Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вы можете возразитгк «Но ведь там есть магнитное поле». Да, есть, но вспомните нашу исходную идею — «реально» только такое поле, которое, чтобы определить собой движение частицы, должно быть задано в том месте, где она находится. Поле В в нити действует на расстоянии. Если мы не хотим, чтобы его влияние выглядело как действие на расстоянии, мы должны пользоваться векторным потенциалом. " Если поле В выходит из плоскости рисунка, то поток, в «сота«тстаии о ого определением, будет отрицательным, а ла — положительныи. Эта проблема имеет интересную историю.
Теория, которую мы изложили, была известна с самого возникновения квантовой механики, с >926 г. Сам факт, что векторный потенциал появляется в волновом уравнении квантовой механики (так называемом уравнении Шредингера), был очевиден с того момента, как оно было написано. В том, что он не может быть заменен магнитным полем, убеждались все, кто пытался это проделать; друг за другом зсе убеждались, что простого пути для этого не существует.
Это ясно н из нашего примера, когда электрон движется по области, где нет никакого поля, и тем не менее подвергается воздействию. Но, поскольку в классической механике А, по-вндимому, не имело непосредственного, важного значения и, далее, из-за того, что его можно было менять добавлением градиента, л>оди еще и еще раз повторяли, что векторный потенциал не обладает прямым физическим смыслом, что даже в квантовой механике «правами» обладают только электрические и магнитные поля. Ногда оглядываешься назад, кажется странным, что никто не подумал обсудить этот опыт вплоть до 1956 г., когда Бом я Аронов впервые предлоя>илн его и сделали весь вопрос кристально ясным. Все зто ведь всегда подразумевалось, но никто пе обращал на это внимании.
И многие были просто потрясены, когда всплыл этот вопрос. Вот по етой-то причине кое-кто и счел нужным поставить опыт и убедиться, что все это действительно так, хотя квантовая механика, в которую все мы верим вот уже сколько лет, давала вполне недвусмысленный ответ, Занятно, что подобные вещи могут тридцать лет быть на виду у всех, но из-за определенных предрассудков относительно того, что существенно, а что нет, могут всеми игнорироваться. Сейчас мы хотим немного продолжить наш анализ.
Мы продемонстрируем связь между квантовомеханической и классической формулами, чтобы показать, почему оказывается, что при макроскопическом взгляде на вещи все выглядит так, как будто частицы управляются силой, равной произведению дт на ротор А. Чтобы получить классическую механику из квантовой, нам нуя>но рассмотреть случаи, когда все длины волн малы по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняются внешние условия (например, полн). Мы не будем гнаться за общностью доказательства, а только попал<ем все на очень простом примере. Обратимся снова к тому >ке опыту со щелями. Но теперь вместо того, чтобы втискивать все магнитное поле в узкий проме>куток между щелями, представим себе такое магнитное поле, которое раскинулось позади щелей широкой полосой (фиг.
>5.8). Возьмем идеализированный случай, когда в узкой полосе шириной а>, много меныпей Х, магнитное поле однородно. (Это легко устроить, надо только подалыпе отнести поглотитель.) Чтобы подсчитать сдвиг по фазе, «неве«ее Е == --- Т Ф и г. ло.д. Сдвиг интерференционной картина ив-га ее«линия полоски маенгетного поля.
6 = 6 (В = О) + — ц- Вигсг. Х (15.37) Мы замечаем, что впринятом приближении сдвиг фаз не зависит от угла. Так что опять-таки эффект сводится к сдвигу всей картины вверх на величину Лх. Из формулы (15.28) Лх= — „-Лб= — [6 — 6(В=О)). Подставляя 6 — 6 (В = 0) из (15.37), получаем Лх=Ло. ц Виг. Ь (15.38) Такой сдвиг равиодевен тому, что все траектории отклоняются на небольшой угол а (см. фиг. 15.8), равный а = — = — дВиг. йа (15.39) По классическим воззрениям мы тоже должны были ожидать, что узкая полоска магнитного поля отклонит все траектории на какой-то маленький угол, скагкем а' (фиг.
15.9,а). Когда электроны проходят через магнитное поле, они подвергаются действию поперечной силы дт х В в течение времени иг/и. Изменение их поперечного импульса просто равно ему самому, так что Лр„= дигВ. (15.40) 2о мы должны ваять два интеграла от А вдоль двух траекторий (1) и (2). Как мы видели, они различаются просто на поток В между этими путями. В нашем приблиясении поток равен Вигсг. Разность фаз для двух путей поэтому равна Ф и г. 1з.р.
Отклонение чагтизн из-за прохождения ее через магнитное поле. Угловое отклонение (фиг.15.9,б) разно отношени1о этого поперечного импульса к полному импульсу р. Мы получаем и'=~ — "'" = ~ . (15.11) р р Этот результат можно сравнить с уравнением а' (15.39), в котором та же велиреезезечз чина вычислялась квантово- Р механически. Но связь между классической и квантовой Е механикой в том и состоит, что частице с импульсом р ставится в соответствие квантовая амплитуда, изменяющаяся как волна длиной Х = Ь|р, В соответствии с этим уравнением сг и и оказываются идентичными; и классические н квантовые выкладки приводят к одному и тому яке. Из этого анализа мы видим, как получается, что векторный потенциал, который в квантовой механике появляется в явном виде, вызывает классическую силу, зависящую только от его производных.
В квантовой механике существенна только интерференция между соседними путями; в ней всегда оказывается, что эффект зависит только от того, как сильно поле А меняется от точки к точке, а значит, только от производных А, а не от него самого. Несмотря на это, векторный потенциал А (наряду с сопровождающим его скалярным потенциалом ер), по-видимому, приводит к более прямому описанию физических процессов. Чем глубже мы проникаем в квантовую теорию, тем яснее и прозрачней нам это становится.
В общей теории — квантовой электродииамнке — в системе уравнений, заменяющих собой уравнения Максвелла, векторные и скалярные потенциалы уже считаются фундаментальными величинами. Векторы Е и В постепенно исчезают из современной записи физических законов: их вытесняют А и ер. ф 6. тХтно неьпннно в етвпьнке, ио лолгио в динамике р Наше исследование статических полей близится к концу. В этой главе мы опасно близко подошли и такому пункту, когда уже следует подумывать о том, что случится, если поля начнут меняться со временем.
Толкуя о магнитной энергии, нам едва удалось избежать этого, да и то потому, что мы прикрылись релятивистскими соображениями. Даже при этом наша трактовка проблемы энергии выглядела несколько искусственно и, пожалуй, даже таинственно, потому что мы игнорировали тот факт, что движущиеся катушки должны на самом деле создавать меняющиеся поля. Теперь самое время перейти к изучению полей, меняющихся во времени, к тому, что составляет предмет электродинамики. Мы проделаем это в следующей главе. Однако прежде следует подчеркнуть некоторые моменты. Хотя мы и начали этот курс с того, что представили полные и точные уравнения электромагнетизма, мы сразу же принялись изучать накие-то вырезанные кусни, потому что так было легче.
Большим преимуществом является возможность начать с простой теории статических полей и ливть потом перейти н более сложной теории, включающей динамические поля. При атом приходится с самого начала учить меньше нового материала и остается время потренировать мозги, поразмять свои умственные мускулы, прежде чем приступить к задачам потруднее. Но в таком процессе ироется одна опасность — пока мы не услышали весь рассказ целиком, в нас может укорениться и выдать себя за полную та неполная истина, которую мы успели усвоить; в голове все перепутается: то, что верно всегда, и то, что справедливо только временами.
Поэтому в табл. 15.1 мы даем сводку важнейших формул, которых мы касались, отделяя в ней те, что верны в общем случае, от тех, которые соблюдаются только в статике, но ложны в динамике. Зта сводка содержит намеки на то, куда мы собственно с вами путь дер1ним; изучая динамику, мы должны будем детально развить то, что пока приходилось описывать без доказательства. Пожачуй, здесь стоит сделать несколько замечаний по поводу самой таблицы.
Презнде всего вы должны обратить внимание, что уравнения, с которых мы начали, это правильные уравнения, в этом месте мы вас не вводим в заблуждение. Формула для электромагнитной силы (часто именуемой силой Лоренца) Р = д (Е+ч Х В) также правильна. Ошибочен только закон Кулона; он годится только для статики.
Четыре уравнения Максвелла для Е и В тоже правильны. Уравнения, принятые нами в статике, ошибочны, потому что мы выбросили из них все члены с производными по времени. (7, 1! 1 ьг а> и г. 15.10. Потензиалъь в точке (1) в молинт г колучавтсч суммированием вкладов от каждого глемента источника коля в текуьчей точке (д) кри условии, что токи и городи в втой точке бер утся в более раннее время г — еы/с. Закон Гаусса Ч Е = р/зо остается, ио ротор Е в общем случае не равен нулю. Значит, Е нельзя всегда приравнивать к градиенту скаляра — электростатического потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
