Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Мы можем фактически сделать этот полинам р(з) уникальным, если потребуем, чтобы он принадлежал классу полиномов "тз = (зь)й Е 1ч). В М1МО-случае каждый элемент матрицы передаточных функций С(з) может иметь различную относительную степень. Таким образом, чтобы сформировать мультипеременную версию скалярного полинома р(з) в (25.4.1), нам нужно рассмотреть отдельные элементы и их взаимодействия. Чтобы понять, как это можно сделать, рассмотрим матрицу С(з) размерности гп х т. Покажем, что существуют матрицы Сь(з) и ~н(з), такие, что выполняются следующие свойства (которые являются мультипеременными аналогами (25.4.1)): 1пп Сь(з)С(з) = Кь О < )г1ей(Кь)! < со (25.4.2) 11ш С(з)4н(з) = Кн О < ) с$еФ(Кн) ~ < оо (25.4.3) Этот результат устанавливается следующей теоремой. 25.4.
Относительная степень недели 811 (25.4.7) (25.4.8) Фк(~) = 1~к(~) Нк(з) Рк(з) =с(1а8(зг',...,зг") Ь12(з) Ь1з(з) " ' Ь1 (з) 0 1 Ьгз(з) " ' Ьзю(з) (25.4.9) Нк(з) = 0 0 где Ьтьд(з) и Ьтлд(з) — полиномы отпноситпельно з, удовлетворяющие усло- виям Ьф(0) =0 и Ьлд(0) =О. Тогда [Кь]т = 11пт [Ыз)]т*С(з) =т'т' (25.4.12) где г~ ~— вектор-строка, тпакая, что гт = ~~т.
2) Рассмотприм вектор втпорой строки ~ . Если Д линейно независим т 2' 2 от т,, тпо выбираем вторую строку 4ь(з), [4ь(з)]г„в виде [фь(з)]з„= [Оз"'00...0] (25.4.13) Доказательство (От протпивного) Сначала напомним, что функция С(з) может быть всегда представлена с помощью ПМДО таким образом, что Соьт(з) и Сор(з)— правые взаимно простые матрицы полиномов и что Сор(з) — собственная по столбцам матрица. Пусть пз — султма стпепеней столбцов Сор(з) и пусть пи — степень йе$(Соьт(з)); тогда относительная степень С(з) равна пз-п„и С(з) является собстпвенной, когда пп < пз. Докажем теорему для левой матприцы взаимодейстпвия. Случай правой матрицы взаимодейстпвия можетп быть доказан зеркальным отображением аргументпов относительно строк и стполбцов. Рассмотрим сначала т-ю строку С(з), т.
е. [С(з)];,. В этом случае сущестпвует минимальное неотрицательное целое число и;, тпакое, что зт[С( )] (25.4.10) где Д вЂ” вектор-строка, не равный тождестпвенно нулю и имеющий конечные компонентаы. Тогда можно продолжить формирование ~ь(з) следующим образом: 1) Выберем первую строку 4ь(з), [4ь(з)]т„в виде [4ь(з)]1*= [зщ 00 . 01 (25.4.11) 812 Глава 25.
Параметризация М!МО-ретуляторов Зшо даст [КьЬ =,11ш [4Ь(з)Ь С(з) =тг (25.4.14) [~ь(з)12» = з"*([О з"' 0 О... 01 — Вг [(ь(з)]1») где пг — уникальное целое число, такое, что 1 11ш [Ыз)]г»С(з) = (тг) (25.4.15) (25.4.15) и т21 — векгпор, не равный птождественно нулю и с конечными компонентами. Если т21 линейно независим от т1, гпо выбираем вторую строку 4Ь(з), [4Ь(з)]2„, в виде [чеь(з)12 = Ыь(з)]г (25.4.17) Если же т21 линейно зависит от т1, то существуегп парамегпр ф огпличный от нуля, такой, чпю тг =,бггт1. Тогда формируем векторсшроку в виде Ыь(з)12» = (з '([4ь(з)12» Р2Ыь(з)]1») (25.4.18) где пг г— уникальное целое число, такое, что 11 [4Ь( )]2.6( ) = (тг) (25.4.19) где тг — вектор, не равный тождесгпвенно нулю и с конечными компонентами.
Если тг глинейно независим от т1, то выбираем вторую сгпроку 4Ь(з) Ыь(з)]г*, в виде Ыь(з)Ь» = Ыь(з)12» (25.4.20) Если тгг линейно зависит от т1, то процесс повторяется, пока не будет достигнута линейная независимость или й-я попытка не даст п1 + пг —— пз — п„— в этом случае берем рг = 0 и г соответсгпвующие недиагональные элементы 621,...,52~ ц равны нулю. Заметим, что п1 + пг никогда не может быть больтие, чем гг пз — п„, потому чгпо последнзл величина — огпносительная степень матрицы. 4) Продолжаем операции с другими строками подобным образом.
ППП 3) Если уг линейно зависигп от т1, т. е. если существуегп отличный от нуля параметр ~В2~, такой, что уг~ = Вгтт, то мы не можем выбрать [~ь(з)]2, как в (25.4.13), потому что тогда магприца Кь в (25.4.2) была бы вырожденной. Вместо этого мы формируем вектор-строку в виде 25.4. Относительная степень модели 813 [4ь(з)]т, = [зт О О... 0] = [з О] (25.4.22) Тогда ,1'"'Ыь(з)]т [С(з)]т =тт [10] (25423) 2) Рассмотприм вектор-строку тг~. Поскольку 1г линейно зависит от т1 с Д = 2, тп. е.
Уг = 2тт, выберем втпорую стпроку 4ь(з), [сь(з)]г„ в виде [еь(з)]г, = зе([0 зг] — бг~[бь(з)]ы) = [ — 2з~+*з~+*] (25 4 24) где х находим из условия 2зт+г [~~( )]~*с( ) = ( ~) = ' а-~со * г-тоо [(з+ 1)г отпкуда получаем х = 1. Этпо дает — цт (25.4.26) которое линейно независимо от Д. Таким образом, выбор (25.4.24) при х = 1 можно взять в качестпве второй строки матрицы взаимодействия.
Таким образом, зг+* — 2зт+е1 (25.4.25) (з+ 1)з 4ь(з) = 2,г з (25.4.27) ППП Замечание 25.2. Очевидно, что матрицы взаимодействия можно определить, используя диагональные матрицы 1эь(з) и Рр„(з) в (25.4.4) и (25.4.7) с произвольными диагональными элементами в виде полиномов степеней рырг,...,рт, которые являются инвариантпными для предстпавления матрицы взаимодейстпвия для данной матрицы С(з). Этпа гибкость важна, потпому что мы можем всегда выбирать устойчивые полиномы, подразумевал, что инверсии ~ь(з) и ~н(з) также устпойчивы. Проиллюстрируем процедуру иа следующем примере.
Пример 25.1. Рассмотрим матрицу передаточных функций С(з), имеющую вид С(з) ( + ) ( + ) [(з+1)з1]-т (25 42Ц Тогда пз = 6 и и„= 2. Мы также имеем, что п1 = 1 с 1т = [1 0]т и пг= 2 с уг= [20]т 1) Сначала формируем 814 Глава 25. Параметризация М!МО-регуляторов б) Интерпретация Пример 25.2. Рассмотрим следующую передагпочную функцию, выра- женную в терминах переменной Е-преобразованияг ~"(')- —,г 3г 4 (25.4.28) В соответствии с данными выше определениями левая матрица взаимодейсгпвия 4ь(г) оказываетпся равной — Зз~ (25.4.29) Используя 4ь(г), мы можем определишь новую переменную Уев(г) следующим образам: У,ь(г) = 4ь( )Уе( ) = 4ь( ) С ч( )~Уз( ) (25.4.30) Уг(з)0) 1 (1 2г-~ 1 = ~ ' 1 ~,(.) 3 гУ( )0)+ зУ( )(г)~ (Π— 2) где Ув(г)0) и У (г)(г) обозначаюгп первый и второй элементам вектора выхода У (г) соогпветсгпвенно.
Из самого правого выражения в (25.4.30) видно, чгпо мы построили предсказагпель для комбинации будущих выходов, когпорый зависит от текущего и предыдущего значений входов. Кроме того, зависимость огп гпекущих входов определяется через обратпимую матрицу. Таким образом, существует выбор для гпекущих входов, котпорый даегп уь[й) = Я т [Уег.(г)] для любой желаемой величины у' [гс).
Матрицы взаимодействия играют центральную роль в управлении, потому что они определяют (мультипеременную) относительную степень. Например, они определяют минимальную достижимую относительную степень любой дополнительной чувствительности, которую можно получить, используя собственный регулятор. Левую матрицу взаимодействия можно интерпретировать так, что 4ь(з)У(з) является конкретной комбинацией предсказанных выходов, обладающих тем свойством, что передаточная функция, соединяющая йь(з)У(з) с сг'(з), имеет усиление на высокой частоте, отличное от нуля. Это свойство можно использовать, чтобы получить прообраз закона управления, задав предсказанному выходу (ь(з)У(з) значение некоторой желаемой величины. Эту интерпретацию можно лучше видеть на простом дискретном примере. 25.4.
Относительная степень модели 815 Обозначим через У*~(г) величину фт,(1)Уе*(г). Тогда определим закон управления, задав значение Ует.(г) равным У' (г). Это дает соотпветставующий закон управления в виде (25.4.31) ищОО = -2и[й — 1]от+у"да]]О и и[й]ОО = — 0.5у'~,[Й]ОО (25.4.32) Это приводитп к следующему результату: (25.4.33) Уес( ) = Ы )Уе( ) = У (г) = Ы ) Уе*(г) ()=[Ы И 'Ы1)У;(е) Наконец, Уе" (г) (25.4.34) -1 '1 Уе'(г) Мы можем оценить результирующую реакцию системы во времени следующим образом.
Единичная ступенька у7[й] (первый компонент у'[й]) формирует следующие выходные последовательности: 1у,Щ) =[0111" ] ~угу) = [0330" ] Точно так же единичная ступенька уг [те] (второй компонент у*[к]) формируеот (угу) =[0000" ] (25.4.37) (у~[й]) = [0011 "] (25.4.38) Эаметим, что уОО появляетсл в одной квантованной величине, но оказывает сущестпвенное влияние на у~г>.
Мы можем удалить этну связь, взяв более длинную задержку в предсказании. Например, вместпо (25.4.33) мы могли бы использовать ~ -г Уеь(г) =4г(г) ~ 0 «-г Уе(г) (25.4.39) с 1 2.-л1 0 -2~ г~ 0~1 Зг ~ — 3 х~ (25.4.35) (25.4.36) 816 Глава 25. Пврвметриввция М!МО-регуляторов Если мы затем зададим Угь(г) = У'ь(г), то получим связанный с гь этим закон управления ( ) 0 ( ) 2 ( ) (25.4.40) который дает г-2 О -г в() 0 (25.4.41) Таким образом, мы видим, чтпо теперь имеем динамически развязанную систему, но для этого была введена дополнительнал задержка (тп. е. нуль при г = оо) в реакцию на единичную ступеньку в канале 1.
В итоге мы видим следующее: 1) Матприца взаимодействия содержитп структуру системы с минимальной задержкой, тп, е. стпруктпуру нулей в бесконечности. 2) Использование этой структпуры с минимальной задержкой в проектпе управления может привести к динамической связи. 3) Мы можем получить динамическую развязку, но для этого может потребоватпься дополнитпельнол задержка, т.
е. дополнитпельные нули в бесконечности. Фактически этаот вид свойств будет отражен в более общих проектах М1МО-систем, которые мы рассмотприм ниже. ППП Мы можем разработать аналогичную интерпретацию для правой матрицы взаимодействия. Действительно, если мы запишем ~о(з) Со(з)чк(з) [чн(з)] (25.4.42) Пример 25.3. Рассмотрим снова передатпочную функцию, данную в (25.4.28). Для этого примера правая матрица взаимодействия равна Гг 01 Г1 21 (н(г) = ~ г~ и Соч(г)4н(г) = ~ ~ (25.4.43) то мы видим, что [(н(з)] тУ(з) — конкретная комбинация предыдущих значений входов, которая обладает свойством, что усиление на высокой частоте передаточной функции от [ен(з)] 1У(з) к выходу У(з) невырождено.
Это также можно использовать для получения прообраза закона управления, пытаясь найти конкретную комбинацию предыдущих управляющих действий, которая дает текущий выход; равный некоторой желаемой величине. Снова проиллюстрируем зто простым дискретным примером. 25.4. Относительная степень моделя 817 (25.4.44) где 0~~ и Уг~ — первый и второй компонентпы вектора входа соответ- О) (г) стпвенно. Мы можем тпеперь попытаться определить конкретпную комбинацию прошлых значений входов, котпорая дает текущий выход для соответпстпвующих прошлых величин у" [)с]. Определим Уе(г), задав ~г-п1 6 Со(г)бн(г)[(р,(г)] 'Уг(г) = ~ „1" (г) (25.4.45) Это приводит к Гг- 1 6 Ке(з) = загс(г)[~оп(г)4р„(г)] ~ „У'(г) (25 4 46) где пт и пг выбраны так, чтобы регулятор обеспечивал необходимые связи. Для нашего примера мы завершаем с Ч( ) 2 -2 Ч ( Это приводит к 1 е(г) (25.4.47) (25.4.48) 25.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
