Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Приводимые в главе уравнения могут быть использованы для расчета как изолированных шпангоутов, так и шпангоутов, подкрепляющих тонкую обшивку. Кроме того, задача изгиба кругового кольца имеет методическое значение: сравнительно простые уравнения равновесия элемента кольца и зависимости, связывающие перемещения и деформации, весьма полезны для облегчения понимания вывода уравнений теории оболочек вращения. В общем случае нагружения кольцо испытывает изгиб в своей пло скости, кручение и изгиб из плоскости (7,20). Однако для простоты изложения в главе рассмотрена только наибочее важная задача — изгиб кольца в своей плоскости.
В 4Л. Уравнения изгиба кольца в своей плоскости Чтобы получить общие уравнения изгиба кольца, используем гипотезы технической теории изгиба тонких стержней: гипотезу плоских сечений и гипотезу ненадавливаиия слоев. Эти гипотезы (см. ~1.5) применимы для расчета не только йрямых стержней, но и стержней, у которых размеры поперечного сечения малы по сравнению с Радиусом кривизны оси. Рассмотрим круговое кольцо (рис, 4.1, а), нагруженное в своей плоскости переменными радиальными и касательными погонными силами д, = 0, (ср) и дд — — д„(ср) и распределенным моментом т и (~р). Если одна из главных осей поперечного сечения кольца лежит в плоскости кольца, то такое кольцо после деформирования останется пло ским и в нем возникнут только изгибающие моменты М = М (~р), нормальные У = У (~р) и поперечные Я = Я (Ч) силы, Уравнения равновесия элемента кольца составим в линейной постановке, не учитывая изменение его геометрии (рис. 4.1, б).
Приравняв нулю сумму проекций всех приложенных к элементу сил на на- Рис. 4.1 правления касательной и нормали к оси кольца в точке А и сумму моментов, получим, отбросив слагаемые высших порядков малости, три уравнения (4А) где Я вЂ” радиус кривизны оси кольца. Иенлючаи иа пераих двух уравнений нормальную еилу У~йрахол дим к системе двух уравнений Й~Я + ~ )~ д(~, — = Яй+ Вл. дМ Иф Исключая из этой, системы уравнений поперечную силу Я, получаем дифференциальное уравнение относительно изгибающего момента: — + =-й' ~* +д„+ Я вЂ” ~+ и .
(4.3) Теперь рассмотрим изменение геометрии. кольца, связанное с его изгибом (рис. 4,2). Материальное волокно АВ, совпадающее с элементом оси кольца, в результате изгиба кольца займет положение А,В,. Радиальные и касательные перемещения точки А этого волокна обозначим соответственно через иу. и и, а угол поворота касательной в этой точке — через ф.
Введем подвижную ортогональную систему координат, направив ось у по касательной к оси кольца в точке А, а ось Я1" 4 Я Рис. 4.2 г — по нормали к оси кольца в этой точке (рис. 4.2, а). В такой систе- ме точки А; В; А,; В, имеют (с точностью до величин высших поряд- ков малости) следующие координаты: Используя формулу разложения р'1+ я = 1+ — а — — а ..., 1 1 подсчитаем длину элемента А,В;. АВ1 =У(УВ,— УА,) +БАЯВ,— 2А,) =Иф 1+ — ы+ — + — — ~ — и =Иф 1+ — в+ — + — —, — — о +... где ул„ув„гл, гв, — координаты соответствующих точек.
Поскольку АВ = Яйр, то удлинение элемента АВ Ограничившись слагаемыми, линейными относительно перемещений, получим е= — и+в (4.4) Для определения угла поворота ф касательной подсчитаем проекцию элемента А,В, на ось г. При малых е и ф, пренебрегая величинами высших порядков малости, имеем: А,В~ з1п ф = Яфдф. В то же вре- лю А д...О г...О в А, в, Яйр 6 Яйр+ о+ йо+ вакф О Ю и+йю — олаф мя эта проекция равна разности соответствующих координатточек В, и А„т.
е. (гв, — гл,) = Ы вЂ” од~р, Сравнивая два последних выражения, находим ~(4.5) До деформации кривизна оси кольца была равна 1Я. Изменение кривизны оси кольца, связанное с изгибом, обозначим х; по определению величина х равна скорости изменения угла поворота касательной по дуге деформированного кольца: х=— д$ (4.6) дя~ где й~ — — Лйу (1 + е) — элемент деформированной оси кольца. Обычно при подсчете изменения кривизны к можно пренебречь растяжением оси кольца, т. е. положить е т О, откуда в ~ — —.
<Ь йр' Тогда величину х можно подсчитать по любой из следующих формул: (4.7) Найдем удлинение в слое кольца, отстоящем на расстоянии г от оси (рис. 4.2, б). Гипотеза плоских сечений позволяет установить кинематическую связь между перемещениями и и ы точки А оси кольца и перемещениями ос*~ и аМ точки Аоо рассматриваемого слоя.
В силу этой гипотезы угол поворота д нормали равен углу поворота ф касательной: (4.8) В силу той же гипотезы перемещения точки А~4 в~') = ы ! о<'> = о — гд, (4.9) Для определения деформации з~'> рассматриваемого слоя достаточно в формуле (4.4) заменить перемещение о перемещением с<') и Радиус Р радиусом Я~'~ = й+ г. В результате получаем з(г)— 1 ~ «Ь дб~ ~го + — — г — ~. Р (1+гИ) ~ дар дф,~ ' Отсюда, учитывая формулы (4.4), (4.6) и (4.8) и считая для тонких колец г< Я, приходим к формуле з<'~ = в — гх.
(4.10) 107 (4,11) где Я вЂ” площадь поперечного сечения. Изгибающий момент определяется выражением М = — ~ а">гд5 = Е3х, (4.12) где 1 — момент инерции поперечного сечения. Здесь знак момента выбран так, что положительное направление момента соответствует положительному значению величин сРыйф' и в. Внутреннюю поперечную силу Я нельзя выразить через перемещения непосредственно с помощью закона Гука, поскольку в силу гипотезы плоских сечений угол сдвига у, = О.
Аналогично, если при решении задачи используется дополнительное допущение о нерастяжимости оси кольца, то для определения внутренней нормальной силы 1Ч 'нельзя использовать формулу (4.11). При дополнительном допущении з = 0 из формулы (4.4) следует зависимость (4.13) При постоянной изгибной жесткости кольца (Е7 = сопз1)', использо. вав формулы (4,7) и (4.12), уравнению (4.3) можно придать такой вид — — "+2 — "+и '= — ~ й ~'+д„+ — ~+т . (4.!4) Составим выражение полной потенциальной энергии кольца с не- растяжимой осью.
Энергию изгиба кольца подсчитывают так же, как энергию изгиба прямого стержня (см. с. 27): 2й У = — ~ ЕЛк'Мф. - . (4.'15) 2 Потенциал внешних сил кольца, нагруженного, как показано на рис. 4.1, а, очевидно, равен 2л П = — ~ (дно+ д,и — тд) И(Р. о Заметим, что входящую сюда величину х можно подсчитывать по любой из формул (4.7). Перейдем к определению соотношений, связывающих внутренние силы в кольце с его перемещениями. По гипотезе о ненадавливании слоев напряженное состояние в кольце можно считать одноосным. Тогда нормальные напряжения будут связаны с удлинениями простейшей формулой закона Гука а<'~ = Ез~'>, где Š— модуль упругости материала кольца, а е~'> подсчитано по формуле (4.10).
Нормальная сила в поперечном сечении кольца Заметим, что знак величины тд отличается от остальных, поскольку положительные направления угла б и распределенногомомента и не совпадают. Используя выражение (4.13), справедливое для кольца с нерастяжимой осью, можно все слагаемые полной потенциальной энергии выразить через касательное перемещение о: (4.17) Условие стационарности полной потенциальной энергии ЬЭ = О приводит к дифференциальному уравнению изгиба кольца: как легко проверить, уравнение (4.14) является уравнением Эйлера (см.
Приложение 1) функционала полной потенциальной энергии (4.17). Кроме того, условие 69 = О можно использовать для построения приближенных решений задач изгиба кольца. ф 4.2. Определение внутренних сил и моментов в замкнутом кольце Предположим, что все действующие на замкнутое кольцо (рис. 4.3, а) внешние силы и реакции опор заданы или могут быть найдены из уравнений статики. Нагруженное в своей плоскости замкнутое кольцо в общем случаетри раза статически неопределимо. Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся м е т о д о м с и л.
Рис. 4.3 Чтобы составить канонические уравнения метода сил; разрежем кольцо в сечении др = О и приложим неизвестные силы Х„Х„Х, (рис. 4.3, б). Изгибающие моменты от единичных сил и единичного момента, соответствующих неизвестным Х„Х„Х„равны (4.18) 109 М, = 1; М, = 1 Д з1п р; М,, = 1 й (1 — соя ~). Обозначим через Ме изгибаю|ций момент в основной системе от заданных внешних нагрузок и, пренебрегая деформациями кольца от растяжения и сдвига (по сравнению с деформациями от изгиба), получим систему канонических уравнений б„Х, + б1зХз + б1зХз + 61е = 0; бз,Х1 + ЬззХз + бззХз + бзик = 0; (4.19) бз1Х1 + бззХз + бззХз+ бзр = О, где М~М; б„=б;, =~ — ''Яду; о (4.20) 6;р= ~ ' "Яд~р, РМ,М Е7.
Е1 = ЕУ (~р) — жесткость кольца на изгиб в его плоскости. Определив из системы (4.19) неизвестные Х,; Х,; Х„находим изгибающий момент М = М (~р), действующий в сечениях замкнутого кольца: М = Х, + Хзй з1п ф + ХД (1 — соз ~) + Ме. (4.21) Сопоставляя систему канонических уравнений (4.19) и выражение (4.21), можно получить три важных интегральных условия, каким должен удовлетворять закон изменения изгйбающего момента М = = М (~р) в замкнутом круговом кольце: 2з зл 2я — Й<р=О; ( ' д~у =0; ( мсозч дар=О. (4.22) а Е1 ' ~ ЕГ о о Геометрический смысл этих условий тот же самый, что и геометрический смысл трех канонических уравнений: отсутствие в разрезанном замкнутом кольце взаимных смещений по направлениям силовых факторов Х„Х,, Х .
Другими словами, выполнение интегральных условий (4.22) обеспечивает в замкнутом кольце выполнение равенств ф (0) =ч~ (2л); гю(0) = ы(2л); о(0) = о(2л). (4.22') Нормальные и поперечные силы можно найти по формулам У = Хз соя ф + Хз 51п ~ + УР1 ~ = Х, соз <р + Х, з1п <р + Яр, (4.23) где Уе = Уе (~р) и Яр = Яе (~р) — нормальные и поперечные силы от внешних снл в основной системе. Определим, например, с помощью метода сил внутренние силовые факторы в замкнутом круговом шпангоуте постояннойизгибной жесткоатн Е3, нагруженном сосредоточенным моментом Мз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
