив в эту формулу величины е„, е„, у „, определяемые зависимостями (2.51), получим 00=,, —, +2р — — + — + +2 (1 — р,) Интегрируя это выражение по всему объему пластины, получаем потенциальную энергию деформации пластины У = Ц~ 00 дх ду йг. Проинтегрировав по толщине пластины, окончательно имеем (2.54) где 0 = ЕЬ' / [12 (1 — ц~)1 — жесткость пластины на изгиб, причем в общем случае величина В может быть переменной, т.
е.' В = В (х, у). Отметим, что касательные напряжения т„, и т„, никакие влияют на значение потенциальной энергии деформации пластины, поскольку углы сдвига у„, и у„„на которых совершают работу эти напряжения, равны нулю в силу первого допущения о неизменности нормали. Потенциал внешних поперечных сил, действующих на пластину, Л = — Дри дх с1у, (2.55) где р = р (х, у) — интенсивность внешней поперечной нагрузки, т.
е. сумма всех поверхностных и объемных поперечных сил, действующих на элемент пластины, отнесенная к его площади. Полная потенциальная энергия изогнутой пластины 0 дгв д в д'в дгв дгв — — — — рв дхду. дхг дуг (2.56 В положении равновесия должно выполняться условие стационарности полной потенциальной.
энергии 63 =- О. Воспользуемся сейчас этим условием, чтобы получить дифференциальное уравнение изгиба пластин. Уравнение Эйлера для функционала полной потенциальной энергии пластины имеет вид (см. Приложение 1): дР дг дР дг дР дг дР дв дхг дгв дуг дгв дхду дгв где Р— подынтегральное выражение.в зависимости (2.56). Отсюда следует дифференциальное уравнение изгиба тонкой пластины: -" — "('И вЂ” "'%-"-"' "' Р' —,",('~( —.: ".;)- '- ь1) дг дгв +2 — (1 — р,) Р— 1 =О. дхду дхду ~ (2.57) В частности, для пластины постоянной толщины это уравнение принимает вид (2.58) дх4 дхгдуг ду4 О или г7г1~г„, (р . где 7г(*) — оператор Лапласа (2.9).
Из условия Ю = О, выполнив действия, аналогичные тем, какие были сделаны в примерах на растяжение и изгиб стержня в ~ 1.5, мож: но найти те граничные условия, которые могут быть заданы на контуре пластины 14,7), Наиболее просто граничные условия формулируются в тех случаях, когда край пластины совпадает с одной из координатных осей. Например, если такой край при у =- сонат заделан (рис. 2,17, а), то граничные условия на нем имеют вид: 1) со --- О; 2) дж!ду = О.
Если край пластины при у = сонат шарнирно оперт (рис. 2.17, 6) то на нем ( д~и д'у 1 д~в 1) щ =О; 2) Мд =0 ( + р — ) =О, т. е. — =О. ~дФ дх ) ' ' ' дд Решить уравнение в частных производных, к которому мы свели з адачу изгиба пластины, как и бигармоническое уравнение плоской задачи, исключительно труда) ~ х но.
Точное решение задачи изгиба пластины удается получить лишь в некоторых частных случаях, ав подавляющем большинстве практиче- У у ски важных задач решение находят с помощью приближенных методов. Примеры точных и приРис. 2.!7 ближенных решений уравне- ния поперечного изгиба пластин можно найти, например, в книгах 14,7). Однако в силовых конструкциях ракет гладкие тонкие пластины, нагруженные поперечными силами, встречаются чрезвычайно редко: поэтому описывать решения уравнения (2.58) мы не будем. Но это уравнение нам понадобится для решения задачи устойчивости пластин, нагруженных в своей плоскости, задачи, имеющий первостепенное значение в прочностных расчетах конструкций ракет.
Глава 3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Методы решения задач строительной механики благодаря широкому внедрению ЭВМ получили в последнее время существенное развитие. Тесное сотрудничество инженеров, математиков и специалистов по вычислительной технике создало возможности для совершенствования применяемых ранее и появления новых методов решения задач. Особенно широкое распространение получили м е т о д к о н е ч н ы х элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).
Их отличает универсальность, применимость к уравнениям и областям самого разного вида и наряду с этим большие возможности алгоритмизации и использования уже отработанных блоков программ, Они позволяют рассчитывать самые сложные и разнообразные конструкции. В настоящей главе излагаются основные прямые вариационные методы расчета деформированного состояния наиболее простых систем. Они являются предшественниками различных вариантов МКЗ и методически имеют непосредственную связь с ними.
Рассмотрена также последовательность прямого численного интегрирования уравнений применительно к одномерным краевым задачам (матричный метод начальных параметров). МКР и МКЗ представлены сначала в наиболее простых вариантах, а затем распространены на решения сложных двумерных задач. 5 ЗЛ. Варнав!ионные методы »> >И и=,'~ А», ср„(х, у); о =- '~ В„$„(х, у); и=! »=! (3.1) гв» =,'!'„С„»1„(х, у), »=! где А„, В„, ф— произвольные постоянные. Функции ср„(х, у) ли. иейно независимы по отношению к функциям !Р„» (х, у), !~„+» (х, у) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
