Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8.10) близки к нулю осевые напряжения. Поэтому расчет такой оболочки на устойчивость можно производить раздельно по осевым сжимающим напряжениям и по касательным напряжениям. Максимальное сжимающее напряжение в зоне А равно о~ „= = ф/(ЙлЯ'), а максимальное касательное напряжение в зоне В равно т „= Яl(пй). Отсюда, используя формулы (8.46) и (8.79), получаем (при и = 0,3) гаа Р1га Кр.
Рис. 8.11 мы, причем до потери устойчивости начальное напряженное состояние такой идеализированной модели оболочки было принято безмоментным, а размеры и форма — неизменными. В такой постановке (называемой иногда «классической») были найдены критические значения внешних нагрузок, т. е. те значения, при превышении которых начальное напряженное состояние становится не- и) устойчивым. Р Возникает естественный вопрос, на- сколько полно и точно результаты ис"к следования устойчивости идеализирован+- ных моделей отражают поведение тех реальных оболочек, с которыми инженеру приходится иметь дело при расчете и испытаниях реальных конструк~о ций. Ответ на этот вопрос можно получить двумя путями: теоретическим, анализируя более сложные решения, свободные от тех или иных допущений, и экспериментальным, исследуя поведение реальных оболочек при нагружении.
Достоверные теоретические решения, свободные от упомянутых упрощающих допущений, удалось получить сравнительно недавно с помощью ЭВМ. Оста- 10 новимся на тех поправках, которые вносятся в классическое решение, если учитывать моментность начального напряженного состояния и искривление обра- ' 2 Ф б г х) л я зующей цилиндрической оболочки в начальном состоянии. На рис. 8.11, а схематично изобра- жено начальное моментное напряженнодеформироваиное состояние нагруженной равномерным внешним давлением р цилиндрической оболочки длиной 1, радиусом Я и толщиной стенки й со свободно опертыми торцами: изменение вблизи левого торца осесимметричного прогиба ио (х) окружной силы Т, (х) и изгибающего осевого момента М„(х).
а' Это напряженно-деформированное состояние описывается уравнением осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки: -1ч Ый у1о Е)га + — а(о —— — р — Р—, о ),о о— (8.8б) решение которого при Тто —— 0 можно представить в виде во — — — — +(С1 з)п Ах+Со соз йх) е «х+(Со з(п йх+Со соз Угх) е~х, (8.87) где-аза — ра7Жса — о*» г г ш, ра ~ «а граничных условий на торцах оболочки.
В рассматриваемом случае граничные условия авободного опнрания имеют вид: тао (0) = 0; вц = 01 а>о (Ю) = 0; и4 (1) = О. В частности, для не слишком коротких оболочек при 1~~ 3 1ЛГ когда граничные условия на одном торце практически не влияют на напряженно-деформировщгпое состояние оболочки в окрестности другого торца, находим Ст = О, Со = раз!(ЕЬ), Сз = Со = О, откуда во= — — (! — е соз йх); ЕЬ Тоо — РЯ (1 — з "сов Йх); (8.88) 1/з м М,о — — Ре х з1п йх, 12 Последние выражения описывают напряженно-деформированное состояние оболочки вблизи левого торца. В силу симметрии задачи точно так же выглядит напряженно-деформированное состояние и вблизи правого торца.
В средней части оболочка находится в безмоментном напряженном состоянии: ~иоб.м. = Ртт~!(Во1 Уооб.м. =- Ртт Мтоб.м. =-О При 1~ 3~/ГЬ осесимметричный изгиб охватывает всю длину оболочки; и в этом случае, используя симметрию задачи, нетрудно найти коэффициенты С; и получить выражения, описывающие начальное напряженно-деформированное состояние оболочки. Линеаризованные уравнения устойчивости, учитывающие момент- ность начального напряженного состояния и искривление образующей оболочки, сложнее, чем те, которые были получены в 88.2, причем следует подчеркнуть, что даже при постоянном внешнем давлении это будут уравнения в частных производных с переменными коэффициентами.
Результаты численного решения этих уравнений ~121 можно представить в виде графика, показанного на рис. 8.11, б, где у.4г — о 1 ИГР,. Ран ==~т1 — р — ~; Р.,= Ран б,м Здесь Ра — кРитическое давление, подсчитанное с Учетом момент- ности начального состояния и искривления образующей, а р„б „вЂ” критическое давление, подсчитанное без такого учета по формулам 8 8.4. Как видим, моментность начального напряженно-деформированного состояния и искривление образующей оказывает заметное влияние на значение критического внешнего давления только для коротких оболочек.
Аналогично влияет на значение р„р учет начального осесимметричного изгиба оболочки и при других граничных условиях на ее торцах, в том числе и в случае подкрепления торцов упругими шпангоутами (121. Учет начального", осесимметричного изгиба сильнее влияет на результат при расчете равномерно сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки длиной 1 и радиусом Я (рис. 8.12, а). Дело.в том, что осевые сжимающие силы при приближении их значенийУк~критическим принципиально изменяют характер начальногоосесймметричного изгиба оболочки (рис.
8.12,гб). ние колеблется от нуля до 20%. Аналогичные результаты получены и для других задач устойчивости тонких оболочек 112). К значительно более серьезным последствиям приводит основное допущение, на котором базируется классическое решение: пренебрежение начальными геометрическими неправильностями формы реаль.ных оболочек. Поведение реальных стержней и пластин с начальными геометрическими неправильностями рассматривалось в 5 7.4. Напомним, что малые начальные неправильности при нагрузках меньше критических приводят к появлению малых дополнительных прогибов реальных стержней и пластин; с приближением нагрузки к критическому значению эти дополнительные прогибы начинают сильно расти.
Рис. 8.13 Важно подчеркнуть, что при плавном нарастании нагрузки упругие . стержни и пластины в зоне критических значений нагрузки деформируются тоже плавно, все время проходя только через статически устойчивые состояния равновесия. Аналогично ведет себя под нагрузкой и тонкая упругая оболочка, :. если закрепления ее торцов допускают чисто изгибную деформацию . срединной поверхности без растяжений и сдвигов: начальные непра.вильности с самого начала нагружения приводят к появлению дополнительных прогибов, которые монотонно увеличиваются по мере роста нагрузки.
С приближением нагрузки к критическому значению дополнительные прогибы растут столь интенсивно, что критическое значение нагрузки, найденное для оболочки идеальной формы, будет практически предельным для всякой реальной оболочки (как и в случае сжатого упругого стержня). Например, так деформируются реальные длинные цилиндрические оболочки под действием внешнего давления. Но если закрепления краев оболочки исключают возможность чисто изгибной деформации, как это обычно и бывает в реальных конструкциях, поведение тонких упругих оболочек при потере устойчивости становится качественно иным.
Рассмотрим, как ведет себя тонкая упругая оболочка, нагруженная внешним давлением р (рис. 8.13, а), и построим диаграмму ее деформирования в координатах р, ы„„(рис. 8.13, б), где р — внешнее давление; ы„„— перемещение точки, расположенной на гребне волны дополнительного прогиба, направленной внутрь оболочки 245 (рис.
8.13, а). Для идеально правильной оболочки с помощью липеаризованных уравнений устойчивости может быть найдено критическое значение давления (точка бифуркации В, на рис. 8,13, б). Чтобы выяснить, как будет вести себя оболочка после потери устойчивости, необходимо рассмотреть задачу в нелинейной постановке, как это было проделано в ~ 7.4 при исследовании закритического деформирования стержней и пластин. Для оболочки идеально правильной формы полученная в результате решения нелинейной задачи зависимость нагрузка — прогиб имеет вид кривой В,В,В. (Такое решение, конечно, удается получить только с помощью того или иного приближенного метода.) Эта зависимость качественно отличается отзависимостейнагрузка — прогиб, полученных в 5 7.4 для сжатых стержней и пластин.
Во-первых, у оболочки в окрестности критической точки бифуркации В, нет новых устойчивых статических состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены (участок В,В) от начального устойчивого состояния (участок ОВ,) на конечные расстояния. Поэтому переход оболочки в новое состояние равновесия не может произойти плавно; такой переход неизбежно должен носить скачкообразный характер, происходить в виде хлопка~. Во-вторых, новые состояния равновесия становятся возможными еще до достижения критического значения давления, найденного с помощью линеаризованных уравнений устойчивости. Эти новые состояния равновесия отделены от начального некоторым энергетическим барьером, уменьшающимся по мере приближения нагрузки к критическому значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
