Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. должна быть равна сумме знергий всех петелек. Если площадь каждой петельки Ла, то ее энергия равна /ЛаВ„, где „— компонента В, нормальная к Ла. Полная знергия равна (/ = ~~~~~/В„Л а. ер иг, 1б.й. Энергию большой пегпли в магнитном поле .можно считать сум ой внергий маленьких петелек. В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается в интеграл, и (1=1) Впйа=1) В псгй, (15.17) где и — единичная нормаль к егй. Если мы положим В = ЧХА, то поверхностный интеграл можно будет связать с контурным (по теореме Стокса): 1 ~ (Ч ХА) пг)й=1фА дз, (15.18) где ггз — линейный алемент вдоль Г. Итак, мы получили энер- гию контура произвольной формы: и=1фА.
Ь. коигтр (15. 19) В этом выражении А обозначает, конечно, векторный потенциал, возникающий из-за токов (отличных от тока 1 в проводе), которые создают поле В близ провода. Далее, любое распределение постоянных токов можно считать состоящим из нитей, идущих вдоль тех линий, по которым течет ток. Для любой пары таких контуров энергия дается выражением (15.19), где интеграл взят вокруг одного из контуров, а векторный потенциал А создан другим контуром.
Полная анергня получается сложением всех таких пар. Если вместо того, чтобы следить за парами, мы полностью просуммируем по всем нитям, то каждую энергию мы засчитаем дважды (такой же эффект мы наблюдали в электростатике), и полную энер- гию можно будет представить в виде (15.20) Это соответствует полученному для электростатической энергии выражению У = — ) рф сЛ~.
г Г (15.21) Значит, мы можем считать А, если угодно, своего рода потенциальной энергией токов в магнитостатике. К сожалениго, это представление не очень полезно, потому что оно годится только для статических полей. В,' действительности, если поля со временем меняются, ни выражение (15.20), ни выражение (15.21) не дают правильной величины энергии. ф 4. В ««л««Аг В этом параграфе нам хотелось бы обсудить такой вопрос: что такое векторный потенциал — просто полезное для расчетов приспособление (так в электродипамике полезен скалярный потенциал) или «не оп как поле вполне «реален»? Или же «реально» лишь магнитное поле, так как только опо ответственно за силу, действующую на движущуюся часткцуг Для начала нужно сказать, что выражение «реалькое полее реального смысла не имеет.
Во-первых, вы вряд ли вообще полагаете, что магнитное поле хоть в какой-то степени «реаль- по», потому что и сама идея поля — вещь довольно отвлеченная. Вы не можете протянуть руку и пощупать это магнитное поле. Кроме того, величина магнитного поля тоже ке очень определенна; выбором подходящей подвижной системы координат можно, к примеру, добиться, чтобы магнитное поле в давкой точке вообще пропало. Под «реальным» полем мы понимаем здесь вот что: реальное поле — это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о далькодействии. Если в точке Р имеется заряженная частица, то на иее оказывают влияние другие ааряды, расположенные на каком-то удалении от Р.
Один прием, которым можно описать взаимодействие,— ато говорить, что прочие заряды создают какие-то «условия» (какие — не имеет значения) в окрестности Р. Если мы знаем эти условия (мы их описываем, задавая электрическое и магнитное поля), то можем полностью определить поведение частицы, нимало не заботясь после о том, чтб именно создало эти условия. Иными словами, если бы эти прочие заряды каким-то образом изменились, а условия в Р, описываемые электрическим и магнитным полем в точке Р, остались бы прежними, то движение заряда тоже не изменилось бы.
«Реальное» поле тогда есть совокупность чисел, заданных так, что то, что происходит в некоторой точке, вависит только от чисел в этой точке и нам больше не нужно знать, чтб происходит в других местах. Именно с таких позиций мы и хотим выяснить, является ли векторный потенциал «реальным» полем. Вас может удивить тот факт, что векторный потенциал определяется не единственным образом, что его мо»кно изменить, добавив к нему градиент любого скаляра, а силы, действующие на частицы, не изменятся.
Однако зго не имеет ничего общего с вопросом реальности в том смысле, о котором мы говорили. К примеру, магнитное поле как-то меняется при изменении относительного движения (равно как и Е или А). Но нас нисколько не будет заботить, что ноле можно изменять таким образом. Нам зто безразлично; это никак не связано с вопросом о том, действительно ли векторный потенциал †«реальное» поле, пригодное для описания магнитных эффектов, или же ато просто удобный математический прием.
Мы должны еще сделать кое-какие замечания о полезности векторного потенциала А. Мы видели, что им можно пользоваться в формальной процедуре расчета магнитных полей заданных токов, в точности как ер может применяться для отыскания электрических полей. В электростатике мы видели, что ~р давалось скалярным интегралом (15.22) Из этого р мы получали три составляющих Е при помощи трех дифференцирований.
Обычно это было легче, чем вычислять трк интеграла в векторной формуле (15.23) 1» Во-первых, нх три, а во-вторых, каждый из них вообще-то немного посложнее, чем (15.22). В магнитостатике преимущества не так ясны. Интеграл для А уже сам по себе векторный: (15.24) 4зе»с» т. е. здесь написаны три интеграла. Кроме того, вычисляя ротор А для получения В, надо ваять шесть производных и расставить их попарно. Сразу не ясно, проще ли это, чем прямое В (1) = —, ~, и «Ле».
(15,25) 4ке«« '13 В простых задачах векторным потенциалом часто бывает пользоваться трудное, и вот по какой причине. Предположим, иас интересует магнитное поле В в одной только точке, а задача обладает какой-то красивой симметрией. Скажем, нам нужно знать поле в точке на оси кольцевого тока. Вследствие симметрии интеграл в (15.25) легко возьмется и зы сразу получите В. Если бы, однако, мы начали с А, то прин»лось бы вычислять В из производных А, а для атого надо было бы знать А во всех точках по соседству с той, которая нас интересует. Болыпая я<о часть их не лежит на оси симметрии, интеграл для А усложняется. В задаче с кольцом, например, пришлось бы иметь дело с аллиптическими интегралами.
В подобных задачах А, разумеется, не приносит большой пользы. Во многих сложных задачах, бесспорно, легче работать с А, но в общем трудно было бы доказывать, что эти технические облегчения стоят того, чтобы начать изучать еще одно векторное поле. Мы ввели А потому, что оно действительно имеет большое физическое значение.
Оно не просто связано с энергиями токов (в чем мы убедились в последнем параграфе), оно — «реальное» физическое поле в том смысле, о котором мы говорили выше. В классической механике силу, действующую на частицу, очевидно, можно записать в виде Р=д(Е+чхВ), (15.26) так что, как только заданы силы, движение оказываетсяполностью определенным. В любой области, где В = О, хотя бы А и не было равно пулю (например, вне соленоида), влияние А ни в чем не сказывается.
Поэтому долгое время считалось, что А — не «реальное» поле. Оказывается, однако, что в квантовой механике существу»от явления, свидетельствующие о том, что воле А на самом деле вполне «реальное» поле, в том смысле, в каком мы определили это слово. В следующем параграфе мы покажем, что все это значит. ф д..Вект ор»»ь«й ыок»енцкал и кепи»повпя л«есспнк»«п Когда мы от классической механики переходим к квантовой, то наши представления о важности тех или иных понятий во многом меняются.
(Кое-какие из этих понятий мы уже рассматривали раньше.) В частности, постепенно сходит на нет понятие силы, а понятия энергии и импульса приобретают первостепенную важность. Вместо даик<ения частиц, как вы помните, речь теперь идет уже об амплитудах вероятностей, которые меняются в пространстве и времени. В ати амплитуды входят длины волн, связанные с импульсами, и частоты, связываемые с энергиями. Импульсы и энергии определяют собой фазы йп гено Ф и г. 1й.й. еентерференционний опиеп с олектронпми, волновых функций и по этой-то причине они важны для квантовой механики.
Вместо силы речь теперь идет о том, каким образом взаимодействие меняет длину волны. Представление о силе становится уже второстепенным, если вообще о пем еще стоит говорить. Даже когда, к примеру, упоминают о ядерных силах, то на самом деле, как правило, работают все же с онергиями взаимодействия двух нуклонов, а не с силой их взаимодействия. Никому не приходит в голову дифференцировать энергию, чтобы посмотреть, какова сила.
В этом параграфе мы хотим рассказать, как возникают в квантовой механике векторный и скалярный потенциалы. Оказывается, что именно из-за того, что в квантовой механике главную роль играют импульс и энергия, самый прямой путь введения в квантовое описание алектромагнитных аффектов — сделать это с помощью А и ср. Надо сперва слегка напомнить, как действует квантовая механика. Мы снова вернемся к описанному в вып. 3, гл.
37, воображаемому опыту, в котором электроны испытывали дифракциюна двух щелях. На фиг. 15.5 показано то же устройство. Электроны (все они облада»от примерно одинаковой энергией) покидают источник и движутся к стенке с двумя узкими щелями. За стенкой находится «защитный» вал — поглотитель с подвижным детектором. Этот детектор предназначен для измерения частоты 1, с которой электроны попадают в неболыпой участок поглотителя на расстоянии л от оси симметрии. Частота эта пропорциональна вероятности того, что отдельный электрон, вылетевший из источника, достигнет этого участка «вала».
Вероятность обладает распределением сложного вида (оно показано на рисунке), которое объясняется интерференцией двух амплитуд, по одной от каждой щели. Интерференция двух амплитуд зависит от их разности фаз. Иными словами, когда амплитуды равны С е~" и С е'«'е, разность фаз б=Фт — Ф, определяет интерференционную картину (см. вып. 3, гл. 29, уравнение (29.12)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
