Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 43
Текст из файла (страница 43)
8.4, б) и как стержень (рис. 8.4, в). Сравним значения критических сжимающих напряжений, соответствующих этим трем случаям потери устойчивости. Для изотропной оболочки в первом случае из формулы (8.38) получим (8.43) 1~'з (1 — р ) во втором случае из формулы (8А1) находим а„,=- [3[ — ) +)) — р) — 1[ — ); )8А4) наконец, в третьем случае формула (8.42) дает (при С = 1) о„р = —" — Е. (8.45) Для тонких оболочек средней длины формула (8.44), содержащая малый множитель (ЬЯ)', приводит к значениям критических напряжений, существенно меньшим, чем две другие формулы.
Но этот случай потери устойчивости почти не встречается в практике, так как в реальных конструкциях торцы оболочки обычно бывают закреплены. Потому для оболочек средней длины основное практическое значение имеет первый случай, для которого при р = 0,3 получаем простую, но чрезвычайно важную для всей теории устойчивости оболочек формулу о„р — — 0,6ЕЫК. (8.46) Отметим при этом, что суммарная осевая критическая сила равна Р„р — — 0,6 2лй'Е (8.47) и не зависит от радиуса Я оболочки.
$ ВА. Устойчивость цилиндрической оболочки при внешнем давлении Для цилиндрической оболочки длиной;1, радиусом И с толщиной стенки й, нагруженной внешним давлением р (рис.'8.5) и находящейся в начальном безмоментном состоянии: 7',. = О, т,. - — 7 й, В. = О, найдем критическое значение р„а внешнего давления. (8.48) Если оболочка не слишком короткая, то простое и надежное решение этой задачи дает полубезмоментная теория цилиндрических оболочек. Однородное уравнение устойчивости (8.20), полученное на основе полубезмоментной теории, перепишем для начального состояния (8,48): 8,— + — '~ — + 2 + ~1 ~ + — ~=О. (8.49) д4цг 1)о / доцг доцг д'цг 'г, р ггдоцг дгцг ~ дхо До [, дфо .
дфо дфо ) До ~ дфо дфо) В случае замкнутой в окружном направлении оболочки с произволь- ными, но неизменными по всему контуру торцов граничными условия- ми решение можно искать в виде пг= Хз1ппф, (8,50) х -( — ')'х=-о, (8.51) где (')' =- г1(')Ях; Яп4(п' — 1) Г 1г,(п' — 1) в, ~ у (8,52) Заданные на торцах оболочки однородные граничные условия выразим через функцию Х(х) (см. ф 6.4). Например, граничные условия а=О; Т,=О приводят к условиям Х = 0; Х" = О. (8.53) Неподвижное закрепление торца оболочки (о — — О, и=О) ° дает Х = О, Х' = О.
(8.54) На свободном торце оболочки, где Т, = О, Я = О, получим Рис. 8.5 Х" = О, Х"' = О. (8.55) Уравнение (8.51) и его граничные условия по форме полностью совпадают с уравнением и граничными условиями хорошо изученной задачи о свободных колебаниях однородной балки, и при одинаковых граничных условиях функция Х (х) повторяет форму изогнутой оси колеблющейся балки. Считая по ) О, запишем решение уравнения (8.51) так: Л =- Аг з!п — + А2 соз — + Ац эп — + Ад сп †. г 8.56) где Х = Х(х); и = 2, 3, 4, ... Подставив эту функцию в однородное уравнение устойчивости и сократив общий множитель з1п пф, прихо- дим к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами р„р=4Х,~ — ') ( (8.59) Приведем примеры определения критического давления р„ для нескольких конкретных вариантов граничных условий, заданных на торцах оболочки.
1. На обоих торцах оболочки заданы граничные условия.(8.53) свободного опирания; аналог этой задачи — свободные колебания шарнирно опертой балки. В этом случае в общем решении (8.56), очевидно, А, = А = А = О; Х, = зтЯ/1, и поперечный бифуркационный прогиб оболочки описывается функцией ма=А,з1п ~" з1ппср. (8.60) Выражение (8.57) принимает вид (8.61) г яз (аз — 1) Лз Отсюда при Иг -+- оо получим формулу для бесконечно длинной оболочки (трубы), нагруженной внешним давлением: 1)Р, ЗР, где а„р = 2.
Как и следовало ожидать, эта формула совпадает с формулой (8.6) для кольца с изгибной жесткостью ЕУ = 1 В„нагруженного гидростатической погонной силой д = 1 р. (8.62) з Остальные корни Х; для определения значения рир интереса не предстанляют. Заданнь1е йа торцах оболочки четыре однородных граничных условия (по два на каждом торце) составляют систему четырех однородных линейных уравнений относительно произвольных постоянных А;. -Равенство нулю определителя этой системы уравнений приводит к .
характеристическому уравнению, наименьший корень Х., которогое позволяет, используя выражение (8.52), записать (8.57) п4 (пз 1) оз При фиксированных геометрических и жесткостных параметрах оболочки, подобрав из условия минимума величины р„число волн п„р, получим критическое значение внешнего давления р„р. При достаточно большом числе волн п, образующихся в окружном направлении, в формуле для р„ можно пренебречь единицей по сравнению с величиной из и тогда определение критического давления р„р существенно упрощается. В этом случае, рассматривая величину из = т1 как непрерывно изменяющийся параметр, из условия минимума значения р„находим гВ, Зяз~Ч~ пкр т1 = )~"1 ~ КД др (8.58) 3.
На одном торце оболочки заданы граничные условия (8.54), а на другом — граничные условия (8.55), т. е. один торец закреплен неподвижно, а другой полностью свободен; аналог — консольно защемленная балка. В этом случае Х, = 0,6пЯЛ, откуда Рир = 0А>кр о. (8.67) Критическое число волн п„р для оболочек средней длины, как и в предыдущей задаче, определяется формулой (8.58) при соответствующем значении Х,. 4. На одном торце оболочки заданы граничные условия (8.53), а на другом — условия (8.55), т.
е. один торец оперт, а другой — полность свободен; аналог — балка, один конец которой шарнирно закреплен, а другой полностью свободен. Это вырожденный случай, и первая частота свободных колебаний балки равна нулю, так как при таких граничных условиях балка превращается в механизм. Как отмечалось в предыдущем параграфе, при таких граничных условиях цилиндрическая оболочка может деформироваться без растяжений и сдвигов срединной поверхности; поэтому критическое давление полубезмоментной оболочки при этих граничных условиях определяется формулой (8.62), Аналогично можно исследовать устойчивость полубезмоментной оболочки и при других вариантах граничных условий, в том числе и при упругом закреплении торцов Ш.
Нагружение цилиндрической оболочки внешним давлением в большинстве реальных случаев сопровождается возникновением в ней осевых сил. Для оценки степени влияния этих осевых сил на значение р„р сопоставим значения критических напряжений при осевом сжатии й поперечном давлении. В случае длинной изотропной оболочки, учитывая, что о~ = — рР/Ь, по формуле (8.62) находим критическое сжимающее окружное напряжение (8.68) Для изотропной оболочки средней длины 1см. формулу (8.64)1 о,„р — — 0,92Е (8.69) В то же время определяемое формулой (8.46) критическое сжимающее осевое напряжение о', „р — — 0,6Е (ЫР).
Как видим„для ~онких и не слишком коротких цилиндрических оболочек с закрепленными торцами критические окружные напряжения оказываются существенно меньше осевых. Поэтому, если в таких оболочках начальные окружные и осевые напряжения имеют один порядок, можно ожидать, что значение критического внешнего давления будет мало зависеть от осевой силы. В частности, при всестороннем внешнем давлении, когда о, = 2а„критическое давление можно подсчитывать по вышеприведенным зависимостям. В тех случаях, когда критическое давление заметным образом зависит от осевой силы, достаточно точное решение можно получить с гааз Т10- помощью упрощенной системы уравнений (8.19), которая при = — д, Т„, = — ' рЯ, 5, =- О принимает такой вид: +ВЧ Ч ц!-~-!7 + — =О; и 2 ди и! Р д'и! дх2 Я д!02 1 д'Р дх~ (8,70) + — ЧЧГ=О, Я дх~ Е!! где Ч вЂ” погонная сжимающая нагрузка, приложенная к торцам оболочки.
Простое аналитическое решение этой системы уравнений опять удается получить только при граничных условиях (8.34). Повторив выкладки и рассуждения, изложенные в ~ 8.3, приходим к выражению 1' тли '1з 0„„, Е1! (тлК/!)4 п1 /, Р ис (! 1 1!7!ИР,!(р!ОР)и + — и'(1+ ~тих%(пЦ')2 ДЗ (8.71) (8.31). Рис, 8.7 минимизируя которое по и и и можно найти критические значения давления р и осевой нагрузки д, т.
е. построить границу области устойчивости для рассматриваемой задачи (см. ~ 7.3). Выражение (8.71) при соответствующем изменении знаков при величинах р и !7 справедливо и для тех случаев, когда внешнее давление сочетается с осевым растя- жением или, наоборот, осе! вое сжатие сочетается с внутренним давлением. 151- Г с На рис. 8.7 показана граница области устойчивости в безразмерных коорР=0 Р 10 динатах р.= р~р„и и !7 = л=В 70 500 Ц~Цкр Где !Унр и Дкр 05 ф=г соответственно критиче- ские значения внешнего Вира!РеИПЕ0 В00ШНОС 000!!е000 0=0 00Мнуб давления и осевой сжимаю- щей нагрузки, действую- 05 1О !5 М Р щих порознь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
