Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При д» О и р .! О, т. е.при сочетании -0,5 и= !0 осевого сжатия с внутрен- ним давлением, д„р — — 1 и -70 2 не зависит от давления р; при этом потеря устойчивости происходит по осесим- -15 метричной форме (п„р — — О) С3. 0=1~ и число полуволн в осе- вом направлении т„р оп- -Л,0 ределяется формулой В случае сжатия и в окружном, и в осевом направлениях, т. е, при р ~ 0 и д ~ 0 и при сочетании внешнего давления с растяжением в осевом направлении, граница области устойчивости состоит из отрезков прямых, соответствующих различным значениям п„р при и = 1.
Отметим, что границу области устойчивости в первом квадранте можно аппроксимировать прямой, изображенной пунктиром на рис. 8.7: Ч+Р=1. (8.72) На рис. 8.7 граница области устойчивости построена для оболочки с конкретными значениями параметров Л/й = 800 и 1/й =- 2, однако в безразмерных координатах р и д совершенно аналогично выглядит граница области устойчивости и при других значениях этих параметров. В случае граничных условий, отличных от (8.34), решение задачи существенно усложняется, но характер границы области устойчивости сохраняется тем же.
$ 8.$. Устойчивость цилиндрической оболочки при кручении и поперечном изгибе силы, приложенящий момент М = где д, — равномерно распределенные касательные ные к торцам оболочки и создающие в ней крут = 2лЯ'д,. Для решения этой задачи воспользуемся уравнением (8.20) устой- а чивости пол убезмоментн ой оболочки, которое при рассматриваемом начальном напряженном состоянии принимает вид две Ов / две дви две ~ В, — +=в ~ — +2 — + — 1+ дхв Яв ~ д<рв д~рв д(рв / Простое аналитическое решЕние этого уравнения удается получить лишь для очень длинных оболочек, игнорируя граничные условия на ее торцах.
В этом случае решением будет функция ы =- Л з1п (Хх — пр). (8,75) Здесь и — число волн, образующихся в окружном направлении; Х вЂ” параметр, определяющий шаг спирали, по которой смещаются гребни этих волн вдоль обо- лочки (рис. 8.8, б). Рис, 8,8 где Рассмотрим задачу устойчивости цилиндрической оболочки длиной радиусом Р и толщиной стенки Й, находящейся в безмоментном напряженном сбстоянии (рис. 8.8, а): 71в= О, 7„= О, ~,= — д„ (8.73) Подставив функцию (8.75) в уравнение (8.74) и сократив общий для всех слагаемых множитель А з1п (Хх — п~), получим зависимость д~~ — — — У+ — '; (и = 2, 3,...). (8.76) 1/~ 3 1 /~2~(~ ~) 2 лз(п~ — 11 2 ЯзХ Поскольку для длинных оболочек параметр Х естественно считать непрерывно изменяющейся величиной, то из условия минимума нагрузки д,„находим Х;, = В,п (и' — 1)'/(ЗВ,Я') и, ограничившись действительными значениями д,„, получим формулу Наименьшее и, следовательно, критическое значение д~„, опредсляе- мое этой формулой, соответствует п„р — — 2: д„р= ~2~:3 Я( — ') ( — ') (8.77) В частности, для изотропной оболочки ~/2ЕК / Ь ~5/2 ядз л 5/2 М„.р — — 2лЯ'д„р- -1- 3 (1 Я) 3/4 Обратим внимание на две качественные особенности полученного решения задачи устойчивости длинной цилиндрической оболочки при кручении.
Во-первых, потеря устойчивости такой оболочки при кручении (в отличие от потери устойчивости длинной оболочки при внешнем давлении) сопровождается как изгибом, так и растяжением (сжатием) срединной поверхности. Поэтому в окончательную формулу для величины д,„р входят две жесткостные характеристики В~ и В~ оболочки и уровень критических напряжений т„р оказывается существенно выше уровня критических окружных сжимающих напряжений, определяемых формулой (8.68). Во-вторых, значения критических нагрузок в задаче о кручении цилиндрической оболочки определяются с точностью до Знака, поскольку в силу симметрии изменение направления кручения оболочки не может отразиться на абсолютном значении критических нагрузок.
Ф1 Для оболочек конечной длины, когда следует учитывать граничные условия на торцах, решение усложняется. Дело в том, что входя- Окончательные формулы можно переписать в виде зависимостей для критических значений касательного напряжения или крутящего мо- мента. Так, например, для изотропной оболочки щие в уравнение (8.74) смешанные производные не позволяют получить решение в виде (8.50), Решение приходится искать в виде ряда и =- ~ А„ып ( —" — и~), ш а это приводит к весьма громоздким выкладкам. Если ограничиться двумя членами такого ряда, удовлетворив при этом лишь условия в =- 0 на обоих торцах оболочки, решение уравнения (8.74) следует записать в виде в = А з(п ~ — аф~ — з(п [ l жпх ~ .
/ (пз+2) пх Ч вЂ” Пф (8.78) Подставив эту функцию в исходное уравнение и приравняв нулю множители при одинаковых синусах, приходим вместо одного выражения (8.7б) к двум: В )~з) ~ пзп ~з 1 Р, (пз 2 пз (пз 1) ~ Х ) 2 Яз яп 1 В Дз ((и+2) зз ~з 1 Рзп(пз 1) Г чзат 2 пз(пз — 1) 1 1 ! 2 Вз (т+2) п — )+ Минимизируя величину д,„после несложных, но довольно громоздких выкладок, находим критическую нагрузку д,„„(считая при этом п' )) 1). Подчеркнем, что величины и и т нельзя в данном случае рассматривать как независимые параметры, ибо два последних выражения устанавливают между ними определенную связь, Окончательный результат можно записать так: Д,зр = -~ 9,3Я вЂ” ' — ' — (8 79) или для изотропной оболочки Для оболочек средней длины (при выполнении условий в = 0 на обоих торцах) этими формулами можно пользоваться в оценочных расчетах, не принимая во внимание остальные граничные условия на торцах оболочки.
Влияние поперечного давления на величину т„ можно исследовать тоже с помощью уравнения устойчивости полубсзмоментной оболочки. Если оболочка с заглушенными торцами помимо сил д, нагружена всесторонним внешним давлением р и ее начальное безмоментное напряженное состояние Т1о = — РЮ2 Тзз = — РК Яо = 7з, то уравнение (8.20) принимает вид + ( ~2 + 1+ ( дхз Яз ~ дфз дфз доз ! Яз ~ дфз ' д,р» 24, 1' дзв дзи ') р д~и + 1~~ 1,дхдфз +дхдфз /+ 2й дфздхз В дзэн Р дззз дзщ дзщ> р дзр дз,з ~ 3 (8.80) д"Р дИ Для очень длинных оболочек естественно считать —, (С что позволяет пренебречь последним слагаемым в уравнении (8.80).
Тогда, снова' воспользовавшись функцией (8.75), вместо зависимости (8.76) получим где р Р~ (пп 1)//~к. Минимизируя значения д,„по Х и учитывая, что, как и при р = О, минимуму величины д,„соответствует критическое число волн п„р .— — 2, окончательно приходим к зависимости — + — =1 (8.81) Здесь д,„р и р„р — критическое значения нагрузок, д, и р действующих порознь.
Последней зависимостью можно, конечно, пользоваться и для случая внутреннего давления, изменив знак при р на обратный. Граница области устойчивости, описываемая зависимостью (8.81), показана сплошной линией на рис. 8.9 в безразмерных координатах ф~ = д~/д~ии и /> = Р//2ии. Рис. 8.9 Рис. 8.10 — + =1 где д,ир и рир определяют по формулам (8.79) и (8.84). На рис. 8.9 эта зависимость показана пунктиром. Теперь рассмотрим изображенную на рис. 8.10 оболочку, нагруженную поперечной силой 1~.
Если сила передается через достаточно У оболочек средней длины с закрепленными торцами аналитический учет влияния поперечного давления на значение д, „р усложняется, но для оценочных расчетов можно воспользоваться полуэмпирической зависимостью жесткий шпангоут, то начальное напряженное состояние оболочки можно считать безмоментным: Т„=, соз ~р, Т2,=0, 80=- — з1п ~р. 9х Я и й'" лИ (8.83) ф,,р —..— 0,6пЕЙ' —; (8.84) (~, щ — — 2,46ЕЬ.' ~~~, (8.85) Окончательное значение (~„р критической поперечной силы равно меньшему из получаемых по этим формулам. Причем если на оболочку дополнительно действует поперечное давление, то его влияние на значение Я„р можно оценить по его влиянию на величины о„р и т„р подобно тому, как это делалось ранее. 5 8.е.
Особенности расчета реальных оболочек на устойчивость В предыдущих параграфах критические нагрузки оболочек были определены при использовании упрощающих допущений, т. е. в них исследовалась устойчивость некоторых упрощенных аналитических моде.лей оболочек. Основные допущения состояли в замене реальной оболочки идеализированной оболочкой совершенной геометрической фор- Задача устойчивости при таком неоднородном начальном напряженном состоянии сводится к уравнению в частных производных с переменными коэффициентами, которое проинтегрировать аналитически не представляется возможным.
Для оценки критического значения ~„р поперечной силы воспользуемся элементарным, но довольно эффективным упрощающим приемом. В основу этого приема положены два соображения. Во-первых, тонкие оболочки средней длины теряют устойчивость с образованием довольно большого числа волн, как было показано в предыдущих параграфах.
Поэтому в тех случаях, когда в зоне действия максимальных начальных сил образуется несколько волн, расчет оболочки на устойчивость при переменных величинах 50 = ср (х, ~р) и Т„, == Т„, (х, ~р) можно свести к расчету оболочки с постоянными начальными внутренними силами, равными максималь.ным их значениям. Во-вторых, при поперечном изгибе цилиндрической оболочки в зоне максимальных осевых сжимающих напряжений (зона А на рис. 8.10) близки к нулю касательные напряжения, а в зоне максимальных ка. сательных напряжений (зона В на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
