Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В качестве следующего примера возьмем шпангоут (см. рис. 4.5, а), нагруженный в сечении ч = О сосредоточенной касательной силой Тг — — Т и касательной распределенной силой, изменяющейся по закону (4.29). По формулам (4.63) находим В данном примере и для изгибающего момента ряд оказывается достаточно быстро сходящимся: из выражения (4.71) получаем п=2 Наконец, в тех случаях, когда на кольцо действуют только распределенные касательные'силы, а сосредоточенные касательные нагрузки отсутствуют, ряды достаточно хорошо сходятся и в выражениях (4.72) и (4,73), определяющих силы Ц и У. Для колец постоянной жесткости результаты, полученные методом Рэлея — Ритца, можно получить, интегрируя в тригонометрических рядах уравнение (4.14).
При этом правую часть уравнения следует разложить в ряд Фурье и решение искать в виде (4,56). Такой метод решения приводит к тем же самым окончательным зависимостям (4.68) ... (4.73). В заключение отметим, что определять перемещение кругового кольца обычно удобнее с помощью тригонометрических рядов, а не путем аналитического интегрирования уравнений изгиба кольца. Однако внутренние силы и моменты, как правило, надежнее и удобнее находить одним из методов, изложенных в ~ 4.2.
Часть // ОСНОВЫ ТЕОРИИ И РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ Глава 5 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ Теория оболочек лежит в основе расчетов на прочность тонкостенных конструкций, в том числе сложных и ответственных отсеков и агрегатов ракет. Общая теория основывается на гипотезах, позволяющих свести сложные трехмерныс задачи механики к двумерным.
Однако уравнения равновесия и геометрические соотношения при этом оказываются весьма громоздкими. Их можно упростить, если рассматривать наиболее распространенные в ракетной технике оболочки вращения. Тем не менее решить задачи аналитически удается лишь в отдельных частных случаях. Наиболее простой вариант — б е з м оментная теория оболочек.
Она широко применяется при расчетах, позволяя в большинстве случаев получить простые решения. Более сложныс подходы требуют создания численных алгоритмов расчета. В этой главе даются основы безмоментной и и о м е н т н о й т ео р и и оболочек вращения при осесимметричном и несимметричном нагружении. Уделяется внимание пояснению механического смысла каждого из сложных соотношений теории оболочек и возможности построения приближенных решений задач. $5.1. Геометрия оболочек Основными геометрическими понятиями теории оболочек постоянной толщины являются понятия срединной поверхности и слоя оболочки.
С р е д и н н о й или средней поверхностью оболочки называется поверхность, равноудаленная от ее внутренней и наружной поверхностей. Срединная поверхность делит толщину й оболочки пополам. Откладывая по внутренним нормалям к срединной поверхности оболочки отрезки длиной г и соединяя их концы, получим новую поверхность, которую назовем слоем г оболочки.
Поверхность г = Й/2 соответствует внутренней поверхности оболочки, а поверхность г = — Ы2— внешней (рис. 5.1, а). Произвольную точку срединной' поверхности вращения определим как точку пересечения параллели и меридиана (рис. 5.1, б). Каждой параллели будет соответствовать угол 8 между осью вращения оболочки и нормалью а к срединной поверхности; это как бы широта параллели, отсчитываемая от северного полюса. Положение меридиана на этой поверхности можно определить углом Ч в плоскости параллели.
Система координат В, ~р и г определяет положение произвольной точки А, внутри тела оболочки. Это а) ортогональная криволинейная система координат в пространстве, В точке А срединной поверхности можно построить три взаимно ортогональных вектора единичной длины: вектор касательной к меридиану 1„ вектор касательной к параллели 1, и вектор нормали а к поверхности. Векторы 1, и 1, лежат в плоскости, касательнойк поверхности. При движении точки А по поверхности трехгранник, образованный векторами 1„1, и й будет перемещаться в пространстве, обкатывая плоскостью 1~1, поверхность. В дифференциальной геометрии этот трехгранник называется т р е хгранником Дарбу. Вместо угловой координаты О можно ввести координату з, отсчитываемую по длине меридиана срединной поверхности.
Точка пересечения О, двух бесконечно близких нормалей в плоскости меридиана будет центром кривизны меридиана. Кривизна меридиана определяется как величина, обратная радиусу кривизны Я,: ае ав 15.1) Яд дЯ Ъ' Если нормалью и, двигаясь по окружности параллели, разрежем оболочку, то в сечении получим поверхность конуса с длиной образующей Ь. Вершина этой конической поверхности будет в точке О, на оси вращения оболочки (ось х на рис. 5.1, б). Отрезок АО, определяет размер второго радиуса кривизны Я, срединной поверхности. Это радиус кривизны в точке А плоской кривой, образованной пересечением срединной поверхности е нормальной плоскостью и 1„в которой лежит. касательная 1, к параллели в точке А. Рассмотрим еще одну характерную точку О, пересечения касательных к меридианам, проведенных из точек одной параллели, В сн- 1Я8 Пусть х — координата, отсчитываемая по оси вращения срединной поверхности.
Тогда х и г можно рассматривать как декартовы коор- динаты в плоскости меридиана. Следовательно, — =ып 9, — =сов 9. 4х . сь. (5.4) й дз Умножая обе части уравнения (5.2) на яп 9 и дифференцируя по 9, получаем — = — (И, яп 9) — ''яп 9+ Я, соз 9. й й Ы, ~о ав йО -' Но согласно формулам (5.1) и (5.4) Ь аг Ь. — = — — =Я, соз 9, 60 йз йз следовательно, — '=(й,— К,) с(д 9. 69 (5.5) Уравнение (5.5) является важным соотношением, связывающим радиусы кривизны Я, и К, срединной поверхности оболочки. Пусть две точки А и В соответствуют приращению дф угловой координаты д в плоскости параллели. Длина дуги АВ равна где.
Угол йр между двумя соседними нормалями АО, и ВО, определится из ра- венства Я,Й~ = гор, т. е. дф = — ~~р =з~п 9 ~~. (5.6) рй Угол ду между двумя отрезками О,А и О,В определяется из равенства адХ = гни, откуда с1К = — сЬр = соз 9 й~р. (5.7) й Пусть г ледствие каких-либо причин оболочка деформировалась. Обозначим через и, и и ю перемещения точки А срединной поверхности соответственно вдоль меридиана, параллели и внешней нормали 129 з зим. иф лу симметрии точка О, также будет лежать на оси вращения срединной поверхности.
Обозначим радиус параллели поверхности через г и длину-отрезка АО, — через а. Отрезки АО, и АО, образуют в точке А ~(рямой угол. Из рассмотрения треугольников О~АО и О~АО получаем Я, = гlя'и 9; (5.2) а = г7соз 9. (5.3) (рис. 5.2, а). Перемещения в направлении оси х и радиуса «(рис.
5.2, б) будут: и„= из1п0 — и с 0; (5.8) и„= и соя 0 + в з1п О. (5.9) Перемещения и, а, и, и,, и и их производные будем считать достаточно малыми, т. е. можно пренебречь их квадратами и,произведениями. Ы.- '-~ Определим деформации срединной поверхнос т и оболочки. Рассмотрим на этой поверхности элемент АА,В,В (рис. 5.3), образованный пересечением двух близких меридианов и а) Рис.
5.3 Ряс. 5.2 параллелей. Длины дуг ВВ, и АА, равны й = й,с10, длина дуги АВ равна «йср, дуги А,В, — (» + д») д~р. Площадь четырехугольника АА~В,В'с точностью до величин высшего порядка малости равна «ййр. Будем считать перемещения и, а, ы~, и, и и„функциями независимых переменных 0 (или з) и с~. В результате перемещения и элемент АА, (рис. 5.4) длиной й получит относительное удлинение ди 1 ди дз Я, дО Перемещения о перпендикулярны плоскости меридиана и при принятом предположении об их малости они, не вызывут его удлинения.
Относительное удлинение элемента АА, от перемещения ы~ можно найти как относительное удлинение в/К, дуги окружности радиуса Р,. Полное относительное удлинение элемента АЛ, равно г = — ( — + и . (5.10) Д,~ дВ Выражение (5.10) определяет деформацию срединной поверхности в плоскости меридиана. Относительное удлинение элемента АВ параллели легко получить, повторяя соответствующие ра:суждения. Так как малые перемещения и, не вызовут удлинений элемента АВ, то достаточно рассмотреть перемещения только в плоскости параллели. 130 дч — дВ ав Рис. 5.4 . Поскольку началыгая длина элемента АВ равна гс1гр, получим для относительного удлинения а2 выражение (5.11) г ~ д<р или с учетом формул (5.9) и (5.2) а, = — — — + — соз 8+ — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
