Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Иначе говоря, по три компонента вектора известны в конце и в начале интервала интегрирования или заданы их линейные комбинации. Общее решение уравнения (9.11), как и в ~ 3.2, представим в виде (у) = Сд (дд) + С2 (у2) + Сз (уз) ~ (4)- (9.14) Константы С, ... С, определяют следующим образом. Вначале трехкратным интегрированием однородной части системы (9,11) призначениях векторов (д,), ... (У,)„удовлетворяющих граничным условиям в начале интервала интегрирования, находят векторы (уд)д (у2)д (Уз)д Вектор (г), частного решения может быть задан нулевым. Еще одно интегрирование на зтот раз неоднородного уравнения (9.11) дает значение вектора (г)д. После определения векторов в конце интервала интегрирования константы С, ... С, находят из граничных условий.
Нужно отметить, что полученные значения векторов (д,), (У2), (дз), (г) могут быть ис- где адд = 1д соз О/Р; а„= 1Я+1д з1п О/Р; 1/Й> ас23 1 > аз3 > со~ О/р> а36 а42 1п О сов О/р~ а4д (1 р) соз 0 =- з|п О . О/р', а„= 1п' О/р'; а„=1д =сов 6/1)', а,, — — (! — ~с'-) /с со~'- О/р', Вектор правой части уравнения (9.11) ад4 (1 Р )» а2д 1 // а4д сок~ О /р~ /о; сс,5= — 1Я; ам=— з1п О/р+1/Й; сс,,= а„„, =- (1--- 1д) гоз Й 'р. пользованы для самых разных, граничных условий в коппс интервала.
Так что если приходится решать ряд задач с одинаковыми грацичными условиями на одном конце и разными на другом, выгодно начинать интегрирование системы уравнений с того края, где граничные условия одинаковы. После определения констант С1 ... С, значение вектора (у), в начале интервала известно 1уравнение (9.14)). При этом начальном значении необходимо провести еще одно интегрирование уравнения (9.11). Здесь уже нужно записывать значения составляющих вектора (у) в промежуточных точках интервала, так как они по существу являются искомыми значениями функций сил и перемещений.
Обратим внимание на то, что не все усилия и перемещения находят интегрированием уравнений. С помощью уравнения (9.7); если привести его составляющие к безразмерной форме, можно, ~ ~~ д=- ~ ~~,'~ б' найти остальные силы и пере- 6= мещения. Как уже отмечалось, задачи расчета оболочек имеют особенность. Они описываются уравнениями, имеющими сильно отли- Рис.
9.2 чающиеся по значению коэффициенты. Это приводит к тому, что при интегрировании уравнения (9.11) при разных значениях векторов (у1)„(у,), и т. д. могут получиться мало отличающиеся друг от друга векторы (уД, (у,) и т. д. При этом получаются очень неточные значения констант С, ... С, и, по существу, неверное решение. Это особенно заметно при расчете оболочек большой длины. Для того чтобы добиться результата, удовлетворяющего необходимой точности, применяют прием деления оболочки на несколько сегментов.
Особенности его изложены в ~ 3.2. Для оболочек вращения минимальная длина сегмента может быть выбрана на основе теории краевого эффекта. Длина 1 каждого участка приближенно определяется формулой (9.15) где Й, и Й вЂ” соответственно окружной радиус кривизны и толщина оболочки на рассматриваемом участке; коэффициент р может быть принят равным трем (см. ~ 6.1).
Рассмотрим пример расчета торообразной оболочки, нагруженной равномерным давлением р (рис. 9.2). Известно, что поле перемещений для этой задачи, определенное по линейной безмоментной теории оболочек, характеризуется разрывом в зонах, близких к линиям нулевой - кривизны. Применение моментной теории позволяет избежать этого. Однако общее аналитическое решение задачи получить затруднительно. При проведении численного расчета положим, что характерному геометрическому параметру Ро соответствует радиус сечения тора.
Размер г определяется соотношением г = а+ Ро з1п В. Безраз- мерный радиус р = а//со + з1п О. Касательная составляющая нтрузки равна нулю, а нормальная р„= р. В связи с тем, что х = зло = О, переменная в уравнении (9.11) соответствует угловой координате О: — „(у)+(А) (у) =(р) Составляющие матрицы (А! зависят от коэффициента Пуассона 1г, параметров оболочки /г, а/0о и угловой координаты О. Вектор правой части имеет вид [рг-(о о о о 'р' о)', Благодаря симметрии оболочки относительно экваториального сечения интегрирование можно вести не по всему контуру, а только от 0 = — зг/2 до О = зг/2.
Для задачи при О =' — л/2 граничные условия; и = 0; д = 0; Яг = 0; при О = зг/2 граничные условия: и=О; д=О; Я,=О. Решение представляется в виде (у) = Сг (уг) + С, (уз) + Сз (уз) + И. При интегрировании уравнения (9.11) начальные значения векторов (в соответствии с граничным условием при О = — зг/2) принимаются следующими: (Уг)о = (01 00 00)т (Уз)о = (О О 0 1 0 0)т (Уз)о = (О ОООО 1)' (г)о = (О 0 0 0 0 0)т.
После определения констант С, ... С, и нахождения истинных начальных параметров еще одно интегрирование позволяет построить поле /О перемещений и усилий в — = 0000 оболочке. На рис. 9.3 при.- У0, Тдо ' веДены кРивые ноРмальноо го перемещения ~ы для оболочки, геометрические па- 30 й ~ =002 — — раметры которой следуюг,о щие: а%о = 1 5'(/гИо)г= 005' (/г//~о)з = 0,02; 0 (/гЯо)з = 0 005 +лФ Рис.
9.3 Расчеты велись для безразмерного давле ния рК,/(Е/г) = 0,002 и коэффициента 1г = 0,3. На всем участке от О = — л/2 до О = зг/2 кривая нормального перемещения плавная, без разрывов. В зоне, близкой к экваториальному сечению, вдали от точки О= О нормальное перемещение гз мало зависит от относительной толщины оболочки и приближенно может быть определено по линейной безмоментной теории. При этом для точки О = гг/2 ме- ридиональная и окружная силы и безразмерное радиальное перемещение равны: рйо 2атР, Рйе т,= —; т= —; 2 а+К 2 ы= Р ' ~ — ~1 — 2р,)+(1 — ц) . 2ЕЬ ~ Ро При р = 0,3 и рР,7(ЕЬ) = 0,002 и =.1,3 10-'. Как видно, отличие от численного расчета незначительно.
Рассмотренная процедура расчета оболочки вращения при осесим' метричном нагружении является наиболее простой. Она может быть применена к более общим случаям нагружения, например к оболочкам при несимметричном нагружении или неравномерном нагреве. ;, С помощью такого подхода могут быть решены задачи расчета анизо,: тропных оболочек, а также оболочек, имеющих переменную толщину ',. и дискретные кольцевые подкрепления. Общая схема расчета при этом :;: остается той же. (9.17) $9.2. Расчет методом конечных Разностей Р Метод используется при решении широкого круга задач теории оболочек. Ниже на примере решения уравнения моментной цилиндрической оболочки при неосесимметричной деформации рассматриваются ~',.
особенности и последовательность определения в ней усилий и переме- ,'1 щений. Для однородных изотропных оболочек вращения уравнения момент';. ной теории приведены в 2 5.4. Для цилиндрической оболочки урав;:,: пения равновесия принимают вид дТ, дЗ + = Рз,' дз йдф — + — — = — Р' дТз дЯ (9.16) Ядф дз Я вЂ” + — + — =р' Тз дЯ1 доз дз Д'дф дЛ4,, дМ,з — '+ ' — 91=0; дз йдф дМ, дМ„ — + — Яз =О.
Ядф дз Деформации, углы поворота, перемещения и изменения кривизн связаны между собой соотношениями: ди до ти ди дз . а, = —,' аз =. — + —; 7 = + —; дз " Ядф Я Ядф дз ди . дв з 01 . з 02 дз ' йдф 'Силы и моменты для изотропной однородной оболочки выражаются через деформации и изменения кривизн следующим образом: Е?! Е?! Е?! Т = (з2 + ра1); Т = ( + 12 ); 71 11 2 р2 2 (!+И? М2 = В(х, + 12х2); М2 ='0(х„+ 12х2), М,2 = й (1 — р) х12. (9.18) Система уравнений (9.16) ... (9.18) — полная.
При девятнадцати уравнениях она содержит девятнадцать искомых функций: Т,; Т,; 5; ~„® М,; М2; М12; е,; з2; у; д,; и'„х,; х,; х„; и; и; и!. Приведем уравнения к безразмерному виду. Отнесем координату з вдоль меридиана к радиусу оболочки: х = зЯ. Безразмерные силы, перемещения и изменения кривизн будут; Т2 = Т1((ЕЦ; Т = Т2I(Н4) Я = Бl(ЕЬ); 4~2 = ЯДЕР); 92= Ог~(ЕФ М!. = ~МФ!)~)з М2 = М2~(Е1!Т~ М22 = М12~(ЕЮь и = иЖ; о = о/Р; в = аЛ~; (9,19) х,=- хф;х2= х2Я;х = х1Д; й = В (1 — ~Р)l(ЕЙЯ2). Первый этап решения задачи состоит в привидении уравнений в частнык производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Искомые силы, деформации и перемещения представляют в виде суммы произведений двух функций, одна из которых соответствует членам рядов Фурье по окружной координате, другая — функция координаты х; Т,= ~ Т,„созтФ', Т,= ',~~~ ТзтсозтФ, Я= ~' Зтз!птФ, т О т ! т=О М,— ~ МгтсозтФ, М,=-,~~ М,тсозтФ; М22=,'~'„Нтз!птФ; т=О 1Ъ= ~/ (~2т СозтФ 92= .~~ Я2т ЯптФ,' и= ~, и„„созтФ; о — ~~' птз!птФ; Оа= ~! и!тсозтФ; (9.20) т=О т= ! т=О е2 = У, з, созтФ', з2 =- ~~~! е, созтФ', р= ~~~! р япп!Ф; Ъ~~ х,=-,~ х,тсозтФ, х, =-- ~ х,тсозтФ, х„= ..., хтЯптФ, т=О т=О т 1 от соз тФ; 'о2 = с~~ 2У2т з!и тФ.
Под знаками суммы здесь стоят безразмерные значения сил, перемещений, деформаций, которые соответствуют определенной т-!! гармонике и являются функцией только одной переменной х. Нужно отметить, что разложения (9.20) не являются полными. Здесь опущены кососимметричные составляющие сил, перемещений и деформаций для величин Т;, Т,; М,; М,; ф~, и; ~ы;е,; е,; х,; х,; д, и симметричные составляющие для величин 5; М„„6~', ~, 'у; х„; д,. В большинстве. случаев при решении задач зто допустимо, так как соответствующим выбором начала отсчета по «р и разделением системы на симметричную и кососимметричную появляется возможность дополнительные слагаемые не учитывать.
Дополним зависимости (9.20) разложениями в ряды Фурье составляющих поверхностной нагрузки: р>> = ~„р,„, соя т>р; р, =-- ~ р„„яп тс~; р„= .,'»' рз,„соя т~р. »>=О »>=! »>=о Используя эти 'зависимости, а также зависимости (9.19), (9.20), приводим систему (9.1б) уравнений равновесия к виду ит, р, р с1х ЕЬ (9.21) Т + +тЯ 0х Ей — +т.Ч„,— ~, = 0; Йх х ..Соотношения (9.17) представляют следующим образом: Йи,„ сЬ е, = '"'е, =то,„~-ш; у =- — ти + —; »> ~ > >>> >>> >>> > >>> <1х (9.22) <х Йх х Безразмерные составляющие сил и моментов для каждого значения т выражаются через деформации и изменения кривизн: (1 Р ) Т1>а е1>>> ( ра2т1 (1 Р ) Т»>ь с2»> + Ре1»» 2 (1 + р.) 3„, =- 1> (9.23) М1>>> 7~ ( 1~ + Р 2 )> Мй>>»>( 2 + Р~~1>>>)> О = (1 — р,) Ах,„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
