Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть в дополнение к случайному выбору направления шага (+ или — ) некоторым непредсказуемым образом меняется также и его длина, причем требуется выполнение одного-единственного условия, чтобы длина шага в среднем была равна единице. Эта задача уже больше похожа на тепловое движение молекул в газе. Обозначим длину шага через Я, которая, вообще говоря, может быть любой, но наиболее часто будет принимать значения где-то«вблизи» единицы. Для болыпей определенности давайте положим <Я«> = 1, или, что эквивалентно, Ь«„== 1. Вывод выражения для <г>'> при этом останется тем же, за исключением того, что уравнение (6.8) изменится теперь следующим образом: <1>й> = <??й,> -]- <о'> = <Рй,>+1.
(6.15) Так что, как и прежде, <1>й> = Л'. (6.16) Каково же в этом случае будет распределение расстояний? Какова, например, вероятность того, что после 30 шагов 1> окажется равным нулю? Вероятность этого равна нулю! Вообще вероятность любойеаданнойвеличины О равна нулю. Действительно, совершенно невероятно, чтобы сумма всех шагов назад (при произвольной длине каждого из них) в точностк скомпенсировалась шагами вперед.
В этом случае мы уже ие можем построить график типа изображенного на фиг. 6,2, Если же, однако, не требовать, чтобы Р было в точности равно, скажем, нулю, или единице, или двум, а вместо этого чн говорить о вероятности получения Р где-то вблизи нуля, или единицы, или двух, то при этом мы можем нарисовать график, подобный приведенному на фиг.
6.2. Назовем Р (х, бсх) вероятностью того, что Р будет находиться где-то внутри интервала Ах в окрестности величины х (скажем, где-то между х и х + Ах). Если Лх достаточно мало, то вероятность того, что Р попадет в этот интервал, должна быть пропорциональна его ширине, т. е, Лх. Поэтому мы можем утверждать, что Р(х, Ьх) =р(х) Лх. (6.17) Функция р (х) называется плоткоспьью верояпьности. Впд кривой р(х) аависит как от числа шагов Х, так и от распределения шагов по длинам (т.
е. от того, какую долю составляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь заниматься доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов У плотность р (х) одинакова для всех разумных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого зч'.
На фпг. 6.7 показаны трн графика р (х) для различных Х. Заметьте, что гполуширнньм этих кривых, как это н должно быть по назпим предыдущим расчетам, приблизительно равны ~'У, Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи нуля обратно пропорциональна )ссЛ'. Это происходит потому, что все кривые по форме очень похожи, только одни <размазаны» больше, а другие — меньше, и, кроме того, площади, ограниченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действи- -юз -аю-лю-ддо-лю-ию-юз и йю аю лю аю П гз и г.
6.7. Плотность вероятношпи оказаться при случайном блуясдании через стс шагов на расстоянии П. О шмерттся в едининая средней квадратичной длины шага. Ф и г. д.д. Вероячп ното ь (гппьт рияоеанная область под прагой (я)) того, что прн случайном еуждпнии пройденное расстояние 0 оаажепься между я и я, я; х, тельно, ведь р (х) Лх зто вероятность того, что 1) находится гдето внутри интервала Лх (Лх м ало).
К ак определить вероятность того, что.0 находится где-то между х, и хз? Для этого разобьем интервал между х, и хз на узщье полоски шириной Лх (фиг. 6.8) и вычислим сумму членов р (х) Лх для каждой такой полоски. Геометрически эта вероятность (запишем ее в виде Р (хе(Р ( хг)] равна площади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем уже будут наши полоски, том точнее результат. Поэтому можно записать Р (х, ( д < х,) = ~ р (х) Лх = ) р (х) Их. (6.18) л, Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероятности того, что й принимает какое-то значение между — со 'и +со.
Ясно, что она должна быть равна единице, т. е. ои ~ р(х) ссх=1. (6.19) — л"-, го' р(х)= д е $ е 2н (6.20) причем величина с называется стандартным отклонением. В нашем случае о =- )е~У или 1'УЮт„, если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы. Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких-то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Пред- Це Ну а поскольку ширина кривых на фпг. 6.7 пропорциональна $' рг', то, чтобы сохранить ту же площадь, пх высота должна быть пропорциональна 1,')г'Х Плотность вероятности, которую мы только что описали, встречается наиболее часто.
Она известна также под названием нормальной,или гауссовой, плотности вероятности и записывается в виде Ф и г. 6.9. Рагкргдглгкпг Молекул гаге пг скор»стаи. <ю пг "е ставьте себе, что мы открыли в кол»нате пузырек с духаып илп каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух.
Если в комнате есть какпе-то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но дажев совершенно снокойноли воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху плп цвету. Если нал«известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обнаружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени.
С 'течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов п их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате. Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого ивления, нам вонадобптся знать, с какой скоростью двпжутся молекулы, ударяясь о стенку, поскольку сила пх ударов зависит от скоростп. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно.
В этом случае необходимо использовать вероятностное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходящее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что данная молекула движется с какой-то скоростью между с и п+Лп, будет равна р(п)йп, где р (и) — плотность вероятности, которая зависит от скорости и. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и вдеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции р(в) *.
Примерный вид функции р(п) показан на фиг. 6.9. Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов аа то, что она окажется где-то * Максвелл получил яыражеяие р(г)=Си'г 'г, где а — некоторая связанная с температурой постояииая, а С выбирается таким образом, чтобы полная вероятность была равна единице. 117 в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения (г). О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1 л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (Л' 10"). Поскольку р(с) Л с— вероятностьтого, что первая попавшаясямолекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале Ьа, то, по определению, ожидаемое число молекул (ЛХ> со скоростью, находящейся в этом же интервале, будет равно <ДУ =.У ( ) йш (6,21) Поэтому Хр (с) можно назвать «распределением молекул по скоростям».
Площадь под кривой между двумя значениями скоростей с, и г«(заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Жр(с)) представляет ожидаемое число молекул со скоростями между с, и гм Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1!)'Ж), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростялш мея«ду с, и с, равно площади заштрихованногоучастка».Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о веролтпном числе. д 5, принцип неопределенности Понятия вероятности оказались очень полезны прн описании поведения газа, состоящего из огромного количества молекул.
Немыслимо же в самом деле пытаться определить положение и скорость каждой из 10" молекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероятность суп«ественно необходима для описания различных атомных процессов. Согласно квантовой механике, атой математической теории малых частичек, при определении полон«ения частички и ее скорости всегда существует некоторая неопределенность.
В лучшем случае мы можем только сказать, что существует какая-то вероятность того, что частица находится вблизи точки х. Для описания местоположения частицы можно ввести плотность вероятности р, (х), так что р«(х) Лх будет вероятностью того, что частица находится где-то между х и х + Лх. Если положение частицы установлено достаточно хорошо, то примерный вид функции р«(х) может иллюстрировать график, приведенный на фиг. 6.10, а. Точно такое же положение и со скоростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой 118 Ф и г.
6П6. Плотности огроктности координаты (а) и скорости (б) насогицы. вероятностью р«(г)Лр частица может двигаться со скоростью, паходищейся в интервале между ри р —,Лр. Один из основных результатов квантовой механики состоит в том, что зтп две плотности оо о р, (х) и р«(р) не могут быть выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полушириньо> кривых р, (х) и р, (р) и обозначим их соответственно(Лх) и(Лр) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
