Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Так, нз уравнений (1.71) следует, что при Р =- Р~ углы «р, и ср, связаны соотношением ср, = 2~р„а при Р = Р, соотношением ~р, =- — <р,. Соответствующие равновесные конфигурации изображены на рис. 1.14, б, причем первая из них описывает ту форму, по которой система теряет устойчивость. В качестве примера использования энергетического критерия устойчивости для систем с распределенными параметрами рассмотрим прямой стержень, нагруженный продольными силами, значения н направления которых ие изменяются при деформациях'стержня (рис.
1.15, а). Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня будем считать решенной и закон распределения по длинестержня начальных сил У = У,(х) известным. При достаточно малых значениях этих сил начальное состояние равновесия стержня с прямолинейной осью является единственным и устойчивым. Найдем условия, при которых это начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Переход стержня в новое состояние с искривленной осью зададим поперечными перемещениями первого порядка малости в = и (х) и изменение полной потенциальной энергии ЛЭ подсчитаем с точностью до квадратов этих перемещений.
Энергия деформации стержня изменится, во-первых, за счет появления энергии изгиба, определяемой выражением (1.65): ! ЛЦ, = — ' Г~(ш )~ ~х, о во-вторых, в результате изменения энергии растяжения-сжатия, поскольку начальные силы У, совершат работу на удлинениях второго порядка малости, возникающих вследствие перемещений а~. Как следует из рис. 1.15, б, удлинения равны л,в,— лв ! '! 8— — — 1 —,, — 1 — — (в')'. АВ сок в' ! — (в')з/2+ ... 2 Следовательно, изменение энергии деформации стержня вследствиЕ этих удлинений определяется выражением 1 ьи,= — '~к,~и'РИ . 2, Ъ Внешние продольные силы на поперечных перемещениях ы работы не совершают, поэтому при переходе в новое состояние потенциал внешних сил не изменяется: ЛП = О.
Итак, при переходе стержня в новое состояние, смежное с начальным, изменение полной потенциальной энергии составит ЛЭ =АУ,+ ЛУ2 = — [Е.Т (в") + Уо (ш )'! с)х. (1.72) а Из этого выражения, используя энергетический критерий устойчивости о (ЛЭ) = О, можно получить линеаризованное уравнение устойчивости прямого стержня и те граничные условия, каким оно может быть подчинено.
Повторив преобразования и рассуждения, использованные во втором примере ~ 1.5, получим однородное дифференциальное уравнение (Е7м~") — (-Чо® ) =- 0 (1.73) со следующими однородными граничными условиями на торцах стерж. ня: 1) Е7а"' =- О (т, е. М = 0), либор' = 0; 2) (ЕЛИ')' — Уов' = 0 (т. е.
Я вЂ” У,ы' = 0), либо и = О. (1.74) Линейное однородное уравнение четвертого порядка (1.73) является основным уравнением теории устойчивости прямых стержней. Оно применимо при любых законах изменения жесткости Е,7 = ЕУ (х), при любых нагрузках и условиях закрепления стержня.
Примеры решения этого уравнения рассмотрены во П части книги. Зак, /УМ 33 Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Современная теория упругости представляет собой весьма обширную и наиболее полно разработанную область механики твердого деформируемого тела. Теорию упругости иногда подразделяют на математическую и прикладную.
«Демаркационная линия» между математической и прикладной теориями упругости довольно условна. Обычно, когда говорят о математической теории упругости, имеют в виду общую н математически строгую постановку задач, опирающуюся только на допущения о сплошности и упругости тела, и точное решение этих задач, не использующее никаких дополнительных упрощающих допущений и приближенных приемов. Однако число практически важных задач, допускающих такую постановку и решение, крайне ограничено.
Всякую сколько-нибудь сложную практическую задачу удается довести до окончательного результата только с помощью целого ряда дополнительных упрощающих допущений. Постановку и решение типичных задач при небольшом числе четко сформулированных дополнительных упрощающих допущений (гнпотез) обычно относят к прикладной теории упругости. Например, в задачах расчета тонкостенных конструкций, схематизируемых набором оболочек и пластин, чрезвычайно важную роль играют гипотезы Кирхгофа — Лява: именно на этих гипотезах построены классические теории пластин и оболочек.
Основная цель настоящей главы — на простых-примерах познакомить читателя с гипотезами Кирхгофа — Лява, используемыми в большинстве остальных разделов книги. Кроме того, в этой главе рассмотрена плоская задача теории упругости и принцип Сен-Веиаиа. $2Л. Плоское напряженное и Плоское деформированное состояния Напряженное состояние тонкостенных конструкций обычно близко к плоскому напряженному состоянию. Например, когда пластина постоянной толщины 6 нагружена контурными силами, равномерно распределенными по толщине (рнс.
2.1, а), на обеих ее наружных поверхностях компоненты напряжений а, = т„, =- тт„—— = О. Естественно предположить, что они равны нулю и по всей. толщине пластины. Для тонкой пластины, кроме того, можно предположить, что компоненты напряжений и,, и,, т,„, параллельные плоскости пластины, постоянны по ее толщине; такое напряженное состояние и называют плоским (рис. 2.1, б). Общие уравнения равновесия (1.32) в случае плоского напряженного состояния сводятся к двум уравнениям (1.33), где Х и г' в данном случае — объемные нагрузки, равномерно распределенные по координате г (объемная нагрузка 2 = 0). Все входящие в уравнения (1.33) величины постоянны и о координате г, поэтому толщина Й слоя, в котором Рис.
2.1 Для изотропного упругого тела при плоском напряженном состоянии нз закона Гука (1.45) имеем 1 ех хх — (΄— рпу); 1 еу (оу Рох)1 2 (1+1~) уху = тхуэ Е (2.1) или, если напряжения выразить через деформации, Е ~х у (ах+ Реу)1 рй о„= — (е„+ це„); Е (2.2) ~~й Е (1 — р) т у 1 — )Р 2 7ху.
При линейной постановке задачи нужные нам компоненты деформаций выражаются через перемещения и, о по формулам (1.17): ди . ду ди ду е =- — ' е =- — ' ~ = — + —. х д У д У д (2.3) Таким образом, получено восемь независимых уравнений (1.33); (2.1); (2.3), содержащих восемь неизвестных функций и; и; е, е„; у„у; о„; ау; т„„. При заданных нагрузках и граничных условиях все эти неизвестнйе функции могут быть найдены.
.' )реализовано плоское напряженное состояние, в дальнейшее решение не входит, и всюду, где это не оговорено, Й = 1. Задача определения а„, оу, т у, в общем случае плоского напряженного состояния остается статйчески неопределимой; для ее решения следует дополнительно учесть зависимости, связывающие эти компоненты напряжений с соответствующими компонентами деформаций, и зависимости, связывающие компоненты, деформаций с перемещениями.
Рис. 2.2 На контуре той области, для которой решается рассматриваемая задача, могут быть заданы как геометрические, гак и силовые граничные условия. Так, например, на части з, контура, где запрещены перемещения (рис. 2.2, а), имеем геометрические граничные условия: и = ==О, о= — О. На незакрепленной части з, контура силовые граничные условия выражают условия равновесия прилегающего к контуру злемента (рис. 2.2, 6). Условие равновесия в проекциии на ось х дает о„сЬсозр + т„о дзз1пр = р,Йз+ Х вЂ” (~Ь созр) (дзз1пР), ! где р' — угол между осью х и нормалью п к контуру.
Второе слагаемое в правой части равенства должно быть отброшено, как имеющее высший порядок малости. Условие равновесия в проекции на ось у приводит к аналогичному уравнению. Окончательно, как частный случай силовых граничных условий трехмерной задачи (см. 2 1.3), полу- чаем о„соф + т„„з1п~ = р,; т,„созр + с„ь1пр = р„, (2.4) где Р„, ро — компоненты контурной нагрузки. Дальнейшее решение можно вести двумя путями: выбрать в качестве основных неизвестных перемещения (решение в перемещениях) или напряжения (решение в напряжениях). В первом случае, выразив в зависимостях (2.2) компоненты деформаций через перемещения из системы (1.33) получим два уравнения с двумя .неизвестными функциями и = и (х, д) и о = о(х, у): д'и + ! — и д'и + !+и д'о + (1 — ') Х =О' дх' 2 ду~ 2 дхду Е д'о + ! — и д'о + !+и д'и +(1 ~) 1' О (2.5) ду~ 2 дх' 2 дхду Е Силовые граничные условия (2.4) следует тоже выразить через производные функций и и о.
Когда задача решается в напряжениях, при постоянных объемных инерционных нагрузках Х = р д'„У' = о ду обычно вводят функцию напряжений «р (функцию Зри) с помощью соотношений д2«р др дз«р «т = — хрд о = — — урд,; т = — —. (2.6) д з Д у х д д х д Тогда, как нетрудно проверить, уравнения равновесия (1.33) будут тождественно удовлетворены. Из уравнений (2.3) исключим функции и и о. Для этого первое из этих уравнений продифференцируем дважды по у, второе — дважды по х, третье — один раз по х и один раз по д. Вычитая из суммы двух первых уравнений третье, получим условие совместности дефорлса«(ий (2.7) Используя закон Гука (2,1) н соотношения (2.6), можно выразить это условие совместности деформаций через функцию напряжений «р: (2.8) Итак, мы получили одно уравнение относительно одной неизвестной функции напряжений ср = ср (х, ц).
Полученное уравнение называется бигармоническим; обычно оно записывается в такой компактной форме: Рсфср = О,' (2.8') где использован дифференциальный оператор Лапласа д (*) д' (') дха ду' При решении уравнения (2.8) заданные на контуре граничные условия следует выразить через функцию напряжений ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
