Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. приооретет компоненту импульса, направленную вверх или внв ь (Мы говорим и о еерелганости н о частице, потому что днфракционную картину можно обнаружить с помоплыо счетчика частиц, а когда счетчик регистрирует частицу, скажем, в точке С па фпг. 38.2, то он регистрирует частицу целиком. А это значит в классическом смысле, что частица имеет вертикальньш импульс, направляюгцнй ее из щели прямо в точку С.) Чтобы примерно представить себе степень расплывания импульса, напшпем, что вертикальный импульс ди размазан на рэЛО, где рс — горизонтальный импульс.
Чему же равно ЛО в размазанной картине? Известно, что первый минимум наблюдаетсн прн угле ЛО таком, что в этом направлении волна от дальнего края щели должна отстать на одну свою длину от волны от ближнего края (мы оо этом уже говорили в гл. 30). Стало быть, ЛО равно )УВ, и тем самым Лре в этом эксперименте равно рсЕ1В. Чем меньше будет В, чем точнее будет определяться положение частицы, тем шире будет днфракцпоннан картина. Вслломните, что когда мы закрывали щели в эксперименте с микроволнамн, то интенсивность в стороне от щели возрастала. Значит, чем уже щель, тем шире становится картина днфракции, тем правдоподобнее, что мы обнаружим у частицы импульс, направленный в сторону. И неопределенность в вертикальном импульсе, действительно, обратно пропорциональна неопределенности в .
у, потому что их произведение равно рсХ. Ф и г. дд,д Определение импульса с полеоиегю дифракуиониой реюепю ни. Но Х вЂ” это длина волны, а р, — импульс, и в соответствии с квантовой механикой их произведеиие — это постоянная Планка Ь. Получается, что произведеиие кеояределеииостей в вертикальном импульсе и в вертикальной координате есть величина порядка Ь: (38.3) Ауйру = Ь. Мы ие можем приготовить систему, в которой положение частицы по вертикали было бы известно, и в то же время предсказывать с определенностью, превышающей Ь,'Лу, насколько ее движение отклонится от вертикали. Неопределеииость в вертикальиом импульсе всегда больше ЬгеЛу, если Лу — кеопределеииость, с какой мы знаем положекие частицы. Некоторые люди утверждают, что в квантовой механике все неправильно.
Когда, говорят оии, частица приближалась слева, ее вертикальный импульс был равен иущо. А когда оиа прошла через щель, стало известно ее положение. И то, и другое может быть определено с любой точностью. Совершенно верно. Мы можем зарегистрировать частицу и определить, каково ее положение и каким должен был быть ее импульс, чтобы оиа попала туда, куда оиа попала. Это все верно. Но соотношение неопределенностей (38.3) ничего общего с этим ие имеет.
Уравкеиие (38.3) относится к возможности предсказания, а ие к замечаниям о том, что произошло в прошлом. Какая польза в том, что мы скажем: «Я знал, каков был импульс до прохода частицы сквозь щель, а теперь узнал к тому же и координату»'. Ведь теперь-то знание об импульсе частицы уже утеряно. Раз оиа прошла сквозь щель, то мы уже ие можем больше предсказывать ее вертикальный импульс. Речь идет о теорки, способной к предсказаикям, а ие об измереииях после того, как все завершилось. Мы и обсуждаем вопрос о том, чтб можно предвидеть. Попробуем теперь по-ииому подойти к этим вещам. Приведем другой пример того же явления, на этот раз с более подробиыми количественными оценками.
Прежде мы измеряли импульс классическим способом: мы рассматривали направление, скорость, углы, и тому подобное; в этом заключался способ получения импульса путем классического анализа. Но раз импульс связан с волновым числом, то в природе существует и другоп, совершенно иной путь измерения импульса частиц (все равно, фотона нли любой другой), не имеющий классического аналога. В нем используется уравнение (38.2) и просто измеряется длина волны. Давайте попробуем таким способом измерять импульс. Пусть имеется решетка со мно'кеством линий (фпг. 38.3), на которую направлен пучок частиц. Мы неоднократно рассматривали зту задачу; когда у частиц есть определенный импульс, то вследствие интерференции в некотором направлении возникает очень резкий максимум.
Ъ!ы также говорили о том, насколько точно можно определить этот импульс, т. е. какова разрешающая сила решетки. Мы не будем заново это все выводить, а сошлемся на гл. 30; там мы выяснилн, что относительная неопределенность в длине волны, связанная с данной решеткоп, равна 1/Хт, где Х вЂ” количество линий решетки, а т — порядок днфракционного максимума. Иначе говоря, (38.4) х ~ум Перепишем эту формулу в виде Ы.
! 1 Г ХЫ где расстояние Ь показано на фиг. 38.3. Зто — разность двух расстояний: расстояния, которое должна пройти волна (или частица), отразившись от нижней части решетки, н расстояния, которое нужно пройти, отразившись от верха решетки. Другими словами, волны, образующие дифракционный максимум,— это волны, прнходящке от разных частей решетки. Первымн прибывают волны, вышедшие снизу — это начало цуга волн, а потом следуют дальнейшие части цуга, от средних частей решетки, пока пе придут волны от верха: точка цуга, удаленная от его начала на расстояние Ь.
Значит, чтобы получить в спектре резкую линию, отвечающую определенному импульсу [с неопределенностью, даваемой формулой (38.4)], для этого нужен цуг волн длиной Ь. Если цуг чересчур короток (короче Х), то не вся решетка будет действовать. Волны, образующие спектр, будут отражаться при этом только от неболыпого куска решетки, и решетка не будет хорошо работать — получится сильное размытие по углу. Чтобы его сузить, надо использовать всю ширину решетки так, чтобы хотя бы на одно мгновение весь цуг волн улегся одновременно на решетке и рассеялся ото всех ее частей. Потому-то длина цуга должна быть равна /.; тогда только неопределенность в длине волны окажется меньше, чем указано формулой (38.5). Заметим, что (38.6) поэтому Лй =: — '", (38.7) Лю=— зл т (38.8) Чы все время старались подчеркнуть, что это свойство са»шх волн, что все это хорошо известно, например в теории звука.
Л квантовомеханпческие применения этих свойств опираются на толкование волнового числа как меры импульса частицы по правилу р = — Й/д так что (38.7) уже утверждает, что Лр 1»/Лх. Это устанавливает предел классическому представлен»по об импульсе. (Естественно, оно и должно быть как-то подвергнуто ограничению, если мы собираемся изображать частицы как волны!) И очень хорошо, что мы ншпли правило, которое каким-то образом берется указать, где нарушаются классические представления.
где Ь вЂ” длина цуга волн. Это означает, что когда цуг волн короче «, то неопределенность в волновом числе превосходит 2л/7. Иначе говоря, неопределепность в волновом числе, умноженная на длину волнового цуга (назовем ее на минутку Лх), больше 2я. Мы назвали ее Лх потому, что зто как раз неопределенность в положении частицы. Коли цуг волн тянется только на конечном промежутке, то лишь там мы и мо;кем облару,кить часпгцу с неопределенностью Лх. Это свойство волн (тот факт, что произведение дчины цуга волн на неопределенность в волновом числе, связанном с этим цугом, не меньше 2и) опять-таки хорошо знакомо всом, кто занимался волнами.
И никакого отношения к волновой механике оно не имеет. Просто нельзя очень точно подсчитать число волн в конечной их веренице. Ооъяснпть зто мои«но и по-другому. Пусть длина цуга волн Ь. Так как на концах цуга волны спадают (как па фиг. 38.1), то количество волн на длине 7 известно с точностью порядка -!- 1. Но число волн на длине 7, равно /«7/2я. Значит, неопределенность в й равна 2я/Ь. Опять получалась формула (38.7) как простое свойство всяких волн. Это остается верным всегда: и для волн в пространстве, когда /«есть количество радиан на '! сж, а Ь вЂ” длина цуга, и для волн во времени, когда «о есть число колобаипй в 1 сея, а Т вЂ” «длина» во времени того же цуга.
Иначе говоря, если цуг волн длится только конечное время 7, то неопределенность в частоте дается формулой й! 'я. Дггфрсскг(ггя гсп к)гистггалле Теперь рассмотрим отражение волн вещества от кристалла. Кристалл — это твердое тело, состоящее из множества одинаковых атомов, расположенных стройными рядами. Как можно расположить этот строй атомов, чтобы, отражая в данном направлении данный пучок света (рентгеновских лучей), электронов, не!!тронов, чего угодно, получить сильный максимум? Чтобы испытать сильное отражение, лучи, рассеянные от всех атомов, должны быть в фазе друг с другом. Не может быть так, чтобы точно половина волн была в фазе, а половина— в противофазе, тогда все волны исчезнут. Нужно, стало быть, найти поверхности постоянной фазы; это, как мы уже объясняла раныпе, плоскости, образующие равный угол с начальным и конечным направлениями (фиг.
38.4). Если мы рассмотрим две параллельные плоскости, как показано на фнг. 38.4, то волны, рассеянные на пих, окаясутся в фазе только тогда, когда разность расстонннй, пройденных фронтом волны, будет равна целому числу длин волк. Эта разность, как легко видеть, равна 2еез!и'О, где Ы вЂ” расстояние между плоскостями. Итак, условие когерентного отражения имеет вид 2е(з!зО=гг). (л=1, 2, ...). (38.9) Если, скажем, кристалл таков, что атомы в нем укладываются на плоскостях, удовлетворяющих условию (38.9) с п .= 1, то будет наблюдаться сильное отражение.
Если, с другой стороны, существуют другие атомы той же природы (и располоясенные с той же плотностью) как раз посередине между слонми, то па этих промежуточных плоскостях произойдет рассеяние равной силы; оно интерферирует с первым и погасит его. Поэтому е! в выражении (38.9) должно означать расстояние между иргелсыкагощ исси плоскостями; нельзя в зять две плоскости, разделенные пятью слоями, и применить к ним зту формулу! Ф и е. 88.8. Рассеяние волн ялосностяии нрисмалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
