Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Частота наблюдаемого света тогда будет равна юо. Но возьмем другой пример: пусть такой же атом колеолется с частотой сее и в то же время весь атом, весь осцнллятор как целое двигкется со скоростью и по направлению к наблюдателю. Тогда истинное движение в пространстве будет таким, как изображено на фнг. 34.10,а. Используем наш обычный прием и добавим ст, т. е. сместим всю криву1о назад и получим колебания, представленные на фиг. 34.10,б. За промежуток времени т осциллятор проходит расстояние гт, а на графике с осями х' н р' соответствувлцее расстояние равно (с — г)т. Таким образом, число колебаний с частотой со„которое укладывалось в интервал Лт, на новом чертеже укладывается теперь у>не в интервал Лт =(1 — г/с)Лт; осцилляции сжимаются, и, когда новая кривая будет двигаться мимо нас со скоростью с, мы увидим свет более высокой частоты, увеличенной за счет фактора сокращения (1 — и/с).
Итак, наблюдаемая частота равна Будет ли наблюдаться частота о = о,/(1 — г/с), если атом с собственной частотой оэ движется со скоростью с к наблюдателю? Нет. Нам хорошо известно, что собственная частота движущегося атома о, и частота покоящегося атома оэ — не одно и то же из-за релятивистского замедления хода времени. Так что если 1оэ — собственная частота покоящегося атома, то частота движущегося атома будет равна о=о 1 1 — —, о г е (34.11) Поэтому наблюдаомая частота о окончательно равна юе )' 1 — Р,с о= (34.12) (34.13) Для света мы знаем, что /сэ = оэ/с.
Следовательно, в рассматриваемом примере искомое соотношение имеет вид о, (1+э(с) (34.14) и, казалось бы, не похоже на (34 12)! 146 Изменение частоты, возникающее в таком случае, называется эффектом Допплера: если излучающий объект движется на нас, излучаемый им свет кажется более синим, а если он движется от нас, свет становится более красным.
Приведем еще два других вывода этого интересного и важного результата. Пусть теперь покоящийся источник излучает с частотой ор, а наблюдатель движется со скоростью с к источнику. За время 1 наблюдатель сдвинется на новое расстояние а1 от того места, где он был при 1 = О, Сколько радиан фазы пройдет перед наблюдателем? Прежде всего, как и мимо любой фиксированной точки, пройдет оэг, а также некоторая добавка за счет движения источника, а именно с1йэ (это есть число радиан на метр, умноженное на расстояние). Отсюда число радиан за единицу времени, или наблюдаемая частота, равно о, = ое ' /сев.
Весь этот вывод был произведен с точки зрения покоящегося наблюдателя; посмотрим, что увидит движущийся наблюдатель. Здесь мы снова должны учесть разницу в течении времени для наблюдателя в покое и движении, а это значит, что мы должны разделить результат на )/1 — сэ/с'. Итак, пусть /ее есть волновое число (количество радиан на метр в направлении движения), а о, — частота; тогда частота, регистрируемая движущимся наблюдателем, равна Отличается ли частота, наблюдаемая при нашем движении к источнику, от частоты, наблюдаемой при движении источника к нам? Конечно, нет! Теория относительности утверждает, что обе частоты должны быть в л)очности равны. Если бы мы были достаточно математически педготовлены, то могли бы убедиться, что оба математических выражения в точности равны! В действительности требование равенства обоих выражоний часто используется для вывода релятивистского замедления времени, потому что без квадратных корней равенство сразу нарушается, Раз уж мы начали говорить о теории относительности, приведем еще и третий способ доказательства, который покажется, пожачуй, более общим.
(Суть дела остается прежней, ибо не играет роли, каким способом получен результат!) В теории относительности имеется связь между положением в пространстве и временем, определяемым одним наолюдателем, и положением и временем, определяемым другим наблюдателем, движущимся относительно первого. Мы уже выписывали эти соотношения (гл. 16)*. Ояи представляют собой преобразования Лоренца, прямые и обратные: х+ с) х' — с)' Х= у 1 — с~)сс 1' 1 — с~ с' 34 55 ) + сх)сс ( .5) "=) —.1Ы Для неподвижного наолюдателя волна имеет вид соз(О)1 — )сх); все гребни, впадины и нули опись)ваются этой формой.
А как будет выглядеть та же самая физическая волна для дви)кущегося наблюдателя? Там, где поле равно нулю, любой набл)одатель при измерении получит нуль; это есть релятивистский инвариант. Следовательно, форма волны не меняется, нужно только написать ее в системе отсчета движущегося наблюдателя; )' — хх',с' соз (О)1 — )сх) =со5 [ О) — - .' — — й 5~1 — с),'с' )' 1 — с',сс ) Произведя перегруппировку членов, получим [ ыс ус, Ь+х,)сс Сез (О)1 — )СХ) = СО5 =СО5[ О) 1 — Й Х). (34П 6) Мы снова получим волну в виде косинуса с частотой О) в качестве коэффициента при 1' и некоторой другой константой й' — коэффициентом при х'. Назовем й' (или число колебаний на 4 м) волновым числом для второго наблюдателя.
Таким образом, движущийся наблюдатель отметит другую частоту и х Выпуск 2, стр. 28. 15) другое волновое число, определяемые формулами ы+яо О!' =— )' 1 — сс)сс (34,17) и /с+но~со Р 1 — сг,сс (34.18) Легко видеть, что (34.17) совпадает с формулой (34.13), полученной нами на основании чисто физических рассуждений. СВ и г, 34.11.
Плоская волна, двиясуи!аяся под углом. 148 ф Х. Четпьвувехвеъгвво)в бю, 7с) Соотношения (34.17) и (34.18) обладают весьма интересным свойством: новая частота со линейно связана со старой частотой ю и старым волновым числом вс, а новое волновое число представляется в виде комбинации старого волнового числа и частоты. Далее, волновое число есть скорость изменения фазы с расстоянием, а частота — скорость изменения фазы со временем, и сами соотнопвения обнаруживают глубокую аналогию с преобразованиями Лоренца для координаты и времени: если со сопоставить с д а й с х,'с', то новое со' сопоставляется с !', а 7с' — с координатой хусг. Иначе говоря, пр!л преобразовании Лоренца се и 1с изменяются так же, как ! и х. Эти величины ю и й составляют так называемый четырехвектор.
Четырехкомпонентная величина, преобразуюгцаяся как время и координаты, и есть четырехвектор. Здесь все правильно, за исключением одного — четырехвектор имеет четыре компоненты, а у нас фигурируют только две! Как уже говорилось, ы и й подобны времени и одной координате пространства; для введения двух остальных координат надо изучить распространение света в трехмерном пространстве. Пусть задана система координат х, у, х и волна движется в пространстве с волновым фронтом (фиг. 34!.11).
Длина волны есть Х, а направление распространения волны не совпадает ни с одной осью координат. Какой вид имеет формула движения для такой волны? Ответ очевидон: это сов (юг — йа), где й = 2п!Л, а г (расстояние вдоль направления движения волны) — проекция вектора положения на направление движения. Запишем это следующим образом: пусть г есть вектор точки в пространстве, тогда г есть г е, где е» вЂ” единичный вектор в направлении движения волны. Иначе говоря, г равно гсов(г е»), проекции расстояния на направление движения. Следовательно, наша волна описывается формулой соз(ю1 — йе» г). Оказывается очень удобным ввести вектор й, называемый волновым вектором; величина его равна волновому числу 2я7Л, а направление совпадает с направлением распространения волны к = "— » = йе».
э' (34.19) Благодаря введению этого вектора волна приобретает вид сов(«»Г — )«г), или соз («ог — к х — й, у — к,г). Выясним смысл проекций й, например Л „. Очевидно, 1«„есть скорость изменения фазы в зависимости от координаты х. Фиг 34.11 подсказывает нам.
что фаза меняется с ростом х так, как если бы вдоль х бежала волна, но соответствующая ей длина волны оказывается больше по величине. «Длина волны в направлении х» больше истинной на множитель, равный секансу угла ««между осью х и направлением движения истинной волны: Л» Л (34,20) «05 о Следовательно, скорость изменения фазы, обратно пропорциональная Л„, в направлении х оказывается женыие на множитель сов с«; но этот же множитель содержит н й„равный модулю к, умноженному на косинус угла между к и осью х! Итак, мы выяснили смысл волнового вектора, описывающего распространение волны в трехмерном пространстве.
Четыре величины ы, Л», Лю Л, преобразуются в теории относительности как четырехвектоар, причем «о соответствует времени, а /с», йю Й, соответствуют х, у к з и компонентам четырехвектора. Бще раньп»е, когда мы занимались теорией относительности (гл. 17) «, мы выяснили, что из четырехвекторов можно составить релятивистское штрихованное произведение. Взяв вектор поло;кения х„(где )«нумерует четыре компоненты — время и три пространственные) и волновой вектор Л, (где р снова пробегает четыре значения), образуем штрихе»ванное произведение х, и й, записываемое в виде ~Ъ х .
Зто произведение есть инвариант, не зависящий от вйбора системы координат. Согласно определению штрихованного произведения, ~ Выпуск 2, стр. ЗЭ. можно записать ~к~~~'Й х„в следующем виде: ~Чр~' )с„х = ыс — 1с„х — (с„у — Й,з. (34.21) Поскольку й есть четырехвектор, то, как лсы уже знаем, ~~Р„'1.„х есть ийвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Под знак косинуса в нашей формуле для плоской волны входит именно зто произведение, и оно обязано быть инвариантом относнтольно преобразований Лоренца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
