Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Силы, действующие на стороны 2 и 4, направлены поперек движения, так что на этн стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по х и равна 1ЬВ(х); чтобы узнать всю работу против действия магнитных сил, нужно проинтегрировать это выражение по х от некоторого значения х, где поле равно нулю, скажем, от х = — оо до теперешнего положения х,". х, ю Если петля «узкая», т. е.
если В, и В, не очень различаются между собой, то можно было бы написать дн де В =В + — Ьх=В + — а. дх з дт Так что сила была бы равна (15.10) Р =1аЬ вЂ” „. Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, рав- нялась бы х — Р„йх = — 1пЬ ') — Вх = — 1аЬВ, — — Г =- й а это опять — рВ. Но теперь нам становится понятно, почему получается, что сила, действующая на небольшую токовую петлю, пропорциональна проиаводной магнитного поля, как ато следовало ожидать из Р,Лх= — Ь(1 =- — и( — Р'В). (15.11) Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исключено, что не все виды энергии вошли в формулу 6'„,„= — )х В (ведь ато просто некоторая имитация энергии), ею все же можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, чтобы узнать, какие силы действуют на петли с постоянным током.
ф М. Меэ аиичесъая и электрическая эие1тгии Теперь мы хотим пояснить, почему энергия 6 „,„, о которой говорилось в предыдущем параграфе, не настоящая энергия, связанная с постоянными токами, почему у нее нет прямой связи с полной энергией всей Вселенной. Правда, мы подчеркнули, что ею можно пользоваться как энергией, когда вычисляешь силы из принципа виртуальной работы, при условии, что ток в петле (и все прочие токи) не меняется. Посмотрим теперь, почему же все так выходит.
Представим, что петля на фиг. 15.2 движется в направлении +х, а ось х примем за направление В. Электроны проводимости на стороне 3 будут испытывать действие силы, толкающей их вдоль провода, в направлении йь Но в результате их движения по проводу течет электрический ток и имеется составляющая скорости и в том же направлении, в котором действует сила. Поэтому над каждым электроном каждую секунду будет производиться работа Р и, где и — компонента скорости электрона, У У' направленная вдоль провода. Эту работу, совершаемую над электронами, мы назовем электрической. Оказывается, что когда петля движется в однородном поле, то полная электрическая работа равна нулю, потому что на одной части петли работа положительная, а на другой — равная ей отрицательная.
Но при движении контура в неоднородном поле это не так — тогда остается какой-то чистый избыток одной работы над другой. Вообще-то ага работа стремится изменить поток электронов, но если он поддерживается неизменным, то энергия поглощается или высвобождается в батарейке или в другом источнике, сохраняющем ток постоянным. Вот именно эта анергня и не учитывалась, когда мы вычисляли ед'кед в (15.9), потому что в наши расчеты входили только механические силы, действующие на провод. Вы мол<ете подумать: но сила, действующая на алектроны, зависит от того, насколько быстро движется провод; быть может, если бы провод двигался достаточно медленно, зтойзлектрической энергией моркно было бы вообще пренебречь. Действительно, скорость, с какой высвобождается электрическая анергия, пропорциональна скорости провода, но все же полная выделенная анергия пропорциональна к тому же еще и времени, в течение которого пронвлялась эта скорость.
В итоге полная выделенная электрическая энергия пропорциональна произведению скорости на время, а это как раз и есть пройденное расстояние. Каждому пройденному в поле расстоянию отвечает заданное, и притом одно и то же, количество электрической работы. Возьмем кусок провода единичной длины, по которому течет ток д'. Провод движется перпендикулярно самому себе и магнитному полю В со скоростью иор„,д.
Благодаря наличию тока сами электроны обладают скоростью дрейфа и,р,з вдоль провода. Компонента магнитной силы, действующей йа каждый электрон в направлении дрейфа, равна д, оп „д В. Значит, скорость, с какой производится электрическая работа, равна 'бр«дорф = Йеопроэод В) одрерф' Если на единице длины провода имеется д1Г проводящих электронов, то зся величина электрической работы, производимой в секунду, такова: электр «т = дтедерпроэодВрдрезф.
Но йгд,и„,рф равно току 1 в проводе, так что электр у =д рпрододВ. И поскольку ток поддерживается неизменным, то силы, действующие на электроны проводимости, не ускоряют их; алектрическая энергия переходит не к электронам, а к тому источнику, который сохраняет силу тока постоянной. 1О ~!' . а Я1 аэ и е. лое.з. Вичиоление энереии маленькой петли о маэнитном поле. Но заметьте, что сила, действующая на провод, равна 1В; значит, 1Ви „„— это механическая работа, выполняемая над проводом в единицу времени, ИУиекЯг = 1Во„р„ок Отсюда мы заключаем, что механическая работа перемещения провода в точности равна электрической работе, производимой над источником тока, так что энергия петли остается постоянной! Это не случайность. Это следствие закона, с которым мы ужв знакомы.
Полная сила, действующая на каждый из аарядов в проводе, равна Р = а (Е + ч Х В). Скорость, с которой производится работа, равна ч Р=а(ч Е+ч (чхВ)). (г5Л2) Если электрического поля нет, то остается только второе слагаемое, а оно всегда равно нулю. Позже мы увидим, что излеенение магнитных полей создает электрические полн, так что наши рассуждения применимы лишь к проводам в постоянных магнитных полях. Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях. Но представим себе полную систему, наподобие изображенной на фиг.
г5.3,а, где петля с током 1 вдвигается в магнитное поле В„созданное током 1э в катушке. Ток Х„текущий по петле, тоже будет создавать каков-то магнитное поле В, близ катушки. Если петля движется, то поле Вк изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.
Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но ужв сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относительности. Приближаем петлю к неподвижной катушке и внаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противоположна по анаку проиаведенной механической работе. Иначе говоря, (/мех+ ег электр (петли) = О. Теперь предпологким, что мы смотрим на происходящее с другой точки зрения: будем считать, что петля покоится, а катушка приближается к ней. Тогда катушка движется в поле, созданном петлей.
Те же рассуждения приведут к выражению е/мех+ сг электр (катушки) = О. Механическая анергия в обоих случаях одна и та же — она определяется только силой, действутощей между двумя контурами. Сложение двух уравнений дает 2(/мех+ (/электр (петли) +(Уэлектр (катугпки) =О. Полная энергия всей системы равна, конечно, сумме двух электрических энергий и взятой один раз механической энергии. В итоге выходит П гг гг т гг 5 полн = ' электр (петли) + (г электр (катугпки) + О мех = Пмех (15Л3) Полная анергия всей системы — это на самом деле У„,„ со знаком минус.
Если нам нужна, скажем, полная энергия магнитного диполя, то следует писать (/полн — + )т 'В И только тогда, когда мы потребуем, чтобы все токи оставались постоянныии, можно использовать лишь одну из частей энергии У„,х (всегда равную истинной анергии со анаком минус) для вычисления механических снл. В более общих задачах надо соблюдать осторожность, чтобы не забыть ни одной из анергий. Сходное положение наблюдалось и в электростатике.
Мы показали там, что энергия конденсатора равна ()т/2С. Когда мы применяем принцип виртуальной работы, чтобы найти силу, действующую между обкладками конденсатора, то изменение энергии равно ()е/2, умноженному на изменение в $/С, т. е. С У~ ОД (1544) А теперь предположим, что нам надо было бы подсчитать работу, затрачиваемую на сближение двух проводников, но при другом условии — что напряжение между ними остается постоянным. Тогда правильную величину силы мы могли бы получить ив принципа виртуальной работы, вели бы поступили немного искусственным образом.
Раз >/ = СУ, то полная знергия равна >/г СРз. Но если бы мы ввели условную энергию, равную — >/,С)>з, то принцип виртуальнов работы можно было бы применить для получения сил, полагая изменение атой условной энергии равным механической работе (зто при условии, что напряжение >' считается постоянным), Тогда (15.15) а зто то же самое, что написано в уравнении (15.14).
Мы получаем правильный ответ, хотя пренебрегаем работой, котору>о электрическая система тратит ва постоянное поддержание напряжения. И здесь опять электрическая энергия ровно вдвое больше механической в имеет обратный знак. Итак, если мы ведем расчет искусственно, пренебрегая тем фактом, что источник потенциала должен тратить работу на то, чтобы напряжение оставалось неизменным, то все равно мы приходим к правильному результату.
Это в точности соответствует положению дел з магнитостатикс. Э В. Энергия ноет>гоянныгс гномов Зная, что (/„„„= — 0„,„, используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных полях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой петельки. Обозначая У„„„просто через Г/, напишем С= р.В. Хотя зту звергию мы подсчитали только для плоской прямоугольной петли, все зто верно и для плоской петельки произвольной формы, Энергию контура произвольной формы можно найти, представив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Окажем, имеется провод в форме петли Г (фиг. 15.4).
Натянем ва зту петлю поверхность о', а ва ней наметим множество петелек, каждую из которых можно считать плоской. Если заставить ток / циркулировать по каждой петельке, то в итоге выйдет то же самое, как если бы ток шел только по петле Г, ибо токи ва всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Система небольших токов физически не будет отличима от исходного контура, и эноргия должна быть той же, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
