Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 23
Текст из файла (страница 23)
По существу речь шла о вероятностях. Если мы «обстреливаем» быстрыми частицами тонкую пластинку вещества, то имеется некая вероятность, что онн пройдут через нее, не задев ядер, однако с некоторой вероятностью они могут попасть в ядро. (Ведь ядра столь малы, что мы не можем видеть их, мы, следовательно, пе можем прицелиться, и «стрельба» ведется вслепую.) Если в нашей пластинке имеется и атомов и ядро каждого из них затеняет площадь а, то полная площадь, затененная ядрамн, будет равна па. Прн большом числе Л' случайных выстрелов мы ожидаем, что число попаданий ггг будет так относиться к полному числу выстрелов, как затенейная ядрами площадь относится к полной илощади пластинки: ггс Л' А (6.2) Поэтому ыожно сказать, что веролткость попадания каждой из выстреленных частиц в ядро при прохождении сквозь пластинку будет равна РС=А О (6.3) ~ л.
Флумгг»уг»«1и«« Теперь мне бы хотелось несколько подробнее показать, как можно использовать идею вероятности, чтобы ответить на вопрос: сколько же в самом деле я ожидаю выпадений «орла», если подбрасываю монету Х раз? Однако, прежде чем ответить на него, давайте посмотрим, что все-таки дает нам такой «зксперимент».
На фиг. 6.1 показаны результаты, полученные в первых трех сериях испытаний по 30 испытаний в каждой. Последовательности выпадений «орла» и «решки» показаны в том порядке, как это происходило. В первый раз получилось 11 выпадений «орла», во второй — тоже 11, а в третий — 16. Можно ли на етом основании подозревать, что монета была «нечестной»? Или, может быть, мы ошиблись, приняв 15 за наиболее вероятное число выпадений «орла» в каждой серии испытаний? где и?А — просто число атомов, приходящихся на единицу площади пластинки.
х х ххх « хх х й» и о. 6.1. Последовательность випадения ворла» и «рви«ни». три серии альтов паббрасиваиил моне- ти па ЕО рае е «амдаи серии, «» х х «««««в «х хх хх х х Р «х ххх« хххх««««в Р О И х хх««х х хх»х«хх »«с хх х» х» ы т Р Сделаем еще 97 серий, т. е. 100 серий по 30 испытаний в каждой. Результаты их приведены в табл. 6.1 *. Табличс 6.7 ° число выпадении орла» Проведено несколько серий испытаний, ио 30 полбрасываний монеты в каждой 11 16 17 15 17 11 17 17 12 20 16 12 15 10 18 16 12 11 22 12 16 10 15 13 14 14 14 13 16 15 16 11 16 14 17 19 15 14 12 18 1? 17 12 13 14 15 13 17 14 14 15 16 12 13 18 12 15 17 16 11 16 16 13 16 19 18 23 11 16 1? 13 15 20 12 15 16 15 16 19 21 14 14 1! 16 15 14 2! 17 9 13 Взгляните на числа, приведенные в этой таблице.
Вы видите, что большинство результатов «близки» к 15, так как почти все они расположены между 12 и 18. Чтобы лучше прочуиствовать эти результаты, нарисуем график их распределения. Для этого подсчитаем число испытаний, в которых получилось й выпадений «орла», и отложим это число вверх над ?п В результате получим фиг. 6.2. Действительно, в 13 сериях было получено 15 выпадений «орла», то же число серий дало 14 выпадений «орла»; 16 и 17 выпадений получались больше чем 13 раз.
Должны ли мы из этого делать вывод, что монетам болыпе нравится ложиться «орлом» вверх? А может быть, мы неправы в выборе числа 15 как наиболее правдоподобного? Может быть, в действительности более правдоподобно, что за 30 испытаний получас~- па 16 выпадений «орла»? Минуточку терпения! Если мы сложим вместе результаты всех серий, то общее число испытаний в Этп последние 97 акспсрпмснтов проводились следующим образом. Ящспс, в котором находились 30 монет, внергнчно встрнхивалсл; затеи подсчитывалось число выпадений сорпа».
будет 3000, а общее число выпадений «орла» в этих испытаниях достигает 1492, так что доля испытаний с выпадением «орла» в результате будет 0,497. Это очень близко к половине, но все же несколько меньше. Нет, мы все-таки не можем предполагать, что вероятность выпадения «орла» больше, чем 0,5! Тот факт, что в отдельных испытаниях «орел» чаще выпадал 16 раз, чем 15, является просто случайным отклонением, или флуктуацией. Мы же по-прежнему ожидаем, что наиболее правдоподобным числом выпадений должно быть 15.
Можно спросить: а какова вероятность того, что в серии из 30 испытаний «орел» выпадет 15 раз или 16, или какое-тодругое число раз? Мы говорим, что вероятность выпадения «орла» в серии из оояоео испытания равна 0,5; соответственно вероятность невыпадения тоже равна 0,5. В серии из двух испытаний возможны четыре исхода: 00, ОР, РО, РР. Так как каждый из них равновероятен, то можно заключить: а) вероятность двух выпадений «орла» равна '/„б) вероятность одного выпадения «орла» равна '!„в) вероятность невыпадения «орла» равна '/в. Это происходит потому, что существуют дде возможности из четырех равных получить одно выпадение «орла» и только одна возможность получить два выпадения или не получить ни одного. ив е т д ~о гд гд до !д /< Ф и г.
д.г. Сводка результатов 100 серий но 80 испытаний в кихсдой. Вертикальные линии нокаеиватт кисло серии, е которых вьтадал» рав ворель. Пунктирная кривая наклеивает оясидаемое кисет серий а викооением Ь ров еорлае, кол»венное иг еинисления вероятностеа. «исса выпадений Воэиотиаапи орса' ввраипноеть Воэмотиоето ) Т « :Г омоет ости э ьй «Э и э.
В.В. Диаграмма, иллю. спьрирдющап число раэличних й воэнотностей получении О, т, 3 и В выпадений «орла» в серии иэ оьрех испытаний. > э/а < нервов д'росываивв / Вопр» подбрасывание Третье паддрасывпнив о фв (й) =и(."' йр (6.4) 108 Рассмотрим теперь серию из трех испытаний. 'Третье испытание с равной вероятностью может дать лноо «орел», либо «решку», поэтому существует только один способ получения трех выпадений «орлам мы доло«сны получить дза выпадения «орла» в двух первых испытаниях и затем выпадение «орла» в последнем. Однако получить два выпадения «орла» можно уже трели способами: после двух выпадений «орла» может выпасть «решка» н еще два способа — после одного выпадения «орла» в первых двух испытаниях выпадет «орел» в третьем.
Так что число равновероятных способов получить 3, 2, 1 н 0 выпадений «орла» будет соответственно равно 1, 3, 3 и 1; полное же число всех возможных способов равно 8. Таким образом, получаются следующие вероятности: э!в~ э/«, э~в~ ь!в. Эти результаты удобно записать в виде диаграммы (фнг. 6.3). Ясно, что эту диаграмму моя но продолжить, если мы интересуемся еще бссь ьшим числом испытаний. На фиг. 6.4 приведена аналогичная диаграмма для шести испытаний. Число «способов», соответствующих каждой точке диаграммы,— это просто число различных «путей» (т. е., попросту говоря, последовательность выпадения «орла» и <решки»), которыми можно прийти в эту точку из начальной, не возвращаясь при этом назад, а высота атой точки дает общее число выпадений «орла». Этот набор чисел известен под названием елреуго.«»ника Паскаля, а сами числа нааываются бикомиальяыми коэффициентами, поскольку они появляются при разложении выражения (а + Ь)".
Обычно эти числа на нашей диаграмме обозначаются символом (" й~), нли Сйи (число сочетаний из и по ес), где л — полное число испытаний, а й — число выпадений «орла». Отмечу попутно, что биномиальные ноэффициенты можно вычислять по формуле <В и г. 6А. Диаграмма, подобнаа изображенной на <биг. 6.5, дла серии ие шеппи испытаний. 4 ('~ ! 1 «аеео еыоаоеаиа „о!»!о" 5 5 5 5 !5 4 ю го з Ю и г 5 в 1 о где символ п!, называемый «п-факториалом», обозначает произведение всех целыхчисел от 1 дон, т.
е. 1 2 3... (и — 1) и. Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью вырая<ения (6.1) подсчитать веровтность Р (й, и) выпадения й раз «орла» в серии из и испытаний. Полное число всех возможностей будет 2" (поскольку в кая дом испытании возмоя<ны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел!, будет ("), так что (и) Р(!<, п) = —,„ ха (6.5) 109 Поскольку Р (й, и) — доля тех серий испытаний, в которых выпадение «орла» ожидается 1< раз, то из ста сериа Ь выпадений «орла» ожидается 100 Р (!г, и) раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
