Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Наибольшее из отброшенных слагаемых пропорционально первой степени шага д: (3.43) где О (Л) — величина, определяющая точность аппроксимации функции. Аналогичное соотношение можно получить из ряда (3,42) Д = ® — ~г з) / д + О (Л). (3.44) Зависимости (3.43) и (3.44) показывают, что первая пройзводная в точке /может быть представлена по-разному — через значения функции в этой точке и последующей (правая разность) или в этой точке и предыдущей (левая разность).
В том и другом случае точность аппроксимации производной пропорциональна первой степени шага д. Первую производную можно представить и с более высокой точностью. Для этого из ряда (3.41) нужно вычесть ряд (3.42): ~; = ®„— ~,,) / (2Л) + О (Д ). (3.45) При решении задач часто нужно иметь разностиые уравнения высокой точности, но это связано с увеличением количества точек массива, аппроксимирующего производные. Для первой производной, как видно из соотношений (3.43), (3.44), (3.45), при точности аппроксимации О (Д) необходимы две точки, при точности О (Д') — три. Ббльшая точность требует еще большего числа точек.
Получим формулы, аппроксимирующие первую производную с высокой точностью. Для этого к соотношениям (3.41) и (3.42) нужно добавить следующие: 2Л/' 1 2дз~ ~ 4 дзу"' 1 ~ Л4Д4 1 — 2д/,' 1 2Дз/" .~ дз~ ~ 2 Л4~~~ (3Л6) (3.47) Исключая из них вначале ~~, ~,", ~~, затем ~,"', получим 5 = — ф,— 8~,,+8~,+,— ~,.+,)+0(Л'). (3.48) Это так называемая «пятиточечная» центральная разностная схема, аппроксимирующая первую производную с точностью, пропорциональной четвертой степени шага. Используя ряды (3.41), (3.42), (3.46), (3.47), можно представить вторую и другие производные в разностной форме с высокой точностью, например: Л,~, Ч- 21,+1+)+ ( ) Г =- — ( — ~; —,+16~;,— 30~;+16~;+,— ~;„)+0(Ь'). и т.
д. При расчетах иногда необходимо иметь формулы для аппроксимации производных только вправо или только влево. Их получают аналогичным путем. Например, для правых разностей Я = ( — 3~; + 4~;~, — ~;~,)1(2К) + О (Л'); (3.49) ~' = (+2~.- = 5~~ -1 + 4~~т» — ~~+ »)Ы' + 0 (Л'). Эти же производные через левые разности имеют вид ~"; = (3~; — 4~; 1 + 7;,)/(2Л) + 0 (Л'); ~7 = ( — 2~; + 5~;, — 4~;, + ~;,)/Л' + О (Л'). Все эти соотношения показывают, что хотя производные могут быть представлены в разностной форме с весьма высокой точностью, разностные схемы при этом становятся громоздкими и не всегда удобными для практических расчетов.
Поясним применение метода на примере расчета шарнирно опер- того стержня переменной жесткости ЕУ, нагруженного осевой сжи- мающей силой Р и попе- Я речной нагрузкой д х (рис. 3.2). Изгиб стержня -в. — описывается соотношением — — Е3 — ~+ Ра =~ (~ йх» 2 (3.50) Построим решение методом конечных разностей при граничных условиях: при х = 0 ж = 0; при х = — 1 в = О. В разностной форме с помощью зависимости (3.49) уравнение прогиба стержня можно представить в виде в.
+(Ая Л» 2) в,.+ в$ — (х1 — 1Х1) (3 51) оа» 2 (ЕХ)~ 7В где Й; = И(ЕУ);1; х; = Й, Л = Йп', и — число участков, на которые делится весь интеграл интегрирования, По существу выражение (3.51) — система уравнений. В развернутом виде ее можно записать: 1 = 1) ы + фЛР— 2) ю + ю = дЛ4(1 — п)Л2 (ЕУ),); К = 2) си~ + (АЗЛ' — 2) и>з + а(з = 4дЛз(2 — п)Л2 (ЕУ),1; 1 = 3) абаз+ (йззА~ 2) из+ аг, = 9лЛ'(3 — п)Л2 (ЕУ)з)' (3 52) и — 1) юи-з + (11л — 1~1 — 2) ~Из т + ~Од —. = - --(и — 1)дЛЧ2 (Е5)„Я В первой и последней строке имеются значения перемещений, которые известны (соответствуют граничным условиям) и, = в„= О. Таким образом, количество полученных разностных уравнений соответствует числу (и — 1) искомых значений функций в;.
Решение системы (3.52) может быть получено различными путями. Весьма эффективным для уравнений такого вида оказывается метод, называемый м е т о д о м п р о г о н к и. Он является вариантом метода Гаусса решения системы алгебраических уравнений высокого порядка. Для линейных уравнений (3.51) связь между значениями и в соседних точках может быть представлена в виде в~ — — и~ + ~;ы,+,.' (3.53) Величины а; и ~1,, называемые коэффициентами прогонки, в каждой 1-й точке пока неизвестны. Для предыдущей точки имеет место аналогичное соотношение а~;,=а,,+ ~;, и;.
(3.54) Исключим из выражений (3.51) и (3.54) величину в,,: — ~;,+ча' хА2 Ж11;1 1 (3 55) Р. 1 (зЗ аа 2) . Р. 1 (ДЗ У 2) '+~' Сравнивая это соотношение с выражением (3.53), получим рекуррентные формулы для коэффициентов прогонки й; — "' '+ча~ "'("' 11112 (~11'1 р — 1, (3.56) т+(й~з аз — 2) .
' ~1~ +(йз Ьз — 2) связывающие значения коэффициентов в соседних точках. Расчет с использованием метода прогонки состоит из двух этапов: на первом с помощью рекуррентных формул (3.56) определяются коэффициенты прогонки, на втором — из соотношений (3.53) последовательно находятся значения величины и в каждой точке.
Для того чтобы начать расчет, нужно найти начальные значения коэффициентов а; и р;. Воспользуемся первым уравнением системы (3.52) и, учитывая, что ы„== О, получаем дЛ4 1 — п 1 2(ЕУ1~ Ц Л' — 2 А' М вЂ” 2 Коэффициенты и„~„а„~, и т, д. находят последовательно по формулам (3.56). Особенность расчета методом прогонки состоит в том, что при определении коэффициентов при прямом ходе (рис. З.З) необходимо их «запоминать», чтобы впоследствии по формуле (3.53) найти значение а;.
Для граничного условия на правом конце а~„ =- 0 при 1 = и — 1 получаем и„ 1 = а„ ,. Величина ы„ , = а„ , + р„ , Х Х в„ ,. Обратный ход позволяет определить все значения щ, В рассмотренном примере гранич.*Полиоо. ход ные условия заданы относительно определете и; р; искомой функции. Решение задачи, когда на границе задана производная, имеет некоторые особенности. 0 ~ 2 о-Л и-~ о Положим, что имеют место условия: аале а хн опреоеоение ы; при х=0 Аа'+Ва =С и при х = — 1 Ры'+ Еи = Е. (3.57) Запишем эти соотношения в разностной форме, представив производную с той же точностью, что и в дифференциальном -уравнении.
Это можно сделать, использован, например, центральные разности (3.45), (3.48), но тогда необходимо рассматривать законтурные точки (~ = — 1; ~ = и+ 1), При этом уравнения (3.57) примут вид А (а~1 — а~-1)!(2Л) + Выо = С' Р (а~„+1 — в„—,)/(2Л) + Ещ, = Р. (3.58) Увеличим длину стержня на размер Л влево и вправо и добавим к системе (3,52) еще два уравнения: ж, + (й0Л' — 2) а), + в1 = 0; Значения ы, и в„+, теперь могут быть исключены с помощью соотношений (3.58).
Для дальнейшего расчета нужно воспользоваться той последова* тельностью решения задачи, которая была применена ранее. Граничные условия (3.59) в разностной форме можно записать, не используя законтурные точки. Сохраняя точность аппроксимации про~ изводной 0 (Л'), рассмотрим первое соотношение (3.49'). Для левого края стержня граничное условие примет вид ( — ЗА + 2ЛВ) а>о + 4Аа~1 — Агоя — 2ЛС = 0 (3 59) Отсюда и из первого уравнения (3.52) нетрудно найти начальные значения коэффициентов прогонки а,; р,.
Для правого края стержня при расчете нужно воспользоваться аппроксимацией первой производной влево с точностью 0 (Л') (ЗР + 2ЛЕ) са„— 4Рю„, + Рв„, — 2ЛР = О. (3.60) Это соотношение позволяет при обратном ходе начать определение всех значений перемещений ю;. Аппроксимация граничных условий (3.59) и (3,60) избавляет от необходимости рассматривать законтурные точки и уменьшает число точек массива, $3А. Применение метода конечных разностей для решения двумерных задач Задачи расчета конструкций, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, могут быть решены м е т о д о м к он е ч н ы х р а з и о с т е й.
Более громоздкие по сравнению с одномерными задачами они предполагают использование аппаратаматричной алгебры и ЭВМ. Общий случай напряженно-деформированного состояния двумерных систем может быть сведен к матричному уравнению: (3,62) [А1 = ИА,1 [А,] [А ~1 [А,] [А,1 [А,И. Тогда уравнение (3.61) может быть представлено в виде [А1 (Ф) = (Р). (3.64) Уравнение (3.64) является достаточно общим — им может быть описано поведение таких двумерных систем, как тонкие пластины, мембраны, оболочки и др. Например, для мембраны, нагруженной нормальной к поверхности нагрузкой р (х, у), имеющей предварительные усилия Т, вектор (Д нмеет только первую составляющую, отличную от нуля.
Она соответствует нормальному к поверхности прогибу и/. Матрица [А] имеет все нулевые члены, кроме первых двух, равных единице, а вектор нагрузки (Р) = р (х, у)(Т. Уравнение (3.64) принимает вид (3.65) дх ду~ т [Ах] —, Щ+ [Аа] — Щ+ [Аз1 (Д+ [Аа] — ®+ +[А,1 — (О+[Аа] В =ГЬ (3.61) где Я вЂ” вектор, содержащий компоненты усилий и перемещений; [А,1 ... [А,] — квадратные матрицы; (Р) — вектор нагрузки.
Необходимо получить решение этой системы уравнений при граничных условиях, заданных в каждой точке граничного контура и выраженных через компоненты вектора Я и его первые производные похиу. Представим уравнение (3.61) в более компактном виде, для чего введем вектор производных д/ д/ д/ д/ д/ ]. дх~ ду~ дх ду дх ду н матрицу, состоящую из блоков ври решении задач методом конечных разностей на область инте* грирования наносится сетка, состоящая из четырехугольных (рис. 3 4, а) или треугольных (рис.
3 4, б) элементов. Выделяют несколько элементов, имеющих центральную узловую точку О. а) Рис. Э.4 1~ —— ' 1+ Лх~ — + Лу3 — + — Лх,' — + д1 Ц 1 д~1 дх дд 2 дхх +1ЛУ,' а' +Лх;ЛУ; д~ 2 ду' дх ду (3.66) Здесь все производные и сама функция ~ соответствуют точке О; Лх;, Лу, — расстояния по осям х и у от точки О до точки ~ (рис, 3.4, а). Число соотношений (3.66) зависит от количества точек, расположенных вокруг центральной точки. Например, для четырехэлементной прямоугольной девятиточечной разностиой схемы (рис. 3,5), где Лх~ = Лхв Лхх = Лх1 Лх3 = ЛХ1 Лх4 01 Лх5 Лх1 Лхи = Лх1 ЛХ7 Л~хз ЛХВ О1 у1 Лу1 уи 1)1 Л~ух Лу1 Лух = — Лу; Лу, = — Лу; Лу, = О; Лу, = Лу; Лу, = Лу, запишем соотношения (3.66) для каждой из восьми точек.
Из всех этих уравнений можно получить несколько вариантов записи производных. Один~из них следующий: (1а 14)+О(ЛХ ); д~ 1 дх 2Лх - — (~,— Р,)+О(Лу ); д~ 1 Я ° ду 2Лд — = — Д вЂ” 2~, + ~~~ + О (Лх~); а1 ах Лх а~1 — ~ = — Вв — 2$о+ 1а! -1'- О (ЛУ'Б Лух — - — а — ! <-1 — ~,~~-о~~к)~оЮН) ф~ дх дд 4Лх Лу (3.67) Частные производные функции 1'(х, у) нли вектора Я в точке О с помощью ряда Тейлора могут быть представлены через значения функции или вектора в соседних точках 1, 2, 8 ...: Точность аппроксимации производных здесь соответствует квадрату шагов Лх и Лу.
Представим (3.67) в матричной форме. Введем вектор узловых точек разностной схемы И ) (Ы4 ИоЫЛ~У Связь между векторами (Ф) и (~р) определяется матрицей (Ф) = [С1 '(И, (3.69) где 1 0 Ьх' 0 О 2 0 0 Ьхз 1 О 2 Ьу~ Ьу~ — 0 Ьх' 0 . 0 О 0 0 1 — 0 4ЬхЬу ! 0 2Ьх 0 0 О 4 ЬхЬу 0 1 0 4ЬхЬу 1 — — 0 2Ьх 0 0 [С1 = 4ЬхЬу 0 0 0 0 0 Π— 0 2Ьу 0 0 1 2Ьу 0 О 0 0 0 0 Подставив выражение вектора (Ф) в уравнение (3.64), получим соотношение И1 (р) = (Л (3,70) соответствующее разностной форме общего уравнения (3.61), где [Я = = [А1[С1. Разностиая схема (матрица [С1) содержит девять точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
