Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(9.47) Представленные зависимости позволяют составить последовательность решения задач методом конечных элементов: 1. Определяют размеры, геометрию и количество элементов в оболочке. 2. Задаются полем перемещений и, о, и в виде степенных функций в локальной системе координат в каждом элементе. 3.
Коэффициенты в полиномиальных функциях выражают через узловые перемещения. 4. Определяют матрицу [В,1, связывающую вектор деформации срединной поверхности с вектором узловых перемещений [соотношения (9.39), (9.43)1. 5. Находят матрицу [В,1, определяющую вектор изменений кривизн срединной поверхности [соотношения (9.42)', (9.43)1. Эти зависимости позволяют, воспользовавшись уравнениями (9.45), (9.4б), определить матрицу жесткости и вектор узловых сил элемента.
б. Составляют общую или глобальную матрицу жесткости всей системы. 7. Для узлов, совпадающих с граничным контуром, записывают условия на границе. 8. 'Решают полученные уравнения, определяющие узловые перемещения во всей системе, 9. Находят деформации и напряжения во всех узловых точках. Для элемента цилиндрической оболочки, изображенного на рис. 9.5, постф>им матрицу жесткости при осесимметричной деформации, Вектор узловых перемещений элемента состоит из шести и д~ составляющих: (и„) = (и~и д и ы~Ю )г. иг Положим, что поле перемещений внутри элемента апнроксимируется полиномами и = а, + а,э; (9.48) где а~ ... а, — коэффициенты аппроксимации; з — осевая координата. Угол поворота нормали для цилиндрической оболочки дв О = — = а~+ 2аь з+ Зав Р.
дя Поскольку 1) при а=О имеем и = и;, в= и;, 6 = 6,; 2) при я=[имеем и=и,; в=Ы,; б=д„ выразим коэффициенты а, ... а, через узловые перемещения и„и„ ы~~, в„д„д,. Матрица, связывающая вектор перемещений (и) = = (и в)" с вектором узловых перемещений (и„) в уравнении (9.43), такая: 1 — — О О 0 1 — 3 — +2 — я — 2 ~ + [Щ] = 0 (9.49) С помощью соотношений (9.39), (9.42), (9.43) определяем "матрицы [В,) и [В,): 0 — 1 — 3 — +2 — — 3 — 2 — +— О - О 0 0 — 3, 2 0 0 О 0 — 6 — +12 —, — 4 — +6 — 0 [Ва[ = 0 ' 6 — — 12 — — 2 — +6— 0 Составляющие матрицы жесткости элемента [КД и Щ находят из соотношений (9.46), где интегралы взяты по цилиндрической поверх- ности элемента длиной 1 и радиусом г: 255 ЗягЕй рй О 0 0 0 1 1 1 — (з — — Р— 21 12(' 1 1 12 1 2» 1 !З 1 1З 1 1 !Х— 1 12 35 гз 70 зз 420 гз 13 1з 13 210 гз 1з 105 420 г' 140 1 1 1 р р 2 г 12 г ; (9.50) 13 ! 1! 35 гз 210 гз 5 ьз 84 Симм.
-Оо ОО О О- 12 6 12 6 — О сз 12 13 1з б 2 — О 1з 2зо Раз 12 (1 — р,з) (9.51) О О О 12 б Симм. 1з 12 Сумма этих матриц дает матрицу жесткости элемента (К1. Для построения общей матрицы жесткости всей системы необходимо воспользоваться последовательностью, приведенной в 33,5. Нужно отметить,что при решении задач часто приходится стыковать элементы разных размеров. На участках оболочки, где ожидается быстрое изменение перемещений, например вблизи краевой зоны, длина элементов должна быть небольшой по сравнению с длиной элементов в остальных зонах оболочки.
Стыковка элементов разной длины в МКЭ мало усложняет расчет, что является большим достоинством метода. Для заданной нагрузки из соотношения (9,46) и матрицы (9.49) находят вектор узловых сил; который соответствует правой части линейной системы уравнений. Решение этой системы, при учете условий на границе оболочки, определяет все узловые перемещения. Соотношения (9.45) и (9.46) справедливы также для произвольной оболочки вращения как при осесимметричной, так и при несимметричной деформации. Асимметрия вносит некоторые усложнения в расчет, Прежде всего появляется еще одна составляющая вектора перемещения о.
И кроме того, каждый из компонентов вектора — функция двух переменных з и ~. Решение задачи отличается тем, что необходимо разделить переменные по координатам з и ч', представив составляющие по ч в виде периодических тригонометрических функций, 5 9.4. Численное решение задач устойчивости оболочек Анализ устойчивости оболочек может быть проведен различными методами и, в частности, рассмотренными в ~ 9.1 ... 9.3. Ниже, применительно к задаче устойчивости цилиндрической оболочки, приводится алгоритм численного расчета, основанный на методе конечных разностей. Для получения уравнений устойчивости используется прием, изложенный в ~ 8.2.
Усилия докритического состояния при потере устойчивости оболочки дают составляющие на нормаль к поверхности (8.10): Рпф = — Р7~къ+ 71ох1 ~ 28ох1х Приближенно считаем, что фиктивная нагрузка р„ф соответствует со- ставляющей правой. части третьего уравнения системы (9.16) момент- ной оболочки.
При осесимметричном докритическом состоянии урав- нения равновесия имеют вид: дг,,, дЯ вЂ” т — = — 01 дз Рдф т, Ю дМ дМ~~ Ддя д-"М, ,~)2 дф2 (9.52) 1~дф дв 1~и дф + та 1 д М1 ~ 2 д М12 дР дИдф — рЯх~ — 71О х1. Остальные соотношения получаются из зависимостей (9.17), (9.18). Как и в 5 9.2, приведем общую систему к четырем уравнениям второ- го порядка. Затем представим ее в безразмерной форме, имея в виду формулы (9,19) и полагая далее, что форма потери устойчивости пе- риодическая по окружной координате и возможны разложения (9.20), получим систему уравнений относительно амплитудных значений и пт1 ~т1 М1пь ~1.и, ! — Р 2 1-~ Р с10 <~®ы — та„' ,'т +р дх~ 2 2 дх дх 1+р, ~ д~~~ 1 1 — и д~~ т, 2 дх 2 дх~ +й~ — ' — то +т — т ж =0; Р ~1П 2 д ~ТП 3 2 4х~ дх' При рассмотрении оболочек вращения с криволинейной образующей хорошие результаты получаются для конических элементов и при аппроксимации поля перемещений вида (9.48).
Составление общей матрицы жесткости при этом имеет некоторые особенности, Необходимо для каждого элемента перейти от локальной к общей координатной системе, прежде чем проводить стыковку элементов. В остальном последовательность определения узловых перемещений и усилий остает. ся той же. (9.53) б2Я р 'и™+то„+ы„+(1 — Р,) ' -+~ — (1 р,)т-х дх ' бхай б2~ з б'в >< ~ - +.т~о (2 Р)~~Р ~ [ т4 ,1 ха дх~ тО 82у — (1 — рР) [ти +и'в 1+ — '(1 — р') ЕЬ ЕЬ бх~ — фти„,+А ' " — А[ига„М, =-О. хх Теперь приведем систему уравнений к векторна-матричному виду.
При том же векторе (у) = (и о в М,„)г уравнения можно представить так: [Ац — "' (д)+[Вц — "(д)+[Сц(д) =О. (9.54) Матрицы [А11, [Е1), [С11 имеют те же составляющие, что и матрицы [А1, [В1, [С! в формулах (9.28), но в отличие от них содержат слагаемые, определяемые равномерным давлением р и осевым усилием Т,ю докритичеекого состояния. Это касается только членов а,л, а„, а,4,. остальные члены матриц в формулах (9.28) те же: а,.=1' а,= — " и ' ах= т' а~=р' 1 — р ' ~, 1+1х 2 2 а,= — "и', а, = "(1+А); а,= — и'(1 г-А); а,=Ат; а = — т(1+Ьп'); а„=р,; а„= — (1 — р,)Ат; а) Р (1 „Я) .
(2 „„)1~ Я ~п> 1 „Я) ° ЕЬ ЕЬ а,,= 1+ат4 — — (1 — рР)т а = 1 — рР а =.— фт. рЯ ЕИ а17 = ~; а18 =- — ранга", ад = — 1. (9.55) [Е).—,' (у).+[Е).(д)о=О; (9,56) [Е)„— (у)„+ [Р1„(у)„= О. 288 Уравнение (9.54) — однородное. Для решения задачи устойчивости необходимо найти собственные значения уравнения (9.54) при определенных граничных условиях.
Общая форма. граничных условий может быть представлена так:- Перепишем систему (9.54), (9.56) в разностнам виде. Воспользовав шись аппроксимацией ~ 9.2, получим [НЪЛу)0 + — [ЕЬ (у) — — [Е[0 (у), =' 0; 2 1 А 2Ь [1Ч11; (у),, + [М1); (у), + [~.1), (у),+,— — 0; (9.57) — ГЕ[„(у)„, — — [Е1 „(у) „, +"[Н1„(у)„=- О.
Принимают 1 = 1, 2, ..., и — 1. Для исследования устойчивости упругой системы необходимо приравнять нулю.опведелитель, составленный из матриц при искомых значениях векторов. Отсюда находят критические параметры оболочки. Развернутая форма определителя имеет вид [Н)0 [Е)0 — — [Е)о О [У11, [М1>, [г11, ' О 0 О [ж Ц., [М11, [и[., О 0 Р'И вЂ” [М11 — [Е11 -а О ..[УЦ„, [М11„, [Ы1., . — [Е[„— — [Е1„[Н1„ 1 2 2Л Л 0 0 0 0 0 0 (9.59) 2б9 (9.58) Первая и последняя строки здесь соответствуют граничным условиям.
Каждая матрица имеет размер 4 х 4. Число строк и столбцов определителя равно (и + 1). Последовательность расчета удобно организовать следующим об'разом. При известных параметрах оболочки А = ЬЧ(12Я') и ц задаем значения: т — число' волн в окружном направлении; Т~0[(ЕЦ— безразмерное осевое усилие; рКЦЕЬ) — безразмерное внешнее давление. Положим, что требуется найти критическое значение внешнего давления, соответствующее задашюму числу волн и и осевого усилия Т,0((ЕЬ).
Из формул (9.55) находим все составляющие матриц [А11; [В11; [С11 [см. формулы (9.28)1„а следовательно, и матрицы 1Е1); [М1); ~Ф11(см, 29.2). Для цилиндрической оболочки при однородном докритическом состоянии компоненты этих матриц не зависят от координаты х и, следовательно, от номера 1. В определителе (9.58) [%1), = [Ф13, = ...
= [Л'13„; [М1), =- [М1)и —— — ... —— — [М1)„; [П), = = Е14 = ... = Е1)„. Но при более сложном виде нагружения оболочки матрицы одной диагонали определителя не равны друг другу. Определитель при заданных параметрах усилий и геометрии оболочки подсчитывают методом прогонки. Положим, что векторы (у) в соседних точках связаны соотношением (уЬ = [Ф). (у);+. Матрица прогонки [Ф],+, находится из второго уравнения системы (9.57), куда подставляется формула, аналогичная соотношению (9.59): (у),, = [Ф1; (у);. В результате получаем И1]я [Ф] + [М11;) (у); + Е1]; (у);+, = О. Сопоставив его с выражением (9.59), можно найти рекуррентное соотношение для матриц прогонки: [Ф];.н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
