Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Аффинная параметризация: неустойчивые М!МО-обьекты Рассмотрим ЛМДО и ПМДО для объекта вида Со(з) = [Сотт(в)) Сох(в) = Сотч(в)[Сотт(в)) (25.6.1) Заметим, что такое представление может быть получено так же, как в разделе 20.3.4. В атом случае мы имеем, что Соьт(в),Согт(з), Сом(з) и Сон(з) определяются выражениями (22.12.16) (22.12.19).
Учтем также, что если С (в) неустойчива, то С п(з) и С тт(з) будут неминимально-фазовыми. Точно так же, если С (з) неминимальнофазовая, то такими же являются Сотч(в) и Соьт(в). Следующий результат является М1МО-вариантом результата, описанного в разделе 15.7. Лемма 25.2 (Аффинная параметризация для неустойчивых М1МО-объектов). Рассмотприм обзект, заданный матричным дробным описанием, как в (25.6.1), где Согч(в), Сост(з), Согт(з) и Сон(з)— взаимно простое разложение на множители, как в лемме 20.1, т. е. удовлетворяется условие с Сп(з) Стч(з)1 ~Сп(з) — Стч(з)~ -Сгт(з) С~(з)~ [Свт(в) Сп(в) [ = 1 (25.6.2) Тогда класс стпабияизирующих регуляторов для номинального обзекгпа может быть выражен в виде С(з) = Смп(в)[Сттп(в)) ~ = [Сттп(в)] ~[Сын(з)[ (25.6.3) где 25.6.
Аффинная параыетризация: неустойчивые М!МО-объекты 837 где й(з) — любая устойчивая собственная передатпочная матрица раз- мерности т х т. Доказательство 1) Достаточностпь Четыре результирующие функции чувствительностпи в этом случае равны Ясно, чтпо эти передаточные функции устойчивы, если устойчива й(з).
2) Необходимость Так же, как и в гл. 15, этот результат следует из алгебраической стпруктуры задачи (детали см. в ссылках). ППП Регулятор, описанный выше, изображен на рис. 25.2. Стабилизирующая структура Рис. 26.2. ъг-параметризация неустойчивых М1МО-объектов Если в структуре на рис.
25.2 мы специальным образом выберем й(з) = Сут(з)й(з) (25.6.12) то сможем иначе представить систему так, как показано на рис. 25.3. 838 Глава 25. Параметризация М!МО-регуляторов Стабилизирующая структура Рис. 25.3. Альтернативнзл 11-параметризацня для неустойчивых М1МО-объектов с ограниченной й(з) В этом случае мы имеем Б (з) = (Стт(з) — С,ьт(з)Св(з)й(з))Сота(з) = (1 — (Сп(з)Г т 1оьт(з)Св(з)й(з))Сп(з)Союз) = (1 — [Сгз(з)) (Сгт(з)аорт(з))й(з))сгу(з)С~О(з) = (1 — С ьт(з)й(з))Сп(з)т.' в(з) = Бд(з)Бс(з) (25.6.13) где Бс(з) — чувствительность, полученная с помощью регулятора предварительной стабилизации (как на рис. 25.3), а 8 — (з) — функция чувствительности Б — (з) = Цз) — Солт(з)Й(з) (25.6.14) Мы рассматриваем Б — (з) как форму (25.2.3) для устойчивого эквивалентного обаекта Сок|(з).
Таким образом, методы, разработанные ранее в этой главе для с4-проектирования в случае устойчивого разомкнутого контура, могут использоваться для проектирования Й(з). Заметим однако, что желательно гарантировать высокую чувствительность Бс(з), иначе это отрицательно воздействует на выбор 8~(з). например, если Бс(з) — не диагональная, то даже сделав Бп(з) диагональной, мы не получим динамическую развязку.
Эту задачу мы рассмотрим в следующей главе. 25.7. Реализация в пространстве состояний 839 25.7. Реализация в пространстве состояний В гл. 15 мы видели, что существует красивая интерпретация в пространстве состояний класса всех стабилизирующих регуляторов для случая неустойчивого разомкнутого контура.
Подобная интерпретация применяется и в М1МО-случае. Эта интерпретация особенно полезна в М1МО-случае, где формат пространства состояний очень облегчает проектирование и реализацию. Начнем с формы передаточной функции регулятора, показанного на рис. 25.3. Дадим форму пространства состояния для каждого из блоков регулятора следующим образом.
1) Стабилизирующая структура Она легко обеспечивается обратной связью по восстановленному состоянию. Все, что требуется — наблюдатель (возможно, разработанный с помощью теории фильтра Калмана) и стабилизирующая обратная связь по восстановленному состоянию (возможно, разработанная с помощью теории ЛКР). Таким образом, мы можем записать е(т) = у(т) — г(т) (25.7.1) ят(й) = Ахт(й) + Ви(1) + Лт(е(й) — Схт(й)) — Вивф (25.7.2) ы(й) = -Кх,(1)+пв(й) (25.7.3) В этих выражениях пв(1) соответствует обратному преобразованию Лапласа величины У,(з) на рис.
25.3. Мы ввели пД) в уравнения для того, чтобы обеспечить правильное положение Стт(з) т в контуре. Это можно проверить с помощью уравнения (25.7.2), которое легко представить, используя передаточные функции: Хт(з) =Та(з)У(з)+Та(з)Е(з) — Тт(з)У,(з) (25.7.4) где Т1(з) = (з1 — А + ЛтС) ~ В (25.7.5) Тз(з) = (з1 — А+ ЛтС) ~ Лт (25.7.6) Тогда уравнение (25.7.3) будет выглядеть следующим образом: Цз) = — КТт(з)У(з) — КТз(з)Е(з)+КТг(з)Щз)+Ув(з) (25.77) Это уравнение имеет вид Цз) = — Стз(з) ~Стч(з)Е(з) + Стэ(з) Стз(з)Ув(з) = -Стэ(з) ~Стч(з)Е(з) + У,(з) где Стз(з) = 1+ КТт (з) и С1ч(з) = КТз(з) (25.7.10) Мы видим, что (25.7.9) соответствует рис.
25.2. 840 Глава 25. Параметривацня М[МО-регуляторов хг(1) = Ахг(й) + Ви(й) + Лг(е(1) — Схг(й)) (25.7.11) 6т) = — (е(т) — Схг(в)) Эти уравнения сразу же имеют форму ' (25.7.12) В(з) =-Союз)Е(з)+Сорт(з)У(з) (25 713) Сотт(з) = 1 — С (з1 — А+ ЛгС) Лг (25.7.14) С м(з) =С(з1 — А+ЛгС) 'В (25.7,15) где Мы видим, что (25.7.13) соответствует блоку прогнозирующей оценки на рис. 25.3. 3) Проектирование блока прогнозирующей оценки Блок й(з) может быть спроектирован инвертированием Со1ч(з), где из (25.7.15) мы видим, что С м(з) имеет модель пространства состояний зт'(1) = Ах'($) + Ви(1) — ЛгСУ'($) ~'(1) = Ся'И) (25.7.16) (25.7.17) Введя левую матрицу взаимодействия, зту модель можно преобразовать в бисобственную форму: Ул(1) = Азл(Ф) + Ви($) — ЛСгял(Ф) (л(1) = Сейл($) + 1)ли($) (25.7.18) (25.7.19) где матрица Оз — квадратная и невырожденная.
При условии, что система минимально-фазовая, мы можем сразу же инвертировать эту систему, полностью меняя ролями входы и выходы. Эаметим, что регулятор будет бисобственным, если й(з) является бисобственной. Это следует из того, что С р(з) бисобственна. 25.8. Резюме ° Обобщение аффинной параметризации для устойчивой мультипеременной модели С„(з) дается следующим представлением регулятора т Заметим, что И[в) = С[йт)] 2) Оценщик возмущения Мы также знаем из гл. 20, что ЛМДО в блоке возмущения может быть реализовано с помощью наблюдателя: 25.8. Резюме 841 С(з) = [1 — Щз)Со(з)] ~Щз) = Щз)[1 — Со(з)Щз)] ~, обеспечива- ющего номинальные чувствительности То(з) = Со(з)Я(з) Я (з) =1 — С ( )®з) Яго(з) = [1 — С ( )Фз)]С (з) Я„(з) = Щз) (25.8.1) (25.8.2) (25.8.3) (25.8.4) ° Связанная с ними достигнутая чувствительность, когда регулятор применяется к С(з), имеет вид Я(з) Яо(з)[1+ СЕ(з)Я(з)] где С,(з) = С(з) — С (з) — аддитивная ошибка моделирования.
° По аналогии с Я1ЯО-случаем, основные преимущества аффинной параметризации включают следующее: о явная устойчивость номинального замкнутого контура тогда и только тогда, когда ь1(з) устойчива; о выдвижение на первый план фундаментальной важности обратимости, т. е. достигаемых и достигнутых свойств Со(з)Щз) и С(з)Щз) и о чувствительности, которые являются аффинными в Щз); это облегчает синтез, основанный на критерии, который является особенно привлекательным для М1МО-систем.
° Снова по аналогии с 8180-случаем инверсия устойчивых М1МО- систем включает два основных вопроса: о относительная степень — т. е. структура нулей в бесконечности и о инверсная устойчивость — т. е. структура неминимально-фазовых нулей. ° Из-за направленности оба из этих признаков обладают дополнительной сложностью в М1МО-случае. ° Структура нулей в бесконечности может быть нейтрализована левой или правой матрицей взаимодействия Яь(з) или ~н(з) соответственно). ° Таким образом, матрица фь(з)С (з) бисобственная, т.
е. ее детерминант — ограниченная, отличная от нуля величина при з -+ оо. ° Структура неминимально-фэзовых нулей может быть нейтрализована левой или правой з-матрицей взаимодействия фь(з) или фн(з) соответственно). ° Таким образом, аназппиически 15ь(з)С (з) — реализация инверсноустойчивой части модели — т. е. является эквивалентом минимально- фазовых сомножителей в Я1ЯО-случае. 842 Глава 2$. Пврвмвтриввция М!МО-регуляторов ° Однако реализация т(гь(в) С„(в) о неминимальна и о обычно включает компенсацию динамики неустойчивых полюсов и нулей (динамику неминимально-фазовых нулей матрицы С (в)).
° Таким образом, реализация т!гь(в)4 (в) о полезна для анализа принципиально достижимых свойств основных параметров С (в)Щв), относящихся к устойчивости Щв) и о вообще-то не подходит для реализации или инверсной реализации, потому что она включает компенсацию неустойчивых полюсов и нулей. ° Устойчивая инверсия, подходящая для реализации, формируется подбором модели, который приводит к специфической задаче линейного квадратичного регулятора (ЛКР), разрешимой через уравнения Риккати. ° Если модель объекта неустойчива, проектирование регулятора может быть выполнено в два этапа: а) предварительная стабилизация, нвлример, через ЛКР и затем б) детальное проектирование с применением теории для устойчивых моделей к предварительно стабилизированной системе.
° Все перечисленные результаты могут быть эквивалентно интерпретированы или с помощью структуры передаточных функций, илн с помощью структуры пространства состояний; для М1МО-систем структура пространства состояний особенно привлекательна в случае численной реализации. 25.9. Литература для последующего чтения Аффннная параметрнзацня н синтез 1. Ревоег, С., 11и, В., Миггау, 3и апг) Яае!тв, В.. (1980).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
