Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100 Р (/с, 30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали получить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а получили в 16.
Но такие феуктуации вполне довускаются <шравилами игры». Использованный здесь метод можно применять и в более общей ситуации, где в ка»кдом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и Л в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда о (вероятность результата П) должна быть равна (1 — р). В серии из и испытаний вероятность того, что результат В получится й раз, равна Р (й, и) = ~„п) р "д" (6.6) Эта функция вероятностей называется биномиальнмм законом распределения верояпгности.
р 3. Слуг«айнь«е блуз«сдан««»« Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте зта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х = О, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), лабо назад (до точки — ш), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты, Как описать результат такого движения? В более общей форме зта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях.
Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты. Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением ?),за )У шагов. На фнг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании. (При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг.
6.В) Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, москно спроситглкакдалекомы в среднем продвинемся? Нужно олсидать, что среднего продви»кения вообще не будет, поскольку мы с ю(яг /О л? Число шоеое су Ф и г. 5.5. Три примера случаиносо блуждании. По с риеонтоеи отлоксено чсгсло шагов Х, по вертикали — координата В«ля ос. е.
чиссков росстолние от на«оленой тоски. 110 равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением У мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково средное абсолютное расстояние, т. е, каково среднее значение (Р(1 Впрочем, удобнее иметь дело не с ~Р6 а с Р', эта величина пояожительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.
Можно показать, что ожидаемая величина,Р»м равна просто Х вЂ” числу сделанных шагов. Кстати, под «о>кидаемой величиной» мы ш>пинаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении болыиого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как <Рь> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного п>ага Ре всегда равно +1, поэтому, несомненно, <Р',> =- '1.
(За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины.) Ожидаемая величина Р~ для >>> ~ 1 может быть получена из Р,, Если после (>>> — 1) шагов мы оказались на расстоянии Рь, „то еще один шаг даст либо Рк =- Р, + 1, либо Р .= — Р, > — 1. Или для квадратов > Р,'т- -!-2Р,>., +1 1 Р,'т > — 2Рм, + 1. (6.7) <Рч> = <Рй,>+ 1, (6. 6) Если теперь вспомнить, что <Р;> = 1, то получается очень простой результат: <Ри > =-»'. (6.9) Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень 111 Если процесс повторяется болыкое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью >>„так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т.
е. ожидаемая величина Р~ будет просто Рч,+1. Но какова величина Р'ч „вернее, какого значения ее мы ожидаем.' Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» <Р.т,'>, так что из (Р~л> и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» Р,.„з р,,-)у7р >=)/У. (6.10) Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали зту главу.
Ксли представить себе, что каждое продвижение вперед илн назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то Р,, будет просто равно Хо — Лгр, т. е. разности числа выпадений«орла» и «решки». ИлипосколькуЛ'о+ Хр=- Х (где Лв полное число подбрасываний), то Р = 2 )Уо — Л. Вспомните, что раныпе мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины Л'о (она обозначалась тогда через см. уравнение (6.5)). Ну а поскольку Х вЂ” просто постоянная, то теперь такое же распределение получилось и для .Р. (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между Л'о и Р появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов (й = 15 соответствует Р = О, а й =- 16 соответствует Р== 2 и т. д.).
Отклонение )»'о от ожидаемой величины ЛЧ2 будет равно (6.11) откуда для среднего квадратичного отклонения получаем (6.12) Вспомним теперь наш результат для Р, „. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно у'30 = 5,5, откуда среднее отклонение )«от 15 должно быть 5,5: 2 =. 2,8. Заметьте, что средняя полушнрина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е.
полуширина «колокола» где-то посредине) ьак раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом. Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монетаг Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Кслп монета «честная», то мы оя<идаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.
— 'о = 0,5. (6.13) Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от Л72 на величину порядка ф'Л!2, 112 го и -й, й ты Цб Й "о I г в в рд дг в«>гв гбв бгг юго ювв«двв ваада падбрасывад»й <О и г. 6.6. Доля выпадений воров» в нспоепорой частной последоеоагелоности Г«подбрасываний монеты. плп, если говорить о доле отклонения, она равна $ )еси У 2 гр.се'' т. е. чем больше Дс, тем ближе к половине отношение Хо/Лс. На фпг. 6.6 отложены числа Лсо!дУ длв тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при увеличении числа У кривая все ближе и ближе подходит к 0,5.
Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждон данной серии пли комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к амоидаелголсу отклонению. Всегда есть конечная вероятность, что произойдет большан флуктуация — появление болыпого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение, Единственное, что можно сказать,— это если отклонения близки к ожидаемому 1,,2)л У (скажем, со множителем 2 или 3), то нот оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует). Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что эозмоя«ны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, который может упасть только на какую-то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны.
Мы определили вероятность Р(0) как отношение <Хо> !Л'. Но что пркнять за величину <Хо>? Каким образом можно узнать, что омоидйешся? Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний и взять <л«'о> = Хо (наблюденное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели н различные серии испытаний могут дать другое значение Р(0), отличное от нашего.
Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут В з«н«в м гога расходиться большечемна 1/2]>>У (если Р(О) близко к половине]. Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «эксперимен- тально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде ~~о Р (О) >« ~2]>>т> (6. 14) При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно поде«и>па>пь, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать ати рассу»кдения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле — вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется прн их изменении. й 4..Рис>»рсделе»«ие вероятностей Давайте вернемся к проблеме случайных блужданий, но теперь уже с некоторым изменением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
