Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть нужно найти решение уравнения Е,(со) = О, где 1. — дифференциальный оператор; з — функция, зависящая от двух переменных х, у. Граничные условия задачи однородные. Пред- ставим решение в виде ы= '~ ~С„т~„(х, у). (3.14) и=1 Каждая из функций п„(х, у) удовлетворяет всем граничным условиям задачи, а ф— произвольные коэффициенты. Подставим выражение (3.14) в уравнение (3.13), и так как это выражение в общем случае не является решением уравнения (3.13), то левая часть его не равна нулю, а соответствует функции й, которую называют функция-ошибка: Е ~ ~~ С„т1„(х, у) =К(С„, х, у).
~ л=1 (3.15) Потребуем выполнения условия ортогональности функции-ошибки к каждой функции и„. Это условие сводится к т следующих уравнений: 1"1 Р (С, х, у) т~~ (х, у) с(х йу = О. (3.16) Они и позволяют найти все значения С„. Индекс 1 у функции и показывает, что иможетбыть не равно1(1 = 1, 2, 3, ..., т). Требование выполнения условия (3.1б) может следовать и из общих вариационных соотношений. Поясним это на примере задачи об изгибе балки.
Уравнение (3.4) соответствует минимуму полной потенцию альной энергии системы. Если решение и =,'~', С,„п„(х) выбрано так„ п=1 что оно удовлетворяет не только геометрическим, пои силовым гранич- нь1м условиям, то второе слагаемое в формуле (3.4) равно нулю, и оста- ется соотношение ! 63 = Е3 — д бюдх=О. о Если в это вариациопное уравнение вместо вариации перемещений подставить выражение бы~ — - ~ 6 С„11„(х) и учесть,. что вариаппн коэффициентов произвольны, то придем к формуле ~! ЕУС„" ч" ' — д ц,(х) дх =О, а которая и является выражением метода Бубнова — Галеркина для балки, а в более общем виде определяется уравнениями (3.18).
Таким образом, все коэффициенты С„в функции (3.14) находят из уравнений (3.16). Число уравнений и соответствует числу искомых коэффициентов. Один из наиболее сложных вопросов при применении метода Бубнова — Галеркина — выбор системы функций ~1, удовлетворяющей как геометрическим, так и силовым граничным условиям. Представим вариант метода, позволяющий облегчить этот выбор. Положим, что дифференциальное уравнение (3.13) имеет одну переменную и разрешено относительно старшей производной Е (и) =- ю" (х) + А (ю) + В (х).
(3.17) Представим в виде ряда не саму функцию, а ее старшую производную т ы". (х) = '~ С„т~„(х). (3.18) и=-1 Интегрируя это соотношение, получим перемещение ш, выраженное через А новых констант. Они могут быть определены и связаны с параметрами С„через граничные условия. Таким образом получается новая система функций в (х), удовлетворяющая требованиям метода Бубнова — Галеркина и имеющая т неизвестных параметров. Дальнейшие операции проводятся в обычной для метода последовательности. $32. Матричный метод начальных параметров Метод начальных параметров широко используется при построении решений одномерных линейных и нелинейных задач строительной механики.
Он известен также как метод стрельбы, баллисаический, метод комбинации решений и основан на сведении краевой задачи к ряду задач для той же системы уравнений, но с начальными, а не граничными условиями. Рещение для двухточечной задачи (когда граничные условия заданы в начале и конце интервала интегрирования) находят следующим образом. На левом конце из граничных условий известна только часть значений искомых функций. Для того чтобы начать интегрирование„ необходимо задать некоторые начальные параметры, число которых равно количеству граничных условий на правом конце.
Ин'тегрирование ведется несколько раз, пока не будут удовлетворены граничные условия в конце интервала интегрирования. Процедура поиска решения в этом случае может быть довольно трудоемкой, особенно при высоком порядке дифференциальных уравнений. Существуют методы, позволяющие упростить процесс нахождения решения. Рассмотрим последовательность решения методом начальных параметров. Одномерные задачи расчета конструкций могут быть сведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка — (у)+ [А) (у) =(Ц. (3.19) Вектор (д) = (д,д, ...у„)г, называемый в е к т о р о м с осто я и и я, и в е к т о р н а г р у з к и (Е) имеют размер п, [А) — квадратная матрица и Хп. Условия на границах интервала интегрирования имеют вид [~), (д), = (1~)„[~1, (д), = (~)„ (3.20) где векторы (О), и (П), имеют размер и!2, а матрицы [810 и [81, прямоугольные размером и/2 Х и.
Общее решение матричного уравнения (3.19) складывается из частного решения неоднородного уравнения (г) и решения уравнения без правой части: (д) - ()+[И (С), (3.21) где (С) †, вектор констант, число которых соответствует порядку системы. Матрица [Л общих решений однородного уравнения — квадратная размером п Х п. Решение (3.21) может быть также записано в виде (д) с1 (д1) + С2 (д2) + ' + (г) Векторы (д,); (д,) и др. — частные решения однородного уравнения (3.19). Подставляя выражение (3.21) в формулы (3.20), получаем [Л), (а), +[И,[И,(С) = (~),; И! (~)1+ [13),' [1'), (С) =- (О)1, откуда определяют вектор констант: ~[В[.
[1 [.1=' ! Р).— [В). (з).1 [[В[,[11, ~ ~ (О), [В[,(г),~ ' (3.23) Таким образом, для нахождения констант в решении (3.21) необходи- мо иметь значения матрицы общего решения однородного уравнения и векторов частного решения в начале и копие интервала интегрирова- ния. Вектор (г) определяется любым частным решением, например найденным путем интегрирования системы (3.19) при начальном значении (г), = (ООО ... О)г.
(3.24) Матрица однородных решений может быть подсчитана с помощью численного интегрирования системы (3.19) при (Р) = О для начальных значений 1 О О ... О О 1 О ... О (3.25) О О 1 ... О О О О ... 1 Вектор (г), и каждый вектор-столбец, составляющий матрицу [1'1„, играют роль начальных параметров, позволяющих получить и линейно независимых частных решений. Значения матрицы [И~ и вектора (г), соответствуют концу интервала интегрирования.
При решении краевой задачи, описываемой системой уравнений четного порядка п, пl2 граничных условий должны быть удовлетворены на одной из границ, а оставшиеся л/2 — на другой. Если перед интегрированием системы уравнений выбрать начальные параметры определенным образом, то решение можно упростить. Представим решение в той же форме (3.21), но вектор констант (С) пусть имеет размер а~2. Построим решение (3.21) так, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям при любых значениях вектора констант. Тогда вектор (С) может быть определен из половины полученных уравнений, тех, которые удовлетворяют граничным условиям в конце интервала интегрирования: (С) = [[В1, [1'1~1-' ((В), — [В1, (з),).
(3.26) Рассмотрим пример описанного метода применительно к расчету балки. Дифференциальное уравнение поперечного изгиба балки имеет вид где и~ — перемещение; д — распределенная нагрузка; изгибная жест- кость Е1 балки может быть переменив вдоль оси х. Запишем уравнение поперечного изгиба балки в виде ЫЯх — д =-- О, ЮЯх 1- М1(Е3) — — О, дМЯх — Я = О, г[ЯЯх =- — д. Здесь ы, д, М, Я вЂ” соответственно перемещение, угол поворота сечения, изгибающий момент и перерезывающая сила в балке. Найдем~ решение этой системы уравнений при граничных условиях: при х = О ш=Оид= О;прих=1 и= ОиМ = О. г1а левом конце из всех искомых функций известны две: ~а, и д,. Начать интегрирование уравнений (3.27) можно, задавшись значениями начальных параметров М0, ф,.
Чтобы найти выражения для ы, д, М, Я при любых х, воспользуемся одним из методов численного интегрирования. Например, в соответствии с методом Эйлера уравнения (3.27) представим в виде в; ~ 1 =- ю, + д, А; М;+1 =- М, + ~, Л; д;,, = 11,. — — ' Л; Я; ь ~ == Р; — у, ~ М; (3.28) ЕХ где Л = Мп — шаг интегрирования; и — число участков, на которые делится интервал 0 — 1; ~ — номер промежуточной точки. Из формул (3.28)„имея значения перемещений и усилий для (1 = 0), можно найти их в точке (~ =- 1). Затем последовательно для ~ = 2, 3, ...
определяют значения а~, О, М, Я во всех точках вплоть до 1 = и (х =- 1). Так как начальные значения М, и 1~, произвольны, полученныезначения искомых функций в конце интервала интегрирования не удовлетворяют граничным условиям при х = 1. Расчет нужно повторить и вести его, подбирая М, и ф, до тех пор, пока условия при х =- 1 не будут удовлетворены. Этот подчас сложный поиск может быть упрощен. Рассмотрим подробнее решение данной задачи, используя матричную процедуру, описанную выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
